Kalkulong integral: Pagkakaiba sa mga binago
Content deleted Content added
AnakngAraw (usapan | ambag) Ikinakarga sa Kalkulus na integral |
AnakngAraw (usapan | ambag) dagdag |
||
Linya 1:
Ang '''kalkulus na integral''' (Ingles: '''''integral calculus''''') ay isang sangay ng [[kalkulus]] na nag-aaral ng '''integrasyon ''' ('''pagsasama''') at mga paggamit nito, katulad ng paghahanap ng mga bolyum, mga area, at mga solusyon sa mga ekwasyong diperensiyal. Nakatuon ito sa determinasyon o pag-alam (paghanap) ng mga '''integral'''. Bilang pag-aaral ng integrasyon at mga paggamit nito, ang mga paggamit na ito ay kinabibilangan ng pagkakalkula ng mga pook o area na nahahangganan ng mga kurba, at mga bolyum na nahahangganan ng mga kalatagan o kaibabawan.<ref>[http://www.thefreedictionary.com/integral+calculus integral calculus], The Free Dictionary ng Farlex, thefreedictionary.com</ref>
==Simpleng depinisyon==
[[File:Integral approximations.svg|thumb|right|Aproksimasyon ng area ng kurbang √''x'' mula 0 hanggang 1,<span style="color:#fec200">■</span> gamit ang limang parihaba at <span style="color:#009246">■</span> labilandalawang parihaba]]
Upang maunawaan natin ang konsepto ng integral, kailangan nating maunawaan ang pagtukoy ng area gamit ang pagtatantya (''approximation''). Ang area ng isang kurba ay matatantya kung ang mga area ng mga parihaba (''rectangle'') sa ilalim ng kurba ay susumahin (''sum'') o pagsamamahin. Kung gagamit tayo ng mas maraming mga parihaba, mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba ang ating makakamit. Ang konsepto ng isang integral ay ang pagpapadami ng mga bilang ng mga parihaba (''rectangle'') sa ilalim ng kurba na aabot sa sobrang daming bilang (''infinity''). Ang pagpadami ng mga parihabang ito ay makakamit gamit ang hangganan (''limit'') o ang ideya na habang papalapit sa sero ang haba ng mga parihabang ito o papanipis ng papapanipis ang mga parihabang ito, mas madami tayong mapagkakasyang parihaba sa ilalim ng kurba.
Para maintindihan ang konseptong ito, tignan natin ang kurba sa larawan sa kanan na ''y'' = ''f''(''x'') sa pagitan ng ''x'' = 0 at ''x'' = 1, kung saan ang punsiyon ay inililalarawan ng ''f''(''x'') = √''x''. Nais nating malaman ang [[area]] sa ilalim ng punsiyong ito sa pagitan ng 0 hanggang 1. Tawagin natin ang area na ito na '''integral''' ng ''f''. Ang notasyon ng integral na ito ay:
:<math> \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.</math>
Sa unang aproksimasyon gamit ang mga parihabang kulay kahel (''orange''), ang suma (''sum'') ng mga area ng mga parihabang ito ay eksaktong 1. Ang tunay na halaga ng area ng kurba na ito ay mas maliit sa 1. Kung pararamihin natin ang mga parihaba sa loob ng kurba gaya ng mga parihabang kulay berde, mas makakamit natin ang mas mabuting aproksimasyon. Kung susumahin(sum) ang mga area ng mga parihabang kulay berde, ang resulta ay mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba:
:<math>\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497\,\!</math>
Ngayon tignan natin kung paano kwentahin ang area ng kurba gamit ang operasyong integrasyon: Una, kailanging hanapin natin ang antideribatibo(integral) ng punsiyong ating nilulutas na: ''f''(''x'') = √''x''. Ang antideribatibo ay: ''F''(''x'') = <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>3/2</sup>. Ngayon isubtrak ang halaga ng ''F''(1) sa halaga ng ''F''(0), kung saan ang 0 at 1 ang mga hangganan ng kurba. Ang "eksaktong" area ng kurbang √''x'' ay:
:<math> \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = F(1)- F(0) = 0.666666667</math>
Ang integral ay isa ring '''antideribatibo''' o inberso (kabalagtiran) ng isang deribatibo.
==Mga pormal na depinisyon==
===Integral na Riemann===
{{main|Integral na Riemann}}
[[File:Integral Riemann sum.png|thumb|right|Integral bilang sumang Riemann batay sa may tandang partisyon na may hindi pantay pantay na posisyon at haba(nasa pula). Ang resultang aproksimasyon ay 3.648. Ang tunay na halaga ng area ng punsiyon ay 3.76]]
Ang integral na Riemann ay inilalarawan sa mga termino ng [[sumang Riemann]] ng mga punsiyon sa respeto ng may mga tandang(tagged) partisyon(bahagi) ng interbal. Itakda ang [''a'',''b''] na isang saradong interbal ng real na linya. Sa gayon, ang mga may tandang partisyon ng [''a'',''b''] ay isang may hangganang sekwensiya(finite sequence)
:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!</math>
[[File:Riemann sum convergence.png|thumb|250px|left|Mga sumang Riemann na nagtatagpo habang ang mga interbal ay hinahati kahit ang sampol ng bilang ay <span style="color:#0081cd">■</span> kanan, <span style="color:#bc1e47">■</span> minimum, <span style="color:#009246">■</span> maximum, o <span style="color:#fec200">■</span> kaliwa.]]
Ang interbal na [''a'',''b''] ay hinahati sa ''n'' na mga sub-interbal(mas maliliit na interbal) na [''x''<sub>''i''-1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>] na may indeks ''i'' at ang bawat sub-interbal ay nilagyan ng "tanda"(tagged) na isang puntong ''t''<sub>''i''</sub>∈[''x''<sub>''i''-1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]. Ang ''sumang Riemann''(Riemann sum) ng isang punsiyong ''f'' sa respeto ng mga may tandang partisyon ay inilalarawan na:
:<math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; </math>
Ang bawat termino ay suma(sum) ng [[area]] ng mga [[parihaba]] na may taas na katumbas ng halaga ng punsiyon sa punto ng ibinigay na sub-interbal(maliit na interbal) at ang haba nito ay katumbas ng haba ng sub-interbal.
Itakda ang Δ<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>-''x''<sub>''i''-1</sub> na maging haba(width) ng sub-interbal na ''i''. Ang ''mesh''(o ''norm'') ng may tandang partisyon ang haba ng pinakamalaking sub-interbal sa mga partisyon at inilalarawan ng: max<sub>''i''=1…''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>. Halimbawa, ang hanay(set) na P=(2,3.2,4.3,5,6) ang partisyon ng interbal na [2,6] at hinati sa apat na sub-interbal na may mga habang Δ<sub>''1''</sub> =1.2, Δ<sub>''2''</sub> =0.8, Δ<sub>''3''</sub> =0.7 at Δ<sub>''4''</sub> =1. Ang ''mesh'' ng partisyong ito ay 1.2 na pinakamahabang haba ng mga sub-interbal. Ang mabuting aproksimasyon ay makakamit kung ang ang mesh(norm) ay gagawing malapit sa 0. Ang integral na Riemann ng punsiyong ''f'' sa interbal na [''a'',''b''] ay katumbas ng ''S'' kung:
:Sa lahat ng ε > 0 may umiiral na δ > 0 kung saan sa bawat may tandang partisyon [''a'',''b''] na may mesh na mas maliit sa δ, meron tayong:
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon.</math>
Kung ang napiling mga tanda ay nagbibigay ng maksimum(o minimum) ng halaga ng bawat interbal, ang sumang Riemann ay nagiging taas(o baba) na sumang Darboux.
