Alhebrang elementaryo

Ang elementaryong alhebra ay isang pundamental at mababang baitang na porma ng alhebra na itinuturo sa mga estudyanteng wala o may kaunting dunong na higit sa aritmetika. Sa aritmetika, bilang at ang kanilang mga operasyong pang-aritmetika (tulad ng +, −, ×, ÷) ang nagaganap. Sa alhebra, tayo ay gumagamit ng mga simbolo (tulad ng x at y, o a at b) upang kumatawan sa mga bilang. Tinatawag itong mga bariyable o pananda. Mahalaga ang ito dahil:

• Nagpapakita ito ng paglalahad ng mga ekwasyong aritmetiko (o ng di-pagkakatumbas) upang maitakda bilang mga batas (tulad ng a + b = b + a sa lahat ng a at b). Dahil dito, unang hakbang ito sa maayos na pag-aaral sa mga katangian ng pamilangang tunay (real