Pagkakaiba sa mga pagbabagong ng "Pamparaming Lagrange"

 
kaya ang maksimum ay <math>\sqrt{2}</math> na nakamit sa <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math>, at ang minimum ay <math>-\sqrt{2}</math> na nakamit sa <math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>.
===Ikalawang halimbawa===
Ipagpalagay na nais nating hanapin ang mga halagang maksimum ng
 
:<math> f(x, y) = x^2 y \, </math>
 
na may kondisyong ang mga [[koordinato]]ng ''x'' at ''y'' ay nasa [[bilog]] sa palibos ng pinagmula(origin) na may [[radyus]] na √3 na nasa ilalim ng pagtatakdang
:<math> g(x,y) = x^2 + y^2 = 3. \, </math>
 
Dahil sa may isa lamang pagtatakda ay gagamit tayo ng isa lamang pamparami na λ.
 
Ang pagtatakdang ''g''(''x'',&nbsp;''y'')-3 ay katulad ng sero sa bilog ng radyus na √3. Kaya anumang pamparami(multiple) ng ''g''(''x'',&nbsp;''y'')-3 ay maaaring idagdag sa ''f''(''x'',&nbsp;''y'') nag nag-iiwan sa ''f''(''x'',&nbsp;''y'') na hindi nabago sa rehiyon pinag-iinteresan(sa itaas ng bilog nang ating orihinal na pagtatakda ay nasasapatan). Itakda ang:
 
:<math>\Lambda(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda (g(x, y)-3) = x^2y + \lambda (x^2 + y^2 - 3). \, </math>
 
Ang mga kritikal na halaga ng <math>\Lambda</math> ay umiiral kung ang [[gradient]] nito ay sero. Ang mga [[parsiyal na deribatibo]] ay:
 
:<math>\begin{align}
\frac{\partial \Lambda}{\partial x} &= 2 x y + 2 \lambda x &&= 0, \qquad \text{(i)} \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial y} &= x^2 + 2 \lambda y &&= 0, \qquad \text{(ii)} \\
\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda} &= x^2 + y^2 - 3 &&= 0. \qquad \text{(iii)}
\end{align}</math>
 
Ang ekwasyong (iii) ay isa lamang orihinal na pagtatakda. Ang ekwasyong (i) ay nagpapahiwatig na ang <math> x = 0 </math> ''o'' λ = &minus;''y''. Sa unang kaso, kung ang ''x''&nbsp;=&nbsp;0 kung gayon ay dapat mayroon tayong <math>y = \pm \sqrt{3}</math> sa pamamagitan (iii) at sa pamamagitan ng (ii) ay λ&nbsp;=&nbsp;0. Sa ikalawang kaso, kung ang λ = &minus;''y'' at kung ihahali sa ekwasyong (ii) meron tayong:
 
:<math>x^2 - 2y^2 = 0. \, </math>
 
Pagkatapos ay ang ''x''<sup>2</sup> = 2''y''<sup>2</sup>. Kung ihahalili sa ekwasyong (iii) at lulutasin ang ''y'' ay magbibigay ng halagang ito ng ''y'':
 
:<math>y = \pm 1. \, </math>
 
Kaya mayroon anim na mga kritikal na puntong:
 
 
:<math> (\sqrt{2},1); \quad (-\sqrt{2},1); \quad (\sqrt{2},-1); \quad (-\sqrt{2},-1); \quad (0,\sqrt{3}); \quad (0,-\sqrt{3}). </math>
 
Kung lulutasin ang nilalayong punsiyon sa mga puntong ito, ating matatagpuang
 
 
:<math> f(\pm\sqrt{2},1) = 2; \quad f(\pm\sqrt{2},-1) = -2; \quad f(0,\pm \sqrt{3})=0. </math>
 
Kaya ang nilalayong punsiyon(objective funtion) ay nagkakamit ng global na maksimum(sa ilalim ng mga pagtatakda) sa <math>(\pm\sqrt{2},1)</math> at ang global na minimum sa <math>(\pm\sqrt{2},-1).</math> Ang puntong <math>(0,\sqrt{3})</math> ay isang lokal na minimum at ang <math>(0,-\sqrt{3})</math> ay isang lokal na maksium na maaaring matukoy sa pagsasaalang-alang ng [[Matrix na Hessian]] ng<math>\Lambda</math>.
 
Tandaan na habang ang <math>(\sqrt{2}, 1, -1)</math> ay isang kritikal na punto ng <math>\Lambda</math>, ito ay hindi isang lokal na [[ekstremum]]. Mayroon tayong <math>\Lambda(\sqrt{2} + \epsilon, 1, -1 + \delta) = 2 + \delta(\epsilon^2 + (2\sqrt{2})\epsilon)</math>. Sa anumang ibinigay na kapitbahayan ng <math>(\sqrt{2}, 1, -1)</math>, maaari tayong pumili ng isang maliit na positibong <math>\epsilon</math> at isang maliit na <math>\delta</math> ng anumang senyas(sign) upang makamit ang mga halagang <math>\Lambda</math> na parehong mas malaki at maliit sa <math>2</math>.
 
==Mga sanggunian==