|
[[Image:Measure illustration.png|right|thumb|Sa inpormal na paglalarawan, ang isang sukat ay may katangiang [[monotonong punsiyon|monotono]] sa kahulugang kung ang ''A'' ang [[pang-ilalim na hanaypangkat]](subset) ng ''B'', ang sukat ng ''A'' ay mas maliit o katumbas ng sukat ng ''B''. Sa karagdagan, ang sukat ng isang [[walang lamang hanaypangkat]](empty set) ay inaatasang maging 0.]]
Sa [[matematikal na analisis]], ang isang '''sukat '''(''measure'') ng isang [[hanaypangkat (matematika)|hanaypangkat]] ang isang sistematikong paraan ng pagtatakda sa bawat angkop na [[subhanaysubset]] ng isang bilang na intwitibong pinapakahulugang sukat ng pang-ilalim na hanaypangkat. Sa kahulugang ito, ang sukat ang heneralisasyon ng mga konsepto ng [[haba]], [[area]] at [[bolyum]]. Ang ang isang partikular na halimbawa ang [[sukat na Lebesgue]] sa isang [[espasyong Euclidean]] na nagtatakda ng konbensiyonal na haba, area at bolyum ng [[heometriyang Euclideano]] sa mga angkop na [[subhanaysubset]] ng isang ''n''-dimensiyonal na espasyong Euclidean na'''R'''<sup>''n''</sup>. Halimbawa, ang sukat na Lebesgue ng interbal na [0, 1] sa mga [[real na bilang]] ang haba nito sa pang-araw araw na kahulugan ng salita na spesipikong 1.
==Depinisyon==
Itakda ang ''{{math|Σ}}'' bilang isang [[Sigma-alhebra|σ-algebra]] sa ibabaw ng hanaypangkat na ''{{math|X}}''. Ang isang [[punsiyon]]g {{math|''μ''}} mula {{math|''Σ''}} patungo sa [[pinalawig na linya ng real na bilang]] ay tinatawag na '''sukat''' kung ito ay sumasapat sa mga sumusunod na katangian:
*'''Kawalang-negatibidad'''(Non-negativity):
:<math>\mu(E)\geq 0</math> para sa lahat ng <math>E\in\Sigma.</math>
*'''Mabibilang na aditibidad'''(countable additivity) o [[sigma additivity|σ-''additivity]]): Para sa lahat ng mga [[mabibilang]] na koleksiyong <math>\{E_i\}_{i\in I}</math> ng magkakapares(pairwise) na [[hindi magkadugtong na mga hanaypangkat]] sa {{math|Σ}}:
:<math> \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i).</math>
*'''Null na walang lamang hanaypangkat'''(null empty set):
:<math>\mu(\varnothing)=0.</math>
Maaring iatas na ang isang hanaypangkat na ''E'' ay may hangganang(finite) sukat. Sa gayon, ang null na hanaypangkat ay automatikong may sukat na sero dahil sa mabibilang na aditibidad, <math>\mu(E)=\mu(E\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\ldots)=\mu(E)+\sum_{i=0}^\infty \mu(\varnothing)</math> at ang <math>\sum_{i=0}^\infty \mu(\varnothing)</math> ay may hangganang(finite) kung at tanging kung ang walang-laman na hanaypangkat ay may sukat na sero.
Ang pares na {{math|(''X'', ''Σ'')}} ay tinatawag na '''masusukat na espasyo''', ang mga miyembro ng {{math|''Σ''}} ay tinatawag na '''masusukat na espasyo''' at ang mga [[tuple|tripleng]] {{math|(''X'', ''Σ'', ''μ'')}} ay tinatawag na '''sukat espasyo'''(measure space).
| 