Pamparaming Lagrange: Pagkakaiba sa mga binago
Content deleted Content added
No edit summary |
|||
Linya 1:
[[Image:LagrangeMultipliers3D.png|right|thumb|300px|Pigurang 1: Hanapin ang ''x'' at ''y'' upang i-maxima(maximize) ang <math>f(x,y)</math> na nasa ilalim ng pagtatakda(ipinapakita sa pula) na <math>g(x,y)=c</math>.]]
[[Image:LagrangeMultipliers2D.svg|thumb|right|300px|Pigura 2: Mapang kontur ng Pigura 1. Ang pulang linya ay nagpapakita ng pagtatakdang <math>g(x,y)=c</math>. Ang mga asul na linya ay mga kontur <math>f(x,y)</math>. Ang punto kung saan ang pulang linya ay [[tanhensiyal]] na dumadapo sa asul na kontur ang solusyon.]]
Sa [[matematikal na optimisasyon]], ang paraan ng '''mga pamparaming Lagrange''' o '''mga multiplikador
Halimbawa, tignan isaalang alang ang problema ng optimisasyon na:
:i-
:sa ilalim ng pagtatakdang(constraint) <math>g(x, y) = c.\, </math>
Line 185 ⟶ 184:
Bilang parangal kay Lagrange, ang punsiyon sa itaas ay tinatawag na ''Lagrangian'', ang mga skalar na <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_M</math> ay tinatawag na ''Mga Mutliplayer na Lagrange''(Lagrange Multipliers) at ang paraang optimisasyong ito ay tinatawag na "Ang paraan ng mga Multiplayer na Lagrange". Ang paraan ng mga multiplayer na Lagrange ay nilalahat ng [[Mga kondisyong Karush–Kuhn–Tucker]] na maaaring magsaalang alan ng mga pagtatakdang inekwalidad(hindi magkatumbas) na may anyong ''h''('''x''') ≤ ''c''.
==Mga halimbawa==
[[Image:Lagrange very simple.jpg|thumb|right|300px|Fig. 3. Illustration of the constrained optimization problem]]
===Unang halimbawa===
Ipagpalagay na nais i-maksima ang <math>f(x,y)=x+y</math> na nasa ilalim ng pagtatakdang <math>x^2+y^2=1</math>. Ang posibleng hanay ng [[unit na bilog]] at [[hanay na lebel]] ng ''f'' ay mga linyang diagonal (na may [[lihis]] na -1), kaya makikita sa larawan na ang maksimum ay umiiral sa <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math>, at ang minimum ay umiiral sa<math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>.
Sa pormal na paglalarawan, itakda ang <math>g(x,y)-c=x^2+y^2-1</math>, at
:<math>\Lambda(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda(g(x,y)-c) = x+y + \lambda (x^2 + y^2 - 1)</math>
Itakda ang deribatibong <math>d\Lambda=0</math> na magbibigay ng sistema ng mga ekwasyon na:
:<math>\begin{align}
\frac{\partial \Lambda}{\partial x} &= 1 + 2 \lambda x &&= 0, \qquad \text{(i)} \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial y} &= 1 + 2 \lambda y &&= 0, \qquad \text{(ii)} \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda} &= x^2 + y^2 - 1 &&= 0, \qquad \text{(iii)}
\end{align}</math>
Gaya ng palagi, ang <math>\partial \lambda</math> ekwasyong((iii) dito) ang original na pagtatakda.
Kung pagsasamahin ang dalawang mga ekwasyon, ito ay magbibigay ng <math>x=y</math> (sa hayagan ang <math>\lambda \neq 0</math>, kundi ang (i) ay magbibigay 1 = 0, kaya meron tayong<math>x=-1/(2\lambda)=y</math>).
Kung ihahalili sa (iii), ito ay magbibigay ng <math>2x^2=1</math>, kaya ang <math>x=y=\pm \sqrt{2}/2</math> at <math>\lambda = \mp \sqrt{2}/2</math> na nagpapakitang mga stasyonaryong punto ay <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math> at <math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>. Kung lulutasin ang obhektibong punsiyong 'f'' sa mga ito ay magbibigay ng
:<math>f(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=\sqrt{2}\mbox{ and } f(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)=-\sqrt{2},</math>
kaya ang maksimum ay <math>\sqrt{2}</math> na nakamit sa <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math>, at ang minimum ay <math>-\sqrt{2}</math> na nakamit sa <math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>.
==Mga sanggunian==
| |||