Teorya ng pangkat: Pagkakaiba sa mga binago
Content deleted Content added
Bagong pahina: Ang '''Teoriya ng hanay'''(set theory) ay sangay ng matematika na pag-aaral ng mga hanay(set) o mga kalipunan ng mga obhekto o bagay. {{Matematika}} Kategorya:Matematika |
No edit summary |
||
Linya 1:
Ang '''Teoriya ng hanay'''(set theory) ay sangay ng [[matematika]] na pag-aaral ng mga hanay(set) o mga kalipunan ng mga obhekto o bagay.
==Mga basikong konsepto==
Ang teoriya ng hanay ay nagsisimula sa isang pundamental na [[binaryong ugnayan]] sa pagitan ng obhektong {{math|''o''}} at isang [[hanay (matematika)|hanay]] na {{math|''A''}}. Kung ang {{math|''o''}} ang '''[[pagiging kasapi ng hanay|kasapi]]''' (o '''elemento''') ng {{math|''A''}}, isulat ang {{math|''o'' ∈ ''A''}}. Dahil sa ang mga hanay ay obhekto, ang ugnayang pagiging kasapi ay maaaring iugnay din sa ibang mga hanay.
Ang hinangong [[binaryong ugnayan]] sa pagitan ng dalawang hanay ang ugnayang [[pang-ilalim na hanay]] na tinatawag ring '''inklusiyon ng hanay'''. Kung ang lahat ng mga kasapi ng hanay na {{math|''A''}} ay mga kasapi rin ng hanay na {{math|''B''}} kung gayon, ang {{math|''A''}} ang '''[[pang-ilalim na hanay]]''' ng {{math|''B''}} na tinutukoy ng simbolong {{math|''A'' ⊆ ''B''}}. Halimbawa, ang {{math|{1,2} }} ang [[pang-ilalim na hanay]] ng {{math|{1,2,3} }}, ngunit ang {{math|{1,4} }} ay hindi.
Mula sa depinisyon ito, maliwanag na ang isang hanay ay isang pang-ilalim na hanay ng sarili nito. Sa mga kasong nais na iwasan ito, ang terminong '''[[angkop na pang-ilalim na hanay]]''' ay inilalarawan upang hindi isama ang posibilidad na ito.
Kung paanong ang [[artimetika]] ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga bilang, ang teoriya ng hanay ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga [[hanay]]:
*Ang '''[[unyon (teoriya ng hanay)|unyon]]''' ng mga hanay na {{math|''A''}} at {{math|''B''}} na tinutukoy ng {{math|''A'' ∪ ''B''}} ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng{{math|''A''}}, o {{math|''B''}}, o ng parehong ito. Ang unyon ng {{math|{1, 2, 3} }} at {{math|{2, 3, 4} }} ang hanay na {{math|{1, 2, 3, 4} }}.
[[Image:Venn A intersect B.svg|thumb|right|Isang [[diagramang Venn]] na nagpapakita ng [[interseksiyon (teoriya ng hanay)|interseksiyon]] ng dalawang mga [[hanay (matematika)|hanay]].]]
*Ang '''[[interseksiyon (teoriya ng hanay)|interseksiyon]]''' ng mga hanay na {{math|''A''}} at {{math|''B''}} na tinutukoy ng {{math|''A'' ∩ ''B''}} ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng parehong {{math|''A''}} at {{math|''B''}}. Ang interseksiyon ng {{math|{1, 2, 3} }} at {{math|{2, 3, 4} }} ang hanay na {{math|{2, 3} }}.
*Ang '''[[diperensiya ng hanay]]''' ng {{math|''U''}} at {{math|''A''}} na tinutukoy ng {{math|''U'' \ ''A''}} ang hanay ng lahat ng mga kasapi ng {{math|''U''}} that na hindi kasapi ng {{math|''A''}}. Ang diperensiya ng hanay na {{math|{1,2,3} \ {2,3,4} }} ay {{math|{1} }}, samantalang sa kabaligtaran, ang diperensiya ng hanay na {{math|{2,3,4} \ {1,2,3} }} at {{math|{4} }}. Kung ang {{math|''A''}} ang pang-ilalim na hanay ng {{math|''U''}}, ang diperensiya ng hanay na {{math|''U'' \ ''A''}} ay tinatawag na '''[[komplemento (teoriya ng hanay)|komplemento]]''' ng {{math|''A''}} sa {{math|''U''}}. Sa kasong ito, kung ang pagpili ng {{math|''U''}} ay maliwanag sa konteksto, ang notasyong {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} ay minsan ginagamit imbis na ang {{math|''U'' \ ''A''}}, partikular na kung ang {{math|''U''}} ay [[pangkalahatang hanay]] gaya ng sa pag-aaral ng mga [[diagramang Venn]].
*Ang '''[[simetrikong diperensiya]]''' ng mga hanay na {{math|''A''}} at {{math|''B''}} ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng eksaktong isa sa {{math|''A''}} at {{math|''B''}} na mga elementong nasa isa sa mga hanay ngunit wala sa parehong hanay. Halimbawa, para sa mga hanay na {{math|{1,2,3} }} at {{math|{2,3,4} }}, ang simetrikong diperensiya ay {{math|{1,4} }}. Ito ang diperensiya ng hanay ng unyon at interseksiyon na {{math|(''A'' ∪ ''B'') \ (''A'' ∩ ''B'')}}.
*Ang '''[[produktong Cartesian]]''' ng {{math|''A''}} at {{math|''B''}} na tinutukoy ng {{math|''A'' × ''B''}} ang hanay kung saan ang mga kasapi nito ay lahat ng posibleng mga [[inayos na pares]] na {{math|(''a'',''b'')}} kung saan ang {{math|''a''}} ay kasapi ng {{math|''A''}} at ang {{math|''b''}} ay kasapi ng {{math|''B''}}. Ang produktong cartesian ng {{nowrap|1={1, 2} at {red, white} ay {(1, pula), (1, puti), (2, pula), (2, puti)}.}}
*Ang '''[[kapangyarihang hanay]]''' ng hanay na {{math|''A''}} ang hanay kung saan ang mga kasapi ay lahat ng posibleng [[pang-ilalim na hanay]] ng {{math|''A''}}. Halimbawa, ang kapangyarihang hanay ng {{math|{1, 2} }} ay {{math|{ {}, {1}, {2}, {1,2} } }}.
Ang ilang mga basiko o pangunahing hanay na may sentral na kahalagahan sa teoriya ng hanay ang [[walang laman na hanay]] na isang uniko o walang katulad na hanay na hindi naglalaman ng mga elemento, ang hanay ng mga [[natural na bilang]] at ang hanay ng mga [[real na bilang]].
{{Matematika}}
| |||