Sukat (matematika): Pagkakaiba sa mga pagbabago

walang buod ng pagbabago
 
No edit summary
[[Image:Measure illustration.png|right|thumb|Sa inpormal na paglalarawan, ang isang sukat ay may katangiang [[monotonong punsiyon|monotono]] sa kahulugang kung ang ''A'' ang [[pang-ilalim na hanay]](subset) ng ''B'', ang sukat ng ''A'' ay mas maliit o katumbas ng sukat ng ''B''. Sa karagdagan, ang sukat ng isang [[walang lamang hanay]](empty set) ay inaatasang maging 0.]]
Sa [[matematikal na analisis]], ang isang '''sukat'''(measure) ng isang [[hanay (matematika)|hanay]] ang isang sistematikong paraan ng pagtatakda sa bawat angkop na [[pang-ilalim na hanay]](subset) ng isang bilang na intwitibong pinapakahulugang sukat ng pang-ilalim na hanay. Sa kahulugang ito, ang sukat ang heneralisasyon ng mga konsepto ng [[haba]], [[area]] at [[bolyum]]. Ang ang isang partikular na halimbawa ang [[sukat na Lebesgue]] sa isang [[espasyong Euclidean]] na nagtatakda ng konbensiyonal na haba, area at bolyum ng [[heometriyang Euclidean]] sa mga angkop na pang-ilalim na hanay(subset) ng isang ''n''-dimensiyonal na espasyong Euclidean na'''R'''<sup>''n''</sup>. Halimbawa, ang sukat na Lebesgue ng interbal na [0, 1] sa mga [[real na bilang]] ang haba nito sa pang-araw araw na kahulugan ng salita na spesipikong 1.
==Depinisyon==
Itakda ang ''{{math|&Sigma;}}'' bilang isang [[Sigma-alhebra|σ-algebra]] sa ibabaw ng hanay na ''{{math|X}}''. Ang isang [[punsiyon]]g {{math|''&mu;''}} mula {{math|''&Sigma;''}} patungo sa [[pinalawig na linya ng real na bilang]] ay tinatawag na '''sukat''' kung ito ay sumasapat sa mga sumusunod na katangian:
 
*'''Kawalang-negatibidad'''(Non-negativity):
:<math>\mu(E)\geq 0</math> para sa lahat ng <math>E\in\Sigma.</math>
 
*'''Mabibilang na aditibidad'''(countable additivity) o [[sigma additivity|σ-''additivity]]): Para sa lahat ng mga [[mabibilang]] na koleksiyong <math>\{E_i\}_{i\in I}</math> ng magkakapares(pairwise) na [[hindi magkadugtong na mga hanay]] sa {{math|&Sigma;}}:
:<math> \mu\Bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\Bigr) = \sum_{i \in I} \mu(E_i).</math>
 
*'''Null na walang lamang hanay'''(null empty set):
:<math>\mu(\varnothing)=0.</math>
 
Maaring iatas na ang isang hanay na ''E'' ay may hangganang(finite) sukat. Sa gayon, ang null na hanay ay automatikong may sukat na sero dahil sa mabibilang na aditibidad, <math>\mu(E)=\mu(E\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\ldots)=\mu(E)+\sum_{i=0}^\infty \mu(\varnothing)</math> at ang <math>\sum_{i=0}^\infty \mu(\varnothing)</math> ay may hangganang(finite) kung at tanging kung ang walang-laman na hanay ay may sukat na sero.
 
Ang pares na {{math|(''X'', ''&Sigma;'')}} ay tinatawag na '''masusukat na espasyo''', ang mga miyembro ng {{math|''&Sigma;''}} ay tinatawag na '''masusukat na espasyo''' at ang mga [[tuple|tripleng]] {{math|(''X'', ''&Sigma;'', ''&mu;'')}} ay tinatawag na '''sukat espasyo'''(measure space).
 
Kung ang tanging ikalawa at ikatlong mga kondisyon ng depinisyon ng sukat sa taas ay nasalubong at ang {{math|''μ''}} ay kumukuha na pinakamarami ang isa sa mga halagang {{math|±&infin;}}, kung gayon, ang {{math|''μ''}} ay tinatawag na [[sinenyasang sukat]](signed measure).
 
Ang isang [[sukat probabilidad]] ang sukat na may kabuuang sukat na isa(i.e.,{{math|''&mu;''(''X'') {{=}} 1}}). Ang isang [[espasyong probabilidad]] ang espasyong sukat na may sukat probabilidad.
 
Para sa mga espasyong sukat na mga [[espasyong topolohikal]] din, ang iba't ibang mga kondisyon ng kompatibilidad ay maaaring ilagay para sa sukat at [[topolohiya]]. Ang karamihang sa mga sukat na nasasalubong sa pagsasanay sa [[matematikal na analisis]](at gayundin sa maraming mga kaso sa [[teoriya ng probabilidad]]) ang mga [[sukat Radon]]. Ang mga sukat Radon ay may alternatibong depinisyon sa mga termino ng linyar na punsiyonal sa [[panlokal na espasyong konbeks]] ng [[tuloy tuloy na punsiyon]] na may [[suporta (matematika)|siksik na suporta]]. Ang paraang ito ay kinuha ni [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] (2004) at ilang mga may-akda.
 
[[Kategorya:Teoriya ng sukat]]