Integrasyong Lebesgue: Pagkakaiba sa mga binago
Content deleted Content added
Bagong pahina: thumb|250px|integrasyong Riemann-Darboux(asul) at integrasong Lebesgue(pula). Sa matematika, ang integral ng isang hindi negatibong punsiyon ay ma... |
No edit summary |
||
Linya 3:
Inimbento ni Lebesgue ang isang bagong paraan ng integrasyon. Sa halip ng paggamit ng mga area ng parihaba na pumopokus sa sakop ng punsiyon, tiningnan ni Lebesgue ang kapwa-sakop ng punsiyon para sa kanyang pundamental na unit ng area. Ang ideya ni Lebesgue ang una na nagtayo ng integral para sa kanyang tinatawag na mga simpleng punsiyon na mga masusukat na punsiyon na kumukuha lamang ng mga may hangganang maraming halaga. Pagkatapos ay kanayang inilarawan ito para sa mas komplikadong mga punsiyon bilang pinakamaliit na itaas na pagtatakda ng lahat ng mga integral ng simpleng punsiyon na mas maliit sa punsiyong isinasaalang alang. Ang integrasyon ni Lebesgue ay may katangiang ang bawat tinatakdaang punsiyon na inilarawan sa ibabaw ng isang tinatakdaang interbal na may integral na Riemann ay mayroon ring integral na Lebesgue at para sa mga punsiyon ang dalawang mga integral na ito ay magkaayon. Gayunpaman, mayroon maraming mga punsiyon na may integral na Lebesgue na walang integral na Riemann. Bilang bahagi ng pagpapaunlad ng integrasyong Lebesgue, inimbento ni Lebesgue ang konsepto ng [[teoriya ng sukat|sukat]] na nagpapalawig ng ideya ng haba mula sa mga interbal tungo sa isang napakalaking klase ng mga hanayna tinatawag na mga masusukat na hanay. Ang paraan ni Lebesgue sa paggawa ng isang sukat sa isang integral ay madaling lumalhat sa maraming ibang mga sitwasyon na tumungo sa modernong larangan ng [[teoriya ng sukat]].
Upang ilarawan ang integral na Lebesgue ng pormal ay nangangailangan ng nosyon ng [[teoriya ng sukat|sukat]] na nag-uugnay sa bawat hanay na ''A'' ng mga real na bilang ng isang hindi negatibong bilang na <math>\mu(A)</math> na kumakatawan sa sukat ng ''A''. Ang nosyong ito ng sukat ay dapat umayon sa karaniwang haba ng interbal o hindi magkasanib na unyon ng mga interbal. Ipagpalagay na ang <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> ay isang hindi negatibong may halagang real na punsiyon. Gamit ang pagpapartisyon ng saklaw ng f, ang integral ng f ay dapat ang suma sa ibabaw ng t ng mga area sa pagitan ng isang manipis na pirasong horisontal sa pagitan ng <math>y=t</math> and <math>y=t+dt</math>. Ang area na ito ay isa lang <math>\mu\{x|f(x)>t\}\,dt</math>. Itakda ang <math>f^*(t)=\mu\{x|f(x)>t\}</math>. Ang integral na Lebesgue ng ''f'' ay inilalarawan naman ng <ref>{{harvnb|Lieb|Loss|2001}}</ref>
:<math>\int f = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>
kung saan ang integral sa kanan ay isang ordinaryong hindi angkop na integral na Rieman. Para sa angkop na klase ng mga punsiyon(mga masusukat na punsiyon), ito ay naglalarawan ng integral na Lebesgue. Ang isang pangkalahatan(hindi kinakailangang positibong) punsiyong ''f'' ay maiintegrado ng Lebesgue kung ang area sa pagitan ng grapo ng f at ang aksis na x ay may hangganan:
:<math>\int_E |f|\,d\mu < + \infty.</math>
Sa kasong ito, ang integral gaya ng sa kasong Riemann, ang pagkakaiba sa pagitan ng area sa itaas na aksis na x at ang area sa ilalim ng aksis na x:
:<math>\int_E f \,d\mu = \int_E f^+ \,d\mu - \int_E f^- \,d\mu</math>
kung saan ang
:<math>\begin{align}
f^+(x)&=\max(\{f(x),0\}) &=&\begin{cases}
f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
0, & \text{otherwise,}
\end{cases}\\
f^-(x) &=\max(\{-f(x),0\})&=& \begin{cases}
-f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\
0, & \text{otherwise.}
\end{cases}
\end{align}</math>
==Mga sanggunian==
{{reflist}}
[[Kategorya:Kalkulo]]
| |||
