Kalkulong integral: Pagkakaiba sa mga binago

Content deleted Content added
Linya 273:
 
Ang pluidonng flux sa halimbawang ito ay maaaring mula sa pisikal na pluido gaya ng [[tubig]] o [[hangin]] o mula sa mga [[elektrikal]] o [[magnetiko]]ng flux. Ang mga surpasiyong integray ay may mga aplikasyon sa [[pisika]] partikular na sa [[klasikong teoriya]] o [[elektromagnetismo]].
===Mga integral ng mga diperensiyal na mga anyo===
{{Main|Diperensiyal na anyo}}
 
Ang isang [[diperensiyal na anyo]] ay isang matematikal na konsepto sa mga larangan ng [[multibariabulong kalkulo]], [[diperensiyal na topolohiya]] at mga [[tensor]]. Ang modernong notasyon para sa isang diperensiyal na anyo gayundin ang ideya ng mga diperensiyal na anyo bilang [[panlabas na alhebra|mga produktong wedge]] ng [[panlabas na deribatibo]] na bumubuo ng [[panlabas na alhebra]] ay ipinakilala ni[[Élie Cartan]].
 
Sa simula ay gagawa tayo sa isang [[bukas na hanay]](open set) sa '''R'''<sup>''n''</sup>.
Ang isang 0-anyo ay inilalarawan bilang isang [[makinis na punsiyon]]g ''f''.
Kung iintegraduhin ang punsiyong ''f'' sa ibabaw ng ''m''-dimensiyonal na subespasyong ''S'' ng '''R'''<sup>''n''</sup>, ito ay isusulat na:
:<math>\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.</math>
 
(Ang mga superskritpo dito ay mga indeks at hindi mga [[eksponente]]). Maaari nating tignan ang ''dx''<sup>1</sup> patungo sa ''dx''<sup>''n''</sup> bilang mga pormal na obhekto sa kanilang sarili imbis na mga tanda(tags) na ikinabit upang gawin ang integral na magmukhang [[sumang Riemann]]. Sa ibang pananaw naman, maaari itong makita bilang mga [[isang-anyo|kobektor]], samakatuwid ay isang [[sukat (matematika)|sukat]] ng [[densidad]](na maiintegrado sa pangkalahatang kahulugan). Tawagin natin ang ''dx''<sup>1</sup>, …,''dx<sup>n</sup>'' na ''basikong''(basic) [[isang-anyo|1-''mga anyo'']].
 
Ating ilalarawan ang [[panlabas na alhebra|produktong wedge]] na "∧" na isang bilinyar(bilinear) na [[multiplikasyon]]g operador sa mga elementong ito na may kahaliling katangian na:
 
:<math> dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!</math>
 
para sa lahat ng mga indeks na ''a''. Pansinin na ang paghalili sa kahabaan ng linyaridad at asosiyatibidad ay nagpapahiwatig na ''dx''<sup>''b''</sup>∧''dx''<sup>''a''</sup>&nbsp;= −''dx''<sup>''a''</sup>∧''dx''<sup>''b''</sup>. Tinitiyak din nito na ang resulta ng produktong wedge ay may oryentasyon.
 
Ating ilalarawan ang hanay(set) ng lahat ng mga [[produkto]]ng ito bilang ''basikong'' ''basic'' 2-''mga anyo'' at tulad nito, ating ilalarawan ang hanay ng mga produktong ang anyo ay ''dx''<sup>''a''</sup>∧''dx''<sup>''b''</sup>∧''dx''<sup>''c''</sup> na maging ''basikong'' 3-''mga anyo''. Ang isang pangkalahatang ''k''-anyo sa gayon, ay isang tinimbang na suma ng basikong k-''na mga anyo'' kung saan ang mga timbang ang makinis na mga punsiyong ''f''. Kung pagsasamahin ang mga ito, ito ay bumubuo ng [[bektor na espasyo]] na may basikong ''k''-mga anyo bilang mga basis na bektor at ang 0-mga anyo(mga makinis na punsiyon) bilang field ng mga [[skalar]]. Ang produktong wedge ay lumalawig naman sa ''k'''mga anyo sa natural na paraan. Sa ibabaw ng '''R'''<sup>''n''</sup> sa pinakamarami na ''n'' mga kobektor ay maaaring linyar na independiyente, kaya ang ''k-''anyo na may with ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;''n'' ay palaging sero sa kahaliling katangian.
 
Sa karagdagan sa produktong wedge, meron din [[panlabas na deribatibo]]ng operator na ''d''. Ang operador na ito ay nagmamapa ng mga ''k''-mga anyo sa (''k''+1)-mga anyo. Para sa isang''k''-anyo ω = ''f'' ''dx<sup>a</sup>'' sa ibabaw ng '''R'''<sup>''n''</sup>, ating ilalarawan ang aksiyon ng ''d'' sa pamamagitan ng:
 
:<math>d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.</math>
 
na may ekstensiyon sa pangkalahatang ''k''-mga anyo na nangyayaring linyar.
 
Ang mas pangkalahatang paraang ito ay pumapayag para sa mga mas natural na malaya sa koordinatong mga paraan ng integrasyon sa mga [[manipoldo]]. Eto ay pumapayag rin para sa isang natural na paglalahat ng [[pundamental na teorema ng kalkulo]]ng tinatawag na [[teorema ni Stokes]] na maaaring isaad na:
 
 
:<math>\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!</math>
 
kung saan ang ω ay isang pangkalahatang ''k''-anyo at ang ∂Ω ay tumutukoy sa [[hangganan (topolohiya)|hangganan]](boundary) ng rehiyong Ω. Samakatuwid, sa kasong ang ω ay isang 0-anyo at ang Ω ay isang saradong interbal ng linyang [[real na bilang|real]], eto ay lumiliit sa [[pundamental na teorema ng kalkulo]]. Sa kasong ang ω ay isang 1-anyo at ang Ω ay isang dalawang-dimensiyonal na rehiyon sa plano, ang teorema ay lumiliit sa [[teorema ni Green]]. Gayundin, kung gagamitin ang 2-mga anyo at 3-mga anyo at ang [[dualidad na Hodge]], maaari tayong dumating sa [[teorema ni Stokes]] at [[teoremang diberhensiya]]. Sa paraang ito, ang mga anyong diperensiyal ay nagbibigay ng makapangyarihang nagbibigkis na pananaw ng integrasyon.
 
===Mga pundamental na pormula sa pagkwenta ng integral ng isang punsiyon===