Pagkakaiba sa mga pagbabagong ng "Pamparaming Lagrange"

walang buod ng pagbabago
{{cite book|last1=Hiriart-Urruty|first1=Jean-Baptiste|last2=Lemaréchal|first2=Claude|chapter=XII&nbsp;Abstract duality for practitioners|title=Convex analysis and minimization algorithms, Volume&nbsp;II: Advanced theory and bundle methods|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|volume=306|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1993|pages=136–193 (and Bibliographical comments on pp.&nbsp;334–335)|isbn=3-540-56852-2|{{MR|1295240}}|authorlink2=Claude Lemaréchal|}}</ref><ref>{{cite book|last=Lemaréchal|first=Claude
|chapter=Lagrangian relaxation|pages=112–156|doi=10.1007/3-540-45586-8_4|title=Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May&nbsp;15–19,&nbsp;2000|editor=Michael Jünger and Denis Naddef|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=2241|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=2001|isbn=3-540-42877-1|mr=1900016.{{doi|10.1007/3-540-45586-8_4}}|authorlink=Claude Lemaréchal|}}</ref>
==Introduksiyon==
Ang isa sa pinaka karaniwang mga problema sa [[kalkulo]] ang paghahanap ng [[maxima at minima]](sa pangkalahatan ay extrema) ng isang [[punsiyon]] ngunit kalimitan ay mahirap na mahanap ang isang saradong anyo para sa isang punsiyong ini-extrema. Ang gayong mga kahirapan ay kalimitang lumilitwa kung nanaisin na i-maxima o i-minima ang isang punsiyon sa ilalim ng isang nakatakdang panglabas na mga kondisyon o constraints. Ang paraan ng mga multiplayer na Lagrange ay isang makapangyarihang kasangkapan sa paglutas ng ganitong klaseng mga problema na hindi nangangailangan ng hayagang paglutas sa mga kondisyon at gagamitin ang mga ito upang tanggalin ang mga ekstrang [[bariabulo]].
 
Kung isasaalang alan ang dalawang dimensiyonal na problemang nasa itaas na:
:i-maxima(maximize) <math>f(x, y) \,</math>
:sa ilalim ng pagtatakdang(constraint) <math>g(x, y) = c.\, </math>
 
Maaaring ilarawan ang [[linyang kontur]] ng ''f'' na ibinigay ng:
 
:<math>f(x, y)=d \,</math>
 
para sa iba ibang mga halaga ng <math> d </math> at ang kontur ng <math> g </math> na ibinigay ng <math> g ( x, y ) = c </math>.
 
Ipaglagay na tayo ay naglalakda sa kahabaan ng linyang kontur na may <math> g = c </math>. Sa pangkalahatan, ang mga linyang kontur ng <math> f </math> at <math> g </math> ay maaaring walang katulad kaya kung susundan ang linyang kontur para sa <math> g = c </math>, maaaring bagtasin(intersect) o tawirin ang mga linyang kontur ng <math> f </math>. Ito ay katumbas sa pagsasabi na habang gumagalaw sa kahabaan ng linyang kontur para sa <math> g = c </math>, ang halaga ng <math>f </math> ay maaaring magbago. Tanging kung ang linyang kontur para sa <math> g = c </math> ay magtatagpo sa mga linyang kontur ng <math> f </math> [[pagdidikit (matematika) (mathematics)|tangensiyal] hindi natin dadagdagan o babawasan ang halaga ng <math> f </math> na ang ibig sabihin ay kung ang mga linyang kontur ay nagdadapuan ngunit hindi nagtatawiran.
 
Ang mga linyang kontur ng ''f'' at ''g'' ay nagdadapuan kung ang mga [[bektor na tangent]] ng mga linyang kontur ay [[paralelo]]. Dahil sa ang [[gradiento]] ng punsiyon ay [[perpendikular]] sa mga linyang kontur, ito ay parehas ng pagsasabing ang mga gradiento ng ''f'' and ''g'' ay parelolo. Kaya nais natin ang mga puntong <math>(x,y)</math> kung saan ang <math>g(x,y) = c</math> at ang
:<math>\nabla_{x,y} f = - \lambda \nabla_{x,y} g</math>,
kung
:<math> \nabla_{x,y} f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) </math>
at
:<math> \nabla_{x,y} g= \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) </math>
 
ang mga respektibong gradiento. Ang [[konstante]]ng <math>\lambda</math> ay kailangan dahil bagaman ang dalawang mga bektor na gradiento ay paralelo, ang mga [[magnitudo]] ng mga bektor na gradiento ay sa pangkalahatan hindi magkatumbas.
 
Upang pagsamahin ang mga kondisyon ito sa isang [[ekwasyon]], ating ipakikilala ang isang katulong na punsiyong
:<math> \Lambda(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big), </math>
at lutasin ang
:<math> \nabla_{x,y,\lambda} \Lambda(x , y, \lambda)=0. </math>
Ito ang paraan ng mga multiplayer na Lagrange. Pansinin na ang <math>\nabla_{\lambda} \Lambda(x , y, \lambda)=0</math> ay nagpapahiwatig ng <math> g(x,y)=c</math>.
 
=== Hindi kinakailangang extrema===
 
Ang tinatakdaang extrema ng <math>f</math> ang mga [[kritikal na punto]] ng Lagrangian na <math>\Lambda</math> ngunit ang mga ito ay hindi lokal na extrema ng <math>\Lambda</math>.
 
Maaaring [[Repormulasyon ng Lagrangian mekaniks|muling ipormula ang Lagrangian]] bilang isang [[Mekaniks na Hamiltonian|Hamiltonian]] na ang kasong ang mga solusyon ang mga lokal na minima para sa Hamiltonian. Ito ay ginagawa sa teoriyang [[optimal na kontrol]] sa anyo ng [[Prinsipyong minimum ni Pontryagin]].
 
Ang katotohanan ang mga solusyon ng Lagrangian ay hindi rin kinakailangang extrema ay nagbibigay rin kahirapan para sa numerikal na optimisasyon. Ito ay maaaring matugunan sa pamamagitan ng pagkukwenta ng magnitudo ng gradiento dahil sa ang mga sero ng magnitudo ay kinakailangang lokal na minima.
 
 
==Sanggunian==
{{reflist}}