Kalkulong integral: Pagkakaiba sa mga binago

Ang unang nadokumentong sistematikong pamamaraang may kakayahang tumukoy ng mga integral ang paraan ng pag-ubos ng sinaunang Griyegong astronomong si [[Eudoxus]](ca. 370 BCE). Ito ay naghangad na humanap ng mga area at bolyum sa pamamagitan ng paghahati ng mga ito sa walang hangganang mga hugis kung saan ang area at bolyum ay alam. Ang paraang ito ay karagdagang pinaunlad at ginamit ni [[Archimedes]] noong ika-3 siglo BCE at ginamit upang kwentahin ang mga [[parabola]] at ang pagtatantiya ng area ng isang [[bilog]]. Ang mga kaparehong paraan ay independiyenteng pinaunlad sa Tsina noong ika-3 siglo CE ni [[Liu Hui]] na gumamit nito upang hanapin ang area ng bilog. Ang paraang ito ay kalaunang ginamit noong ika-5 siglo CE ng Tsinong mag-amang matematikong sina [[Zu Chongzhi]] at [[Zu Geng]] upang hanapin ang bolyum ng isang [[spero]]. Ang sumunod na mahalagang mga pagsulong sa kalkulong integral ay hindi nagsimula hanggang sa ika-16 siglo. Sa panahong ito, ang akda ni [[Bonaventura Cavalieri]] sa kanyang paraan ng mga hindi mahahati at akda ni [[Pierre de Fermat]] ay nagsimulang maglatag ng mga pundasyon ng modernong kalkulo. Ang mga karagdagang hakbang ay nagawa noong simulang ika-17 siglo nina [[Barrow]] at [[Torricelli]] na nagbigay ng unang mga pagpapahiwatig ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperesiasyon. Si Barrow ay nagbigay ng unang patunay ng [[pundamental na teorema ng kalkulo]]. Nilahat ni Wallis ang paraan ni Cavalieri na kumwenta ng mga integral ng x sa isang pangkalahatang kapangyarihan kabilang ang mga negatibong kapangyarihan at mga praksiyonal na kapangyarihan. Ang pangunahing pagsulong sa integrasyon ay dumating noong ika-17 siglo sa independiyenteng pagkakatuklas ng pundamental na teorema ng kalkulo nina [[Isaac Newton]] at [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]. Ang teoremang ito ay nagpapakita ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperensiasyon. Ang balangkas na ito ay kalaunang naging modernong kalkulo na ang notasyon para sa mga integral ay direktang hinango mula sa akda ni Leibniz. Bagaman sina Newton at Leibniz ay nagbigay ng isang sistematikong pakikitungo sa integrasyon, ang kanilang mga akda ay nagkukulang sa isang digri ng matematikal [[rigor]]. Inatake ni [[George Berkeley]] ang mga naglalahong inkrementong ginamit ni Newton na tinawag ang mga itong "mga multo ng naglahong mga kantidad". Ang kalkulo ay nagkamit ng isang mas matatag na saligan sa pagpapaunlad ng mga hangganan. Ang integrasyon ay unang rigorosong matematikal na pinormalisa ni [[Bernhard Riemann]] gamit ang mga hangganan. Si [[Henri Lebesgue]] ay nagpormula ng isang ibang depinisyon ng integral na itinatag sa [[teoriya ng sukat]]. Ang iba pang mga depinisyon ay iminungkahi rin.