===Integral na Lebesgue===
{{pangunahin|Integral na Lebesgue}}
[[Image:RandLintegrals.png|thumb|250px|Integrasyong Riemann-Darboux (asul) at integrasyong Lebesgue (pula).]]
Ang integral na Riemann ay hindi inilalarawan sa napalaking bilang ng mga punsiyon at sitwasyon na mahalaga sa mga aplikasyon. Halimbawa, ang integral na Riemann ay madaling maiintegrado ang [[densidad]] upang mahanap ang [[masa]] ng bakal na barakilan(steel beam) ngunit hindi nito masasama ang bakal na bolang nakalapag dito. Eto ang nagmomotibo sa ibang mga depinisyon kung saan ang mga malalawak na uri ng punsiyon ay maiintegrado. Ang integral na Lebesgue sa partikular ay nagkakamit ng malaking pleksibilidad sa pamamagitan ng pagbibigay atensiyon sa mga timbang ng tinimbang na sum(sum).
Ang depinisyon ng integral na Lebesgue ay nasisimula sa isang [[sukat (matematika)|sukat]](measure) na μ. Sa pinakasimpleng kaso, ang sukat na Lebesgue(Lebesgue measure)(A) ng interbal na A = [a,b] ang haba nito na b − a kaya ang integral na Lebesgue ay umaayon sa (angkop o proper) na integral na Riemann kung pareho itong umiiral. Sa mga mas komplikadong mga kaso, ang mga [[hanay]](sets) na sinusukat ay maaaring watak watak na walang [[hangganan|kontinuidad]] at walang pagkakahawig sa mga interbal.
Upang magamit ang pleksibiliad na ito, ang mga integral na Lebesgue ay nagbabaliktad ng paraan ng mga tininbangang suma. Ayon kay Folland<ref>Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6</ref>, "upang makwenta ang integral na Riemann ng f, ang sakop(domain) na [a,b] ay pinapartisyon sa mga sub-interbal" samantalang sa integral na Lebesgue, "ang [[range]] ng f ay sa sa esensiya pinapartisyon".
Ang isang karaniwang paaran ay paglalarawan ng integral ng [[punsiyong indikador]] ng [[sukat (matematika)|nasusukat na hanay]] na ''A'' sa pamamagitan ng:
:<math>\int 1_A d\mu = \mu(A)</math>.
Eto ay lumalawig sa pamamagitan ng linyaridad sa masusukat na simpleng punsiyong ''s'' na nagkakamit lamang ng pinidong(finite o may hangganan) bilang na ''n'' na mga natatanging hindi negatibong mga halaga:
:<math>\begin{align}
\int s \, d\mu &{}= \int\left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) d\mu \\
&{}= \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \, d\mu \\
&{}= \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i)
\end{align}</math>
(kung saan ang imahe ng ''A''<sub>''i''</sub> sa ilalim ng simpleng punsiyong ''s'' ang [[konstante]]ng halagang ''a''<sub>''i''</sub>). Samakatuwid, kung ang ''E'' ay isang masusukat na hanay, maglalarawan tayo ng:
:<math> \int_E s \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i \cap E) . </math>
Pagkatapos, para sa anumang mga hindi negatibong [[masusukat na punsiyon]] na ''f'', tayo ay maglalarawan:
:<math>\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\int_E s \, d\mu\, \colon 0 \leq s\leq f\text{ and } s\text{ is a simple function}\right\};</math>
na ang ibig sabihin ang integral ng ''f'' ay itinakdang [[supremum]] ng lahat ng mga integral ng mga simpleng punsiyon na mas maliit o katumbas ng ''f''.
Ang isang pangkalahatang masusukat na punsiyong ''f'' ay hahatiin sa mga positibo at negatibong mga halaga sa pamamagitan ng paglalarawan ng:
:<math>\begin{align}
f^+(x) &{}= \begin{cases}
f(x), & \text{if } f(x) > 0 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases} \\
f^-(x) &{}= \begin{cases}
-f(x), & \text{if } f(x) < 0 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}</math>
ang ''f'' ay maiintegradong Lebesgue kung ang:
:<math>\int_E |f| \, d\mu < \infty , \,\!</math>
sa gayon, ang integral ay inilalarawan ng:
:<math>\int_E f \, d\mu = \int_E f^+ \, d\mu - \int_E f^- \, d\mu . \,\!</math>
Kung ang [[sukat na espasyo]] kung saan ang mga punsiyon ay inilalarawan ay isa ring [[lokal na siksik na espasyo|lokal na siksik]] na [[espayong topolohikal]](tulad ng sa kaso ng real na mg bilang na '''R'''), ang mga sukat na umaayon sa topolohiya sa isang nararapat na kahulugan(mga [[sukat na Radon]] na ang sukat na Lebesgue ang isa sa mga halimbawa nito) at ang integral sa respeto nito ay maaaring ilarawan ng magkaiba mula sa mga integral ng [[hangganan|tuloy tuloy na punsiyon]] na may [[suporta (matematika)|siksik na suporta]]. Sa mas tiyak na kahulugan, ang siksik na sinusuportahang punsiyon ay bumubuo ng isang [[espasyong bektor]] na may dalang isang natural na [[espasyong topolohikal|topolohiya]] at ang isang sukat(Radon) ay maaaring ilarawan na ''anumang'' tuloy tuloy na [[linyar na mapa|linyar]] na [[punsiyonal]] sa espasyong ito. Ang halaga ng sukat sa isang siksik na sinusuportahang punsiyon ay sa depinisyon rin ang integral ng punsiyon. Pagkatapos, atin nang itutuloy na palawigin ang sukat(ang integral) sa mas pangkalahatang mga punsiyon sa pamamagitan ng [[hangganan|kontinuidad]] at ilarawan ang sukat ng isang hanay bilang integral ng punsiyong indikador nito.
===Iba pang mga integral===
Bagaman ang mga integral na Riemann at Lebesgue ang pinakamalawakang ginagamit na depinisyon ng integral, may ilan pang integral na umiiral kabilang ang:
* Integral na Riemann–Stieltjes integral na isang ekstensiyon ng integral na Rimeann.
* Integral na Lebesgue-Stieltjes, na karagdagang pinaunland ni Johann Radon na lumalahat sa mga integral na Riemann–Stieltjes at Lebesgue integrals.
