Pagkakaiba sa pagitan ng mga pagbago ng "Kalkulong integral"

walang buod ng pagbabago
Ang '''kalkulong integral''' (Ingles: '''''integral calculus''''') ay isang sangay ng [[kalkulo]] na nag-aaral ng '''integrasyon ''' ('''pagsasama''') at mga paggamit nito, katulad ng paghahanap ng mga bolyum, mga area, at mga solusyon sa mga ekwasyong diperensiyal. Ito ay nakatuon determinasyon o pag-alam (paghanap) ng mga '''integral'''. Bilang pag-aaral ng integrasyon at mga paggamit nito, ang mga paggamit na ito ay kinabibilangan ng pagkukwenta ng mga area na nahahangganan ng mga kurba, at mga bolyum na nahahangganan ng mga kalatagan o kaibabawan.<ref>[http://www.thefreedictionary.com/integral+calculus integral calculus], The Free Dictionary ng Farlex, thefreedictionary.com</ref>
==Kasaysayan==
 
Ang unang nadokumentong sistematikong pamamaraang may kakayahang tumukoy ng mga integral ang paraan ng pag-ubos ng sinaunang Griyegong astronomong si [[Eudoxus]](ca. 370 BCE). Ito ay naghangad na humanap ng mga area at bolyum sa pamamagitan ng paghahati ng mga ito sa walang hangganang mga hugis kung saan ang area at bolyum ay alam. Ang paraang ito ay karagdagang pinaunlad at ginamit ni [[Archimedes]] noong ika-3 siglo BCE at ginamit upang kwentahin ang mga [[parabola]] at ang pagtatantiya ng area ng isang [[bilog]]. Ang mga kaparehong paraan ay independiyenteng pinaunlad sa Tsina noong ika-3 siglo CE ni [[Liu Hui]] na gumamit nito upang hanapin ang area ng bilog. Ang paraang ito ay kalaunang ginamit noong ika-5 siglo CE ng Tsinong mag-amang matematikong sina [[Zu Chongzhi]] at [[Zu Geng]] upang hanapin ang bolyum ng isang [[spero]]. Ang sumunod na mahalagang mga pagsulong sa kalkulong integral ay hindi nagsimula hanggang sa ika-16 siglo. Sa panahong ito, ang akda ni [[Bonaventura Cavalieri]] sa kanyang paraan ng mga hindi mahahati at akda ni [[Pierre de Fermat]] ay nagsimulang maglatag ng mga pundasyon ng modernong kalkulo. Ang mga karagdagang hakbang ay nagawa noong simulang ika-17 siglo nina [[Barrow]] at [[Torricelli]] na nagbigay ng unang mga pagpapahiwatig ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperesiasyon. Si Barrow ay nagbigay ng unang patunay ng [[pundamental na teorema ng kalkulo]]. Nilahat ni Wallis ang paraan ni Cavalieri na kumwenta ng mga integral ng x sa isang pangkalahatang kapangyarihan kabilang ang mga negatibong kapangyarihan at mga praksiyonal na kapangyarihan. Ang pangunahing pagsulong sa integrasyon ay dumating noong ika-17 siglo sa independiyenteng pagkakatuklas ng pundamental na teorema ng kalkulo nina [[Isaac Newton]] at [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]. Ang teoremang ito ay nagpapakita ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperensiasyon. Ang balangkas na ito ay kalaunang naging modernong kalkulo na ang notasyon para sa mga integral ay direktang hinango mula sa akda ni Leibniz. Bagaman sina Newton at Leibniz ay nagbigay ng isang sistematikong pakikitungo sa integrasyon, ang kanilang mga akda ay nagkukulang sa isang digri ng matematikal [[rigor]]. Inatake ni [[George Berkeley]] ang mga naglalahong inkrementong ginamit ni Newton na tinawag ang mga itong "mga multo ng naglahong mga kantidad". Ang kalkulo ay nagkamit ng isang mas matatag na saligan sa pagpapaunlad ng mga hangganan. Ang integrasyon ay unang rigorosong matematikal na pinormalisa ni [[Bernhard Riemann]] gamit ang mga hangganan. Si [[Lebesgue]] ay nagpormula ng isang ibang depinisyon ng integral na itinatag sa [[teoriya ng sukat]]. Ang iba pang mga depinisyon ay iminungkahi rin.
==Introduksiyon==
 
[[File:Integral approximations.svg|thumb|right|Aproksimasyon ng area ng kurbang &radic;''x'' mula 0 hanggang 1,<span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;gamit ang limang parihaba at <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;labilandalawang parihaba]]
Ang integral ang [[hangganan]] ng mga sumang kinwenta sa isang proseso kung saan ang sakop ng isang [[punsiyon]] ay hinahati sa maliliit na mga [[subhanay]] at isang posibleng nominal na halaga ng punsiyon sa bawat subhanay ay hinahati ng sukat ng subhanay na ito. Ang depinidong integral ay mapapakahulugan bilang ang area o ang paglalahat ng isang area.<ref>http://mathworld.wolfram.com/Integral.html</ref> Ang indepinidong integral ay tumutukoy sa nosyon ng antideribatibo ng isang punsiyong F na ang [[deribatibo]] ang ibinigay na punsiyong f. Ang unang [[pundamental na teorema ng kalkulo]] ay pumapayag sa depinidong integral na makwenta sa mga termino ng indepinidong integral.<ref>http://mathworld.wolfram.com/IndefiniteIntegral.html</ref> Ang integral ay naisip ng mga tagapagtatag ng kalkulo bilang walang hangganang [[suma]] ng mga parihaba nang may napakaliitlapad na lapad[[inpinitesimal]]. Ang isang rigorosong matematikal na depinisyon ng integral ay ibinigay ni [[Bernhard Riemann]] batay sa isang may hangganang paraan na nagtatantiya ng area ng isang rehiyong kurbilinyar sa pamamagitan ng paghahati ng rehiyon sa maninipis na patayong piraso. Ang ideya ay ang pagpapadami ng bilang ng mga parihaba tungo sa [[inpinidad]] sa pamamagitan ng pagkuha ng [[hangganan]] habang ang lapad ng parihaba ay papalapit sa sero. Simula ika-19 siglo, ang mas sopistikadong mga nosyon ng integral ay nagsimulang lumitaw kung saan ang [[punsiyon]] gayundin ang sakop kung saan ang integrasyon ay isinsasagawa ay nilahat.
 
Upang maintindihan ang konseptong ito, tingnan ang kurba sa larawan sa kanan na ''y''&nbsp;=&nbsp;''f''(''x'') sa pagitan ng ''x''&nbsp;=&nbsp;0 at ''x''&nbsp;=&nbsp;1, kung saan ang punsiyon ay inililalarawan ng ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;√''x''. Ang area na pagitan ng 0 hanggang 1 ang '''integral''' ng ''f''. Ang notasyon ng integral na ito ay:
:<math>\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497\,\!</math>
 
Upang kwentahin ang area ng kurba gamit ang operasyong integrasyon: Una, kailangang hanapin natin ang antideribatibo(integral) ng punsiyong ating nilulutas na: ''f''(''x'') = √''x''. Ang antideribatibo ay: ''F''(''x'')&nbsp;= <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>3/2</sup>. Ngayon isubtrak ang halaga ng ''F''(1) sa halaga ng ''F''(0), kung saan ang 0 at 1 ang mga hangganan ng kurba. Ang "eksaktong" area ng kurbang √''x'' ay:
:<math> \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = F(1)- F(0) = 0.666666667</math>
 
Ang integral ay isa ring '''antideribatibo''' o inberso (kabalagtiran) ng isang deribatibo.
 
==Mga pormal na depinisyon==
:<math>W=\vec F\cdot\vec s.</math>
 
Para sa isang obhektong gumagalaw sa kahabaan ng isang landas sa [[bektor na field]] na <math>\vec F</math> gaya ng isang [[elektrikangelektrikong field]] o [[grabitasyonal na field]], ang kabuuang gawa(work) na ginawa sa field ng obhekto ay makakamit sa pamamagitan ng pagsusuma(summing) ng diperensiyal na nagawa sa paggalaw mula <math>\vec s</math> patungo sa <math>\vec s + d\vec s</math>. Eto ay nagbibigay ng linyang integral na:
:<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s.</math>
===Mga Surpasiyong integral===
{{Main|Surpasiyong integral}}
[[File:Surface integral illustration.png|right|thumb|Ang depinisyon ng surpasiyong integral ay nakasalalay sa paghahati ng surpasiyo sa maliit na mga surpasiyong elemento.]]
Ang ''surpasiyong integral'' ay isang depinidong(definite) integral na kinuha sa ibabaw ng [[surpasiyo]] na maaaring isang kurbadong hanay(set) sa espasyo. Eto ay maaaring isipin na [[pangmaramihang integral|dobleng integral]] na [[analogo]] ng [[linyang integral]]. Ang [[punsiyo]]ng iintegraduhin ay maaaring isang [[skalar na field]] o isang [[bektor na field]]. Ang halaga ng surpasiyong integral ang suma(sum) ng field sa lahat ng mga punto sa surpasiyo. Eto ay makakamit sa pamamagitan ng paghati ng surpasiyo sa mga surpasiyong elemento na nagbibigay ng pagpapartisyon(pagbabahagi) para sa mga sumang Riemann.
 
 
Para sa halimbawa ng mga aplikasyon ng mga surpasiyong integral. tingnan ang [[bektor na field]] na ''v'' sa surpasiyong ''S'' o sa bawat puntong ''x'' sa ''S'', ang ''v''(''x'') ay isang [[bektor]]. Isiping may [[pluido]]ng dumadaloy sa ''S'' upang ang '''v'''('''x''') ang tumutukoy ng [[belosidad]] ng pluido sa ''x''. Ang [[flux]] ay inilalarawan bilang kantidad ng pluidong dumadaloy sa ''S'' sa isang unit na halaga ng panahon. Upang mahanap ang flux, kailangang kunin ang [[produktong tuldok]] ng ''v'' na may unit na [[surpasiyong normal]] sa ''S'' sa bawat punto na magbibigay ng [[skalar ng filed]] na iintegraduhin sa ibabaw ng surpasiyo: