Angkaya ang bawat termino ayng suma(sum)ngang [[area]] ng mgaisang [[parihaba]] na may taas na katumbas ng halaga ng punsiyon sa natatanging punto ng ibinigay ng nasubinterbal at ang lapad ay pareho sa lapad ng subinterbal. Itakda ang {{nowrap|Δ<sub-interbal(maliit>''i''</sub> {{=}} ''x''<sub>''i''</sub>−''x''<sub>''i''−1</sub>}} na interbal)maging atlapat ng subinterbal na i ''i''; kung gayon ang habamesh nitong aygayong katumbasmay tandang partisyon ang lapad ng habapinakamalaking subinterbal na nabubuo ng partisyon {{nowrap|max<sub-interbal>''i''{{=}}1…''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>}}. Ang ''Riemann integral'' ng isang punsiyong ''f'' sa ibabaw ng interbal na [''a'',''b''] ay katumbas sa ''S'' kung:
:SaPara sa lahat ng ε {{nowrap|ε > 0}} may umiiral na δ {{nowrap|δ > 0}} kungsa saangayong sa bawat anumang may tandang partisyon partisyong [''a'',''b''] na may mesh na mas maliitmababa sa δ δ, meron tayong: mayroong▼
Itakda ang Δ<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>-''x''<sub>''i''-1</sub> na maging haba(width) ng sub-interbal na ''i''. Ang ''mesh''(o ''norm'') ng may tandang partisyon ang haba ng pinakamalaking sub-interbal sa mga partisyon at inilalarawan ng: max<sub>''i''=1…''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>. Halimbawa, ang hanay(set) na P=(2,3.2,4.3,5,6) ang partisyon ng interbal na [2,6] at hinati sa apat na sub-interbal na may mga habang Δ<sub>''1''</sub> =1.2, Δ<sub>''2''</sub> =0.8, Δ<sub>''3''</sub> =0.7 at Δ<sub>''4''</sub> =1. Ang ''mesh'' ng partisyong ito ay 1.2 na pinakamahabang haba ng mga sub-interbal. Ang mabuting aproksimasyon ay makakamit kung ang ang mesh(norm) ay gagawing malapit sa 0. Ang integral na Riemann ng punsiyong ''f'' sa interbal na [''a'',''b''] ay katumbas ng ''S'' kung:
▲:Sa lahat ng ε > 0 may umiiral na δ > 0 kung saan sa bawat may tandang partisyon [''a'',''b''] na may mesh na mas maliit sa δ, meron tayong:
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon.</math>
KungKapag ang napiling mga tanda ay nagbibigay ng maksimum(o minimum) ngna halaga ng bawat interbal, ang sumang Riemann ay nagiging taasitaas(o babamababa) na sumang Darboux na nagmumungkahi ng malapit na ugnayan sa pagitan ng integral na Riemann at integral na Darboux.