* Integral na Daniell na sumasakop sa integral na Lebesgue at integral na Lebesgue-Stieltjes na hindi nakabatay sa mga [[sukat (matematika)|sukat]]. i
* Integral na Henstock-Kurzweil integral na iba ibang inilarawan nina Arnaud Denjoy, Oskar Perron,(pinaka elegante bilang integral na gauge), Jaroslav Kurzweil, at pinaunlad ni Ralph Henstock.
* Integral na Itō at Stratonovich na naglalarawan ng integrasyon sa respeto ng mga [[semimartingale]] gaya ng [[Galaw Brownian]].
* Integral na Youn na isang uri ng Riemann-Stieltjes sa respeto sa ilang mga punsiyon ng walang hangganang bariasyon(unbounded variation).
* Integral na magaspang na landas na inilalarawan para sa mga punsiyon na may karagdagang "magaspang na landas" na estruktura at lumalahat sa integrasyong [[stokastiko]] laban sa parehong [[semimartingale]] at mga [[proseso (matematika)|proseso]] gaya ng praksiyonal na [[Galaw Brownian]].
==Mga katangian==
===Linyaridad===
*Ang koleksiyon ng maiintegradong Riemann na punsiyon sa isang saradong interbal na [''a'', ''b''] ay bumubuo ng isang [[espasyong bektor]] sa ilalim ng mga operasyong [[adisyong pointwise]] at [[multiplikasyon]] ng [[skalar]] at ng operasyon ng integrasyon
::<math> f \mapsto \int_a^b f \; dx</math>
:ay isang [[linyar na punsiyonal]] sa epasyong bektor na ito. Kaya, una, ang koleksiyon ng mga maiintegradong mga punsiyon ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga [[kombinasyong linyar]] at ikalawa, ang integral ng mga linyar na kombinasyon ang linyar na kombinasyon ng mga integral,
::<math> \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,</math>
*Gayundin, ang hanay ng mga halagang [[real na bilang]] na mga maiintegrado ng Lebesgue na mga punsiyon sa isang ibinigay na [[sukat (matematika)|sukat]] na ''E'' na may sukat na ''μ'' ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga linyar na kombinasyon at kaya ito ay bumubuo ng isang [[espasyong bektor]] at ang integral na Lebesgue ay:
:: <math> f\mapsto \int_E f d\mu </math>
:ay isang [[linyar na punsiyonal]] sa espasyong bektor na ito, upang ang:
::<math> \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. </math>
*Sa mas pangkalahatan, tingnan ang espasyong bektor ng lahat ng mga [[masusukat na punsiyon]] sa isang espasyong sukat na (''E'',''μ'') na kukunin ang mga halaga sa isang [[lokal na siksik na espasyo|lokal na sisksik]] na [[kumpletong metrikong espasyo|kumpleto]]ng [[topolohikal na bektor na espasyo]]ng ''V'' sa ibabaw ng isang lokal na siksik na [[topolohikal na singsing|topolohikal na field]] na ''K'', ''f'' : ''E'' → ''V''. Kung gayon, maaaring maglarawan ng isang abstraktong integrasyong mapa na magtatakda sa bawat punsiyong ''f'' ng isang elemento ng ''V'' o ang simbolong ''∞'',
::<math> f\mapsto\int_E f d\mu, \,</math>
:na umaayon sa mga linyar na kombinasyon. Sa sitwasyong ito, ang linyaridad ay totoo para sa mga subespasyo ng mga punsiyon na ang integral ay isang elemento ng ''V'' (i.e. "pinido" o may hangganan). Ang pinakamahalagang mga kaso ay lumilitaw kung ang ''K'' ay '''R''', '''C''', o isang pinidong(finite) ekstensiyon ng field na '''Q'''<sub>''p''</sub> ng mga [[bilang na p-adic]], at ang ''V'' ay isang may hangganang dimensiyonal na espasyong bektor sa ibabaw ng ''K'' at kung ang ''K''='''C''' at ''V'' ay isang kompleks na [[espasyong Hilbert]].
Ang linyaridad kasama ng ilang natural na [[hangganan|kontinuidad]] na mga katangian at normalisasyon para sa mga ilang klase ng mga "simpleng" punsiyon ay maaaring gamitin upang magbigay ng alternatibong depinisyon ng integral. Eto ang paraan ng [[Integral na Daniell]] para sa kaso ng mga may halagang real na bilang na mga punsiyon sa isang hanay na ''X'' na nilahat ni [[Nicolas Bourbaki]] sa mga punsiyong may mga halagang sa isang lokal na siksik na topolohikal na espasyong bektor.
===Mga inekwalidad para sa mga integral===
Ang ilang mga pangkalahatang inekwalidad ay totoo para sa maiitengradong Riemman na mga punsiyon na inilalarawan sa isang sarado(closed) at may hangganang(bounded) interbal na [''a'', ''b''] at maaaring lahatin sa ibang mga nosyon ng integral gaya ng Lebesgue and Daniell.
* ''Taas ang babang mga hangganan(bounds)'' Ang isang maiintegradong punsiyong ''f'' sa [''a'', ''b''] ay hindi maiiwasang may hangganan sa interbal na ito. Samakatuwid, may mga [[real na bilang]] na ''m'' at ''M'' upang ang ''m'' ≤ ''f'' (''x'') ≤ ''M'' para sa lahat ng ''x'' sa [''a'', ''b'']. Dahil sa ang baba(lower) at taas(upper) na suma ng ''f'' sa ibabaw ng [''a'', ''b''] ay tinatakdaan ng(o may hangganan na) ''m''(''b'' − ''a'') at ''M''(''b'' − ''a''), mauunawaan na:
:: <math> m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). </math>
* ''Mga inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon.'' Kung ang ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') para sa bawat ''x'' sa [''a'', ''b''], kung gayon ang bawat taas(upper) at baba(lower) na mga suma ng ''f'' ay tinatakdaan(bounded) sa itaas ng taas at babang mga suma ng ''g''. Kaya ang:
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. </math>
:Ito ay paglalahat ng nasa taas na mga inekwalidad dahil ang T''M''(''b'' − ''a'') ang integral ng [[konstante]]ng punsiyon na may halagang ''M'' sa ibabaw ng [''a'', ''b''].
:Sa karagdagan, kung ang inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon ay mahigpit, ang inekwalidad sa pagitan ng mga integral ay mahigpit din. Ang ibig sabihin, kung ang ''f''(''x'') < ''g''(''x'') sa bawat ''x'' sa [''a'', ''b''], kung gayon
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx < \int_a^b g(x) \, dx. </math>
* ''Mga Subinterbal.'' Kung ang [''c'', ''d''] ay isang subinterbal ng [''a'', ''b''] at ang ''f''(''x'') ay hindi negatibo para sa lahat ng ''x'', kung gayon:
:: <math> \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. </math>
* ''Mga [[multiplikasyon|Produkto]] at mga [[absolutong halaga]] ng mga punsiyon''. Kung ang ''f'' at ''g'' ay dalawang punsiyon, kung gayon maaari nating ikonsidera ang kanilang mga [[produktong pointwise]] at mga [[kapangyarihan (matematika)|kapangyarihan]] at mga [[absolutong halaga]]:
:: <math>
(fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,</math>
:Kung ang ''f'' ay maiintegradong Riemann sa [''a'', ''b''], kung gayon ito ay totoo rin sa |''f''|, at
:: <math>\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. </math>
:Sa karagdagan, kung ang ''f'' at ''g'' ay parehong maiintegradong Riemman, kung gayon ang ''f'' <sup>2</sup>, ''g'' <sup>2</sup>, at ''fg'' ay maiintegradong Riemann din at
:: <math>\left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). </math>
:Ang inekwalidad na ito ay tinatawag na [[inekwalidad na Cauchy–Schwarz]] na may mahalagang papel na ginagampanan sa teoriya ng [[espasyong Hilbert]] kung saan ang kaliwang gilid ay pinapakahulugan bilang [[panloob ng produktong espasyo]] ng dalawang [[maiintegradong kwadrado]]ng mga punsiyong ''f'' at ''g'' sa interbal na [''a'', ''b''].
* ''Inekwalidad ni Hölder.'' Ipagpalagay na ang ''p'' at ''q'' ay dalawang mga [[real na bilang]] at may kondisyong 1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ ∞ sa 1/''p'' + 1/''q'' = 1, at ang ''f'' at ''g'' ay dalawang maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang mga punsiyong |''f''|<sup>''p''</sup> at |''g''|<sup>''q''</sup> ay maiintegrado rin at ang sumusunod na inekwalidad ni Hölder ay totoo:
:<math>\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.</math>
:For ''p'' = ''q'' = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality.
* ''Inekwalidad na Minkowski''. Ipagpalagay na ang ''p'' ≥ 1 ay isang [[real na bilang]] at ang ''f'' at ''g'' ay mga maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang |''f''|<sup>''p''</sup>, |''g''|<sup>''p''</sup> at ang |''f'' + ''g''|<sup>''p''</sup> ay maiintegradong Riemann din at ang sumusunod na inekwalidad na Minkowski ay totoo:
:<math>\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.</math>
: Ang [[analogo]] ng inekwalidad na ito para sa [[integral na Lebesgue]] ay ginagamit sa paglikha ng mga [[espasyong Lp|espasyong L<sup>p</sup>]].
===Mga konbensiyon===
Sa seksiyong ito, ang ''f'' ay isang may halagang [[real na bilang]] na maiintegradong Riemann na [[punsiyon]]. Ang integral na
:<math> \int_a^b f(x) \, dx </math>
sa ibabaw ng interbal na [''a'', ''b''] ay inilalarawan kung ang ''a'' < ''b''. Ang ibig sabihin nito, ang taas(upper) at ang babang(lower) mga suma ng punsiyong ''f'' ay kinukwenta sa partisyong ''a'' = ''x''<sub>0</sub> ≤ ''x''<sub>1</sub> ≤ . . . ≤ ''x''<sub>''n''</sub> = ''b'' kung saan ang mga halagang ''x''<sub>''i''</sub> ay lumalaki. Sa [[heometrikal]] na kahulugan, ito ay naghuhudyat na ang integrasyon ay nagaganap mula "kaliwa hanggang kanana" na kumukwenta sa ''f'' sa loob ng mga interbal na [''x''<sub> ''i''</sub> , ''x''<sub> ''i'' +1</sub>] kung saan ang interbal na may mas mataas na [[indeks]] ay nakalagay sa kanan ng isa sa mga mas mababang indeks. Ang mga halagang ''a'' at ''b'' na mga dulong punto ng interbal ay tinatawag na mga [[hangganan]] ng integrasyon ng ''f''. Ang mga integral ay maaari ring ilarawan kung ang ''a'' > ''b'':
* ''Pagbabaliktad ng mga [[hangganan]] ng integrasyon''. Kung ang ''a'' > ''b'', maglarawan ng:
:: <math>\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. </math>
Eto na may ''a'' = ''b'' ay nagpapahiwatig na
* ''Ang mga integral sa ibabaw ng mga interbal na may habang sero.'' Kung ang ''a'' ay isang [[real na bilang]], kung gayon ang:
:: <math>\int_a^a f(x) \, dx = 0. </math>
Ang unang konbensiyon(convention) ay kinakailangan sa konsiderasyon ng pagkuha ng mga interbal sa ibabaw ng mga subinterbal ng [''a'', ''b'']. Ang ikalawa ay nagsasaad na ang intergal na kinuha sa ibabaw ng lumiit na interbal o punto ay dapat sero. Ang isang dahilan para sa unang konbensiyon ay ang integrabilidad ng ''f'' sa interbal na [''a'', ''b''] ay nagpapahiwatig na ang ''f'' ay maiintegrado sa anumang subinterbal na [''c'', ''d''], ngunit sa partikular, ang mga integral ay may katangiang:
* ''[[Adisyon|Aditibidad]] ng integrasyon sa mga interbal.'' Kung ang ''c'' ay anumang elemento ng [''a'', ''b''], kung gayon, ang:
:: <math> \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.</math>
Sa unang konbensiyon, ang nagreresultang ugnayan ay:
: <math>\begin{align}
\int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
&{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}</math>
ay kung gayon mabuting inilalarawan para sa anumang [[sikliko]]ng [[permutasyon]] ng
''a'', ''b'', at ''c''.
Imbis na tingnan ang nasa taas na mga konbensiyon, maaari ring kuning pananaw na ang integrasyon ay isinasagawa sa mga diperensiyal na mga anyo sa [[oryentabilidad|oryented]] na mga [[manipoldo]] lamang. Kung ang ''M'' ay isang oryented na ''m''-dimensiyonal na manipoldo, at ang ''M'' ang parehong manipoldo na may kabaligtarang oryentasyon at ang ''ω'' ay isang ''m''-na anyo, kung gayong meron tayong:
: <math>\int_M \omega = - \int_{M'} \omega \,.</math>
Ang mga konbensiyong ito ay tumutugon sa pagpapakahulugan ng integrand bilang diperensiyal na anyo na in-integrado sa ibabaw ng isang [[kadena (alhebraikong topolohiya)|kadena]]. Sa [[teoriyang sukat]] na salungat dito, pinapakahulugan ang integrand blang punsiyong
''f'' sa respeto ng isang sukat(measure) na <math>\mu,</math> at nag-iintegrado sa ibabaw ng ilalim-na-hanay(subset) na ''A,'' na walang anumang nosyon ng oryentasyon. Isinusulat ang <math>\textstyle{\int_A f\,d\mu = \int_{[a,b]} f\,d\mu}</math> upang ipakita ang integrasyon sa ibabaw ng ilalim-na-hanay na ''A.'' Eto ay isang maliit na distinksiyon sa isang [[dimensiyon]] ngunit nagiging mas mahirap na mapansin sa mga mas mataas na dimensiyonal na [[manipoldo]].
==Pundamental na teorema ng kalkulo==
{{Main|Pundamental na teorema ng kalkulo}}
Ang ''Pundamental na teorema ng kalkulo'' ay nagsasaad na ang [[diperentasyon]] at integrasyon ay mga [[inberso]]ng operasyon. Kung ang isang [[hangganan|tuloy tuloy na punsiyon]] ay in-integrado(integrated) muna at dineperensiya(differentiated), ang orihinal na [[punsiyon]] ay makukuha. Ang isang mahalagang kinahitnan nito na minsan tinatawag na ''ikalawang pundamental na teorema ng kalkulo''' ay pumapayag na makwenta ang mga integral gamit ang [[antideribatibo]] ng punsiyong iintegraduhin.
===Mga sinasaad ng teorema===
* ''Pundamental na teorema ng kalkulo.'' Itakda ang ''f'' bilang isang may halagang [[real na bilang]] na maiintegradong punsiyon na inilalarawan sa interbal na [''a'', ''b'']. Kung ang ''F'' ay inilalarawan para sa ''x'' sa [''a'', ''b''] ng:
::<math>F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.</math>
:kung gayon, ang ''F'' ay [[hangganan|tuloy tuloy]] sa [''a'', ''b'']. Kung ang ''f'' ay tuloy tuloy sa ''x'' sa [''a'', ''b''], kung gayon ang ''F'' ay [[deribatibo|diperensiyable]] sa ''x'', at ang ''F'' ′(''x'') = ''f''(''x'').
* ''Ikalawang pundamental na teorema ng kalkulo''. Itakda ang ''f'' bilang isang may halagang [[real na bilang]] na maiintegradong punsiyon na inilalarawan sa saradong interbal na [''a'', ''b'']. Kung ang ''F'' ay isang punsiyon kung saan ang ''F'' ′(''x'') = ''f''(''x'') para sa lahat ng ''x'' sa [''a'', ''b''] (na ang ibig sabihin ay ang ''F'' ay [[antideribatibo]] ng ''f''), kung gayon:
::<math>\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).</math>
Sa partikular, ang mga ito ay totoo sa tuwing ang ''f'' ay tuloy tuloy sa [''a'', ''b''].
==Mga ekstensiyon==
===Mga hindi angkop(improper) na integral===
[[File:Improper integral.svg|right|thumb|Ang [[hindi angkop na integral]] <br/><math>\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi</math><br/> ay may hindi natatakdaang(unbounded) mga interbal sa parehong sakop(domain) at [[range]].]]
Ang isang "angkop"(proper) na integral na Riemann ay nagpapalagay na ang integrand ay inilalarawan at pinido(finite o may hangganan) sa isang saradong(closed) at tinakdaan(bounded) na interbal na may braket sa mga [[hangganan]] ng integrasyon. Ang isang hindi angkop(improper) na integral ay nangyayari kung ang isa o marami sa mga kondisyong ito ay hindi nasasapat. Sa ibang mga kaso, ang mga gayong integral ay maaaring ilarawan sa pagkokonsidera ng mga [[hangganan]] ng [[sekwensiya]] ng angkop ng [[integral na Riemann]] sa patuloy na lumalaking mga interbal.
Kung ang interbal ay hindi tinakdaan(unbounded), halimbawa ang taas na dulo nito, ang hindi angkop na integral ang hangganan habang ang dulong puntong ito ay patungo sa [[inpinidad]](infinity).
:<math>\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)dx</math>
Kung ang integrand ay inilalarawan lamang o pinido(finite o may hangganan) sa isang kalahating bukas na interbal, halimbawa ang
(''a'',''b''], kung gayon ang hangganan ay maaaring magbigay ng isang resultang pinido(finite).
:<math>\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx</math>
Ang ibig sabihin nito, ang hindi angkop na integral ang [[hangganan]] ng mga angkop na integral habang ang isang dulongpunto ng interbal ng integral ay papalapit sa isang tinukoy na [[real na bilang]] o ∞, o −∞. Sa mga mas komplikadong mga kaso, ang mga hangganan ay kinakailangan sa parehong mga dulong punto o sa panloob na mga punto.
Tingnan halimbawa, ang punsiyon na, <math>\tfrac{1}{(x+1)\sqrt{x}}</math> na in-integrado mula 0 patungo sa ∞ (pinapakita sa kanan). Sa babang hangganan(lower bound), habang ang ''x'' ay patungo sa 0, ang punsiyon ay patungo sa ∞ at ang taas na hangganan(upper bound) ay mismong ∞ bagaman ang punsiyon ay patungo sa 0. Kaya ito ay isang dobleng hindi angkop na integral. Kung in-integrado sabihing mula 1 hanggang 3, ang ordinaryong sumang Riemann ay sasapat na magbigay ng resulta na <math>\tfrac{\pi}{6}</math>. Upang integraduhin mula 1 patungo sa ∞, ang isang sumang Riemann ay hindi posible. Gayunpaman, ang anumang pinidong taas na hangganan, sabihin nating ''t'' (na ang''t'' > 1) ay nagbibigay ng isang maiging inilarawan na resultang <math>\tfrac{\pi}{2} - 2\arctan \tfrac{1}{\sqrt{t}}</math>. Eto ay may pinidong(finite) [[hangganan]] habang ang ''t'' ay patungo sa inpinidad o <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. Gayundin, ang integral mula <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> hanggang 1 ay pumapayag sa isang sumang Riemann din, na koinsidental ay nagreresulta sa <math>\tfrac{\pi}{6}</math>. Kung papalitan ang <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> ng anumang arbitraryo(o ayon sa kagustuhan) positibong halagang ''s'' (na ang ''s'' < 1) ay katumbas na ligtas na nagbibigay ng <math>-\tfrac{\pi}{2} + 2\arctan\tfrac{1}{\sqrt{s}}</math>. Eto rin ay may pinidong(finite) [[hangganan]] habang ang ''s'' ay patungo sa sero o <math>\tfrac{\pi}{2}</math>. Kung pagsasamahin ang mga [[hangganan]] ng dalawang mga pragmento, ang resulta ng hindi angkop na integral na ito ay:
:<math>\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{s}^{1} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}
+ \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} \\
&{} = \lim_{s \to 0} \left( - \frac{\pi}{2} + 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{s}} \right)
+ \lim_{t \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{t}} \right) \\
&{} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\
&{} = \pi .
\end{align}</math>
Ang prosesong ito ay hindi tumitiyak ng pagtatagumpay. Ang isang [[hangganan]] ay maaaring mabigong umiral o maaaring hindi tinakdaan(unbounded). Halimbawa, sa ibabaw ng tinakdaang interbal na 0 hanggang 1, ang integral ng <math>\tfrac{1}{x}</math> ay hindi nagtatagpo(converge) at sa ibabaw ng hindi tinakdaang interbal na 1 hanggang ∞, ang integral na <math>\tfrac{1}{\sqrt{x}}</math> ay hindi nagtatagpo.
[[File:Improper integral unbounded internally.svg|right|thumb|Ang hindi angkop na integral na <br/><math>\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = 6</math><br/> ay hindi tinakdaan sa loob nito ngunit ang parehong kaliwa at kanang [[hangganan]] ay umiiral.]]
Maaari ring mangyaring ang isang integrand ay hindi tinakdaan sa loob na punto na sa kasong ito, ang integral ay dapat hatiin sa puntong ito at ang mga hangganang integral sa parehong gilid ay dapat umiral at dapat takdaan(bounded). Kaya:
:<math>\begin{align}
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{-1}^{-s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}
+ \lim_{t \to 0} \int_{t}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\
&{} = \lim_{s \to 0} 3(1-\sqrt[3]{s}) + \lim_{t \to 0} 3(1-\sqrt[3]{t}) \\
&{} = 3 + 3 \\
&{} = 6.
\end{align}</math>
Ngunit ang parehong integral na
:<math> \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} \,\!</math>
ay hindi maaaring takdaan ng halaga sa ganitong paraan dahil mga integral sa itaas at ibaba ng sero ay hindi independiyenteng nagtatagpo(converge).
===Pangmaramihang(multiple) integral===
{{Main|Pangmaramihang integral}}
[[File:Volume under surface.png|right|thumb|Ang dobleng integral bilang bolyum sa ilalim ng surpasiyo. ]]
Ang mga integral ay maaaring kunin sa ibabaw ng mga rehiyon bukod sa mga interbal. Sa pangkalahatan, ang integral sa isang [[hanay]] na ''E'' ng punsiyong ''f'' ay isinusulat na:
:<math>\int_E f(x) \, dx.</math>
Dito, ang ''x'' ay hindi kinakailangang isang [[real na bilang]] ngunit maaaring maging isang angkop na kantidad gaya halimbawa ng [[bektor (heometriya}|bektor]] '''R'''<sup>3</sup>. Ang [[teorema ni Fubini]] ay nagpapakitang ang mga gayong integral ay maaaring muling isulat bilang [[pangmaramihang integral]]. Sa ibang salita, ang integral ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng pag-iintegrado ng isang koordinato ng isa isa.
Kung paanong ang depinidong(definite) integral ng isang positibong punsiyon ng isang [[bariabulo]] ay kumakatawan sa [[area]] ng rehiyon sa pagitan ng [[grapo]] ng [[punsiyon]] at ng x-aksis, ang ''dobleng integral'' ng isang positibong punsiyon ng dawalang bariabulo ay kumakatawan sa [[bolyum]] ng rehiyon sa pagitan ng [[surpasiyo]] na inilalarawan ng punsiyon at ng [[plano]] na naglalaman ng [[sakop]](domain) nito. Ang parehong bolyum ay maaaring makamit sa pamamagitan ng ''tripleng integral'' na integral ng isang punsiyon sa tatlong bariabulo ng [[konstante]]ng punsiyong ''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 1 sa ibabaw ng nabanggit sa taas na rehiyon sa pagitan ng surpasiyo at plano. Kung ang bilang ng mga bariabulo ay mas mataas, kung gayon, ang integral ay kumakatawan sa isang [[apat na dimensiyonal na espasyo|hiperbolyum]](hypervolume) na bolyum ng [[solido]] ng higit sa [[tatlong dimensiyon]] na hindi maaaring i-[[grapo]].
Halimbawa, ang bolyum ng [[kuboid]](cuboid) ng mga gilid na 4 × 6 × 5 ay maaaring makamit sa dalawang paraan:
* Sa pamamagitan ng dobleng integral:
:: <math>\iint_D 5 \ dx\, dy</math>
: ng punsiyong ''f''(''x'', ''y'') = 5 na kinwenta sa rehiyong ''D'' sa ''xy''-plano na [[base]] ng kuboid. Halimbawa, kung ang isang rektangular na base ng gayong kuboid ay ibinigay sa pamamagitan ng ''xy'' ng mga inekwalidad 2 ≤ ''x'' ≤ 7, 4 ≤ ''y'' ≤ 9, ang nasa taas na dobleng integral ay mababasa na ngayong:
::<math>\int_4^9 \int_2^7 \ 5 \ dx\, dy</math>
:Mula dito, ang integrasyon ay maaaring isagawa, sa respeto ng ''x'' o ''y'' muna. Sa halimbawang ito, ang integrasyon ay gagawin muna sa respeto ng ''x'' bilang interbal na tumutugon sa ''x'' sa panloob na integral is the inner integral. Pag ang unang integrasyon ay nakumpleto na sa pamamagitan ng <math>F(b) - F(a)</math> na paraan o ng ibang paraan, ang resulta ay muling iintegraduhin sa respeto ng ibang bariabulo. Ang resulta ay tutumbas sa bolyum sa ilalim ng surpasiyo.
* Sa pamamagitan ng tripleng integral
::<math>\iiint_\mathrm{cuboid} 1 \, dx\, dy\, dz</math>
:ng konstanteng punsiyong 1 na kinwenta sa mismong kuboid.
===Mga linyang integral===
{{Main|Linyang integral}}
[[File:Line-Integral.gif|right|thumb|Ang linyang integral ay nagsusuma(sum) ng mga elemento sa kahabaan ng [[kurba (heometriya)|kurba]].]]
Ang konsepto ng integral ay maaaring palawigin sa mas pangkalahatang mga sakop(domain) ng integrasyon gaya ng [[kurba (heometriya)|kurbadong]] mga linya at mga surpasiyo. Ang gayong mga integral ay tinatawag na mga linyang integral at surpasiyong integral. Ang mga ito ay may mahahalagang mga aplikasyon sa [[pisika]] kung pinag-aaralan ang mga [[bektor na field]].
Ang isang ''linyang integral''( o minsang tinatawag na ''landas na integral'') ang integral kung saan ang [[punsiyon]]ng iintegraduhin ay kinukwenta sa kahabaan ng [[kurba (heometriya)|kurba]]. Ang iba ibang magkakaibang mga linyang integral ay ginagamit. Sa kaso ng saradong(closed) kurba, ito ay tinatawag rin ''kontur na integral''(contour integral).
Ang punsiyong iintegraduhin ay maaaring isang [[skalar na field]] o isang [[bektor na field]]. Ang halaga ng linyang integral ay [[suma]] ng mga halaga sa lahat ng mga punto sa kurbo na tinimbang ng isang skalar na punsiyon sa kurba na karaniwang tinatawag na [[arkonghaba]] o kung para sa bektor na field, ang [[panloob na produktong espasyon|skalar na produkto]] ng bektor na field na may [[diperensiyal (inpinitesimal)|diperensiyal]] na bektor sa kurba. Ang pagtitimbang na ito ay bumubukod sa linyang integral sa mga mas simpleng integral na inilalarawan sa mga interbal. Maraming mga simpleng pormula sa [[pisika]] ang may natural na tuloy tuloy na [[analogo]] sa mga termino ng mga linyang integral. Halimbawa, ang isang [[mekanikal na gawa]] ay katumbas ng [[puwersa]]ng
''F'' na pinarami ng pagkakaalis(displacement) na ''s'' ay maaaring ihayag sa termino ng mga kantidad na bektor bilang:
:<math>W=\vec F\cdot\vec s.</math>
Para sa isang obhektong gumagalaw sa kahabaan ng isang landas sa [[bektor na field]] na <math>\vec F</math> gaya ng isang [[elektrikang field]] o [[grabitasyonal na field]], ang kabuuang gawa(work) na ginawa sa field ng obhekto ay makakamit sa pamamagitan ng pagsusuma(summing) ng diperensiyal na nagawa sa paggalaw mula <math>\vec s</math> patungo sa <math>\vec s + d\vec s</math>. Eto ay nagbibigay ng linyang integral na:
:<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s.</math>
===Mga Surpasiyong integral===
{{Main|Surpasiyong integral}}
[[File:Surface integral illustration.png|right|thumb|Ang depinisyon ng surpasiyong integral ay nakasalalay sa paghahati ng surpasiyo sa maliit na mga surpasiyong elemento.]]
Ang ''surpasiyong integral'' ay isang depinidong(definite) integral na kinuha sa ibabaw ng [[surpasiyo]] na maaaring isang kurbadong hanay(set) sa espasyo. Eto ay maaaring isipin na [[pangmaramihang integral|dobleng integral]] na [[analogo]] ng [[linyang integral]]. Ang [[punsiyo]]ng iintegraduhin ay maaaring isang [[skalar na field]] o isang [[bektor na field]]. Ang halaga ng surpasiyong integral ang suma(sum) ng field sa lahat ng mga punto sa surpasiyo. Eto ay makakamit sa pamamagitan ng paghati ng surpasiyo sa mga surpasiyong elemento na nagbibigay ng pagpapartisyon(pagbabahagi) para sa mga sumang Riemann.
Para sa halimbawa ng mga aplikasyon ng mga surpasiyong integral. tingnan ang [[bektor na field]] na ''v'' sa surpasiyong ''S'' o sa bawat puntong ''x'' sa ''S'', ang ''v''(''x'') ay isang [[bektor]]. Isiping may [[pluido]]ng dumadaloy sa ''S'' upang ang '''v'''('''x''') ang tumutukoy ng [[belosidad]] ng pluido sa ''x''. Ang [[flux]] ay inilalarawan bilang kantidad ng pluidong dumadaloy sa ''S'' sa isang unit na halaga ng panahon. Upang mahanap ang flux, kailangang kunin ang [[produktong tuldok]] ng ''v'' na may unit na [[surpasiyong normal]] sa ''S'' sa bawat punto na magbibigay ng [[skalar ng filed]] na iintegraduhin sa ibabaw ng surpasiyo:
:<math>\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}}.</math>
Ang pluidonng flux sa halimbawang ito ay maaaring mula sa pisikal na pluido gaya ng [[tubig]] o [[hangin]] o mula sa mga [[elektrikal]] o [[magnetiko]]ng flux. Ang mga surpasiyong integray ay may mga aplikasyon sa [[pisika]] partikular na sa [[klasikong teoriya]] o [[elektromagnetismo]].
===Mga integral ng mga diperensiyal na mga anyo===
{{Main|Diperensiyal na anyo}}
Ang isang [[diperensiyal na anyo]] ay isang matematikal na konsepto sa mga larangan ng [[multibariabulong kalkulo]], [[diperensiyal na topolohiya]] at mga [[tensor]]. Ang modernong notasyon para sa isang diperensiyal na anyo gayundin ang ideya ng mga diperensiyal na anyo bilang [[panlabas na alhebra|mga produktong wedge]] ng [[panlabas na deribatibo]] na bumubuo ng [[panlabas na alhebra]] ay ipinakilala ni[[Élie Cartan]].
Sa simula ay gagawa tayo sa isang [[bukas na hanay]](open set) sa '''R'''<sup>''n''</sup>.
Ang isang 0-anyo ay inilalarawan bilang isang [[makinis na punsiyon]]g ''f''.
Kung iintegraduhin ang punsiyong ''f'' sa ibabaw ng ''m''-dimensiyonal na subespasyong ''S'' ng '''R'''<sup>''n''</sup>, ito ay isusulat na:
:<math>\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.</math>
(Ang mga superskritpo dito ay mga indeks at hindi mga [[eksponente]]). Maaari nating tignan ang ''dx''<sup>1</sup> patungo sa ''dx''<sup>''n''</sup> bilang mga pormal na obhekto sa kanilang sarili imbis na mga tanda(tags) na ikinabit upang gawin ang integral na magmukhang [[sumang Riemann]]. Sa ibang pananaw naman, maaari itong makita bilang mga [[isang-anyo|kobektor]], samakatuwid ay isang [[sukat (matematika)|sukat]] ng [[densidad]](na maiintegrado sa pangkalahatang kahulugan). Tawagin natin ang ''dx''<sup>1</sup>, …,''dx<sup>n</sup>'' na ''basikong''(basic) [[isang-anyo|1-''mga anyo'']].
Ating ilalarawan ang [[panlabas na alhebra|produktong wedge]] na "∧" na isang bilinyar(bilinear) na [[multiplikasyon]]g operador sa mga elementong ito na may kahaliling katangian na:
:<math> dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!</math>
para sa lahat ng mga indeks na ''a''. Pansinin na ang paghalili sa kahabaan ng linyaridad at asosiyatibidad ay nagpapahiwatig na ''dx''<sup>''b''</sup>∧''dx''<sup>''a''</sup> = −''dx''<sup>''a''</sup>∧''dx''<sup>''b''</sup>. Tinitiyak din nito na ang resulta ng produktong wedge ay may oryentasyon.
Ating ilalarawan ang hanay(set) ng lahat ng mga [[produkto]]ng ito bilang ''basikong'' ''basic'' 2-''mga anyo'' at tulad nito, ating ilalarawan ang hanay ng mga produktong ang anyo ay ''dx''<sup>''a''</sup>∧''dx''<sup>''b''</sup>∧''dx''<sup>''c''</sup> na maging ''basikong'' 3-''mga anyo''. Ang isang pangkalahatang ''k''-anyo sa gayon, ay isang tinimbang na suma ng basikong k-''na mga anyo'' kung saan ang mga timbang ang makinis na mga punsiyong ''f''. Kung pagsasamahin ang mga ito, ito ay bumubuo ng [[bektor na espasyo]] na may basikong ''k''-mga anyo bilang mga basis na bektor at ang 0-mga anyo(mga makinis na punsiyon) bilang field ng mga [[skalar]]. Ang produktong wedge ay lumalawig naman sa ''k'''mga anyo sa natural na paraan. Sa ibabaw ng '''R'''<sup>''n''</sup> sa pinakamarami na ''n'' mga kobektor ay maaaring linyar na independiyente, kaya ang ''k-''anyo na may with ''k'' > ''n'' ay palaging sero sa kahaliling katangian.
Sa karagdagan sa produktong wedge, meron din [[panlabas na deribatibo]]ng operator na ''d''. Ang operador na ito ay nagmamapa ng mga ''k''-mga anyo sa (''k''+1)-mga anyo. Para sa isang''k''-anyo ω = ''f'' ''dx<sup>a</sup>'' sa ibabaw ng '''R'''<sup>''n''</sup>, ating ilalarawan ang aksiyon ng ''d'' sa pamamagitan ng:
:<math>d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.</math>
na may ekstensiyon sa pangkalahatang ''k''-mga anyo na nangyayaring linyar.
Ang mas pangkalahatang paraang ito ay pumapayag para sa mga mas natural na malaya sa koordinatong mga paraan ng integrasyon sa mga [[manipoldo]]. Eto ay pumapayag rin para sa isang natural na paglalahat ng [[pundamental na teorema ng kalkulo]]ng tinatawag na [[teorema ni Stokes]] na maaaring isaad na:
:<math>\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!</math>
kung saan ang ω ay isang pangkalahatang ''k''-anyo at ang ∂Ω ay tumutukoy sa [[hangganan (topolohiya)|hangganan]](boundary) ng rehiyong Ω. Samakatuwid, sa kasong ang ω ay isang 0-anyo at ang Ω ay isang saradong interbal ng linyang [[real na bilang|real]], eto ay lumiliit sa [[pundamental na teorema ng kalkulo]]. Sa kasong ang ω ay isang 1-anyo at ang Ω ay isang dalawang-dimensiyonal na rehiyon sa plano, ang teorema ay lumiliit sa [[teorema ni Green]]. Gayundin, kung gagamitin ang 2-mga anyo at 3-mga anyo at ang [[dualidad na Hodge]], maaari tayong dumating sa [[teorema ni Stokes]] at [[teoremang diberhensiya]]. Sa paraang ito, ang mga anyong diperensiyal ay nagbibigay ng makapangyarihang nagbibigkis na pananaw ng integrasyon.
==Mga paraan ng pagkwenta ng integral==
===Mga pundamental na pormula===
[[Talaksan:Integral as region under curve.png|thumb|300px|Ang integral ang area('''S''') ng [[punsiyon|punsiyong]] '''f(x)''' mula '''a''' hanggang '''b''']]
:<math>\int dx = x + C</math>
:<math>\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ }n \ne -1</math>
:<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C</math>
:<math>\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin {x \over a} + C</math>
:<math>\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos {x \over a} + C</math>
:<math>\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec {|x| \over a} + C</math>
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C,</math>
:<math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C</math>
:<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>
:<math>\int a^{ln(x)}\,dx =\int x^{ln(a)}\,dx=\frac{x\,a^{ln(x)}}{\ln{a}+1} + C=\frac{x\,x^{ln(a)}}{\ln{a}+1} + C</math>
:<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math>
:<math>\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C</math>
:<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C</math>
:<math>\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C</math>
:<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C</math>
:<math>\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C</math>
:<math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C</math>
:<math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C</math>
:<math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>
:<math>\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C</math>
:<math>\int \sinh x \, dx = \,cosh x + C</math>
:<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
:<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C</math>
:<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math>
:<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C</math>
:<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C</math>
:<math>\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C</math>
: <math>\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C</math>
===Mga paraan ng pagkwenta sa integral ng mga komplikadong punsiyon===
* [[Integrasyon sa substitusyon]] (Integration by substitution)
* [[Integrasyon ng mga bahagi]] (Integration by parts)
* [[Integrasyon ng pagiiba ng order]](Changing the order of integration)
* [[Trigonometrikong substitusyon]] (Integration by trigonometric substitution)
* [[Integrasyon gamit ang parsyal na praksyon]]( Integration by partial fractions)
* [[Integrasyon sa pagpapaliit]] (Integration by reduction formulae)
* [[Integrasyon gamit ang parametrikong deribatibo]] (Integration using parametric derivatives)
* [[Integrasyon gamit ang pormula ni Euler]] (Integration using Euler's formula)
* [[Diperentasyon sa ilalim ng integral na senyas]] (Differentiation under the integral sign)
* [[Integrasyong kontur]] (Contour integration)
==Sanggunian==
{{reflist}}
[[Kategorya:Kalkulo]]
{{Link FA|mk}}
{{Link FA|ca}}
{{Link FA|eu}}
[[am:አጠራቃሚ]]
[[an:Integración]]
[[ar:تكامل]]
[[az:İnteqral]]
[[be:Інтэграл]]
[[bg:Интеграл]]
[[bn:সমাকলন]]
[[bs:Integral]]
[[ca:Integració]]
[[cs:Integrál]]
[[cy:Integryn]]
[[da:Integralregning]]
[[de:Integralrechnung]]
[[el:Ολοκλήρωμα]]
[[en:Integral]]
[[eo:Integralo]]
[[es:Integración]]
[[et:Määratud integraal]]
[[eu:Integral]]
[[fa:انتگرال]]
[[fi:Integraali]]
[[fr:Intégration (mathématiques)]]
[[gl:Integral]]
[[he:אינטגרל]]
[[hi:समाकलन]]
[[hr:Integral]]
[[hu:Riemann-integrálás]]
[[id:Integral]]
[[io:Integralo]]
[[is:Heildun]]
[[it:Integrale]]
[[ja:積分法]]
[[ka:ინტეგრალი]]
[[kk:Интеграл]]
[[km:អាំងតេក្រាល]]
[[ko:적분]]
[[ky:Аныкталбаган интеграл]]
[[la:Integrale]]
[[lt:Apibrėžtinis integralas]]
[[lv:Integrālis]]
[[mk:Интегрално сметање]]
[[ml:സമാകലനം]]
[[mr:संकलन]]
[[ms:Kamiran]]
[[mt:L-Integral]]
[[my:အင်တီဂရေးရှင်း]]
[[nl:Integraalrekening]]
[[nn:Integral]]
[[no:Integral (matematikk)]]
[[pl:Całka]]
[[pt:Integral]]
[[ro:Integrală]]
[[ru:Интеграл]]
[[scn:Intiggrali]]
[[sh:Integral]]
[[simple:Integral]]
[[sk:Integrál]]
[[sl:Integral]]
[[sq:Integrali]]
[[sr:Одређени интеграл]]
[[su:Integral]]
[[sv:Integral]]
[[ta:தொகையீடு]]
[[th:ปริพันธ์]]
[[tr:İntegral]]
[[uk:Інтегрування]]
[[ur:تکامل]]
[[vec:Integral]]
[[vi:Tích phân]]
[[zh:积分]]
[[zh-min-nan:Chek-hun]]
[[zh-yue:積分]]
| |||