Deribatibo: Pagkakaiba sa mga binago

== Diperensiasyon ==

[[FileTalaksan:Graph of sliding derivative line.gif|left|thumb|400px| Sa bawat punto, ang deribatibo ng<math>f(x)=1 + x\sin x^2</math> ang lihis ng isang linya na [[tangent]] sa [[kurba]]. Ang linya ay palaging tangent sa kurbang asul. Ang lihis ang deribatibo.]]

Ang diperensiasyon ang paraan upang kwentahin ang rate kung saan ang isang nakasalalay(sa halaga ng x) na output na ''y'' ng isang [[punsiyon]] ay nagbabago ayon sa pagbabago ng input na ''x'' ng punsiyong ito. Ang rate ng pagbabago ay tinatawag na deribatibo ng y sa respeto ng x. Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang y ay isang punsiyong linyar ng x na nangangahulugang ang y ay hinahati ng x sa isang linyang tuwid. Sa kasong ito, ang ''y'' = ''f''(''x'') = ''m'' ''x'' + ''b'', para sa mga real na bilang na ''m'' at ''b'' at ang [[lihis]] ay ibinigay ng

Δ''y'' = ''m'' Δ''x''. Ito ay nagbibigay ng isang eksaktong halaga ng isang linyang tuwid. Gayunpaman, kung ang ''f'' ay hindi linyar, ang pagbabago sa y na hinati ng pagbabago sa x ay nagbabago. Sa klasikong [[heometriya]], ang linyang [[tangent]] sa [[grapo]] ng punsiyong ''f'' sa isang [[real na bilang]] na ''a'' ay walang katulad na linya sa puntong (''a'', ''f''(''a'')) na hindi nagtatagpo sa grapo ng ''f'' ng [[transbersal]] na nangangahulugang ang linya ay hindi dumadaan ng tuwid sa grapo. Ang deribatibo ng ''y'' sa respeto ng ''x'' sa ''a'' ay heometrikong ang lihis ng linyang tangent sa grapo ng f sa a. Ang [[lihis]] ng linyang tangent ay labis na malapit sa lihis ng linya sa (''a'', ''f''(''a'')) at sa isang malapit na punto sa grapo halimbawa sa {{nowrap|(''a'' + ''h'', ''f''(''a'' + ''h''))}}. Ang mga linyang ito ay tinatawag na mga [[linyang sekant]]. Ang isang halaga ng ''h'' na malapit sa sero ay nagbibigay ng isang mabuting aproksimasyon sa lihis ng linyang tangent at ang mas maliit na mga halaga ng h ay sa pangkalahatan nagbibigay ng mahusay na mga aproksimasyon. Ang lihis na ''m'' ng linyang sekant ang [[pagkakaiba]] o [[subtraksiyon|diperensiya]] sa pagitan ng mga halagang y ng mga puntong ito na [[dibisyon|hinati]] ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halagang x

Ang ekspresyong ito ang diperensiyang kosiyente(''difference quotient'') ni [[Isaac Newton]]. Ang deribatibo ang halaga ng diperensiyang kosiyente habang ang mga linyang sekant ay papalapit sa linyang tangent. Sa mas pormal na paglalarawan, ang deribatibo ng punsiyong f sa ''a'' ang [[hangganan]] na

Ang ''Q''(''h'') ang lihis ng linyang sekant sa pagitan ng (''a'', ''f''(''a'')) at (''a'' + ''h'', ''f''(''a'' + ''h'')). Kung ang ''f'' ay isang [[tuloy tuloy na punsiyon]](walang patid), ang ''Q'' ay isang tuloy tuloy na punsiyon na malayo mula sa {{nowrap|''h'' {{=}} 0}}. Kung ang hangganang <math>\textstyle\lim_{h\to 0} Q(h)</math> ay umiiral na nangangahulugang may paraan ng pagpili ng isang halaga para sa ''Q''(0) na gumagawa sa grapo ng Q na tuloy tuloy na punsiyon, ang punsiyong ''f'' ay diperensiyable sa ''a'' at ang deribatibo sa ''a'' ay katumbas ng ''Q''(0).

Halimbawa, ang punsiyong ''f''(''x'') = ''x''² ay diperensiyable sa ''x'' = 3 at ang deribatibo nito ay 6. Ang resultang ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagkukwenta ng [[hangganan]] habang ang ''h'' ay papalapit sa sero ng diperensiyang kosiyente ng ''f''(3):

Ang huling ekspresyon ay nagpapakita na ang diperensiyang kosiyente ay katumbas ng ''6'' + ''h'' kapag ang ''h'' ≠ 0 at hindi matutukoy kapag ang ''h'' = 0, dahil sa depinisyon ng diperensiyang kosiyente. Gayunpaman, ang depinisyon ng hangganan ay nagsasaad na ang diperensiyang kosiyente ay hindi nangangailangang ilarawan kapag ang ''h'' = 0. Ang hangganan ang resulta ng pagpayag sa h na tumungo sa sero na nangangahulugang ito ang halaga na patutunguhan ng {{nowrap|6 + ''h''}} habang ang ''h'' ay nagiging labis na maliit:

* Patakarang [[konstante]]: <center><math>\frac{d}{dx}\left[c\right]=0.</math></center>

* Patakarang konstante: Para sa anumang nakatakdang real na bilang na <math>c</math> na pinarami(multiplied) ng isang [[punsiyon]], ang deribatibo ang konstante na pinarami ng deribatibo ng punsiyon,

* Patakaran ng [[linyar na punsiyon]]: Para sa anumang mga [[real na bilang]] na <math>m</math> at <math>c</math>,

* [[Patakarang kapangyarihan]](power rule):<math>f'(x) = nx^{n-1}.\,</math>

* [[Patakarang kadena]](chain rule) :<math> h'(x) = f'(g(x)) g'(x).\, </math>

* [[Patakarang adisyon at subtraksiyon]]: <div align="center" style="padding: 1em 10em;"><math>\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm g(x)\right]= \frac{d}{dx}\left[f(x)\right]\pm\frac{d}{dx}\left[g(x)\right]</math></div>

* [[Patakarang produkto]](product rule) :<math>\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}</math>.

* [[Patakarang kosiyente]](quotient rule):<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math>

* [[deribatibo ng eksponensyal]]:

* [[deribatibo ng logaritmiko]]:

* [[deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko]]:

* notasyong Leibniz: : <math>\frac{dy}{dx}</math>

* notasyong Lagrange:

: <math>f''\;</math> para sa ikalawang deribatibo o deribatibo ng unang deribatibo

: <math>f'''\;</math> para sa ikatlong deribatibo o deribatibo ng ikalawang deribatibo

Ang isang tagayari ng isang kahon ay nagnanais na lumikha ng isang kahong may [[surpasiyong area]] na 100 pulgadang(inches) na [[Kwadrado (alhebra)|kinwadrado]]. Ano ang maksimum na sukat ng [[bolyum]] na mabubuo sa pamamagitan ng pagtupi ng material na ginamit sa isang kahon. Ang kahon ay isasara. Ang kahon ay may ilalim na kwadrado, ibabaw na kwadrardo at parihabang mga gilid.

[[ar:مشتق (رياضيات)]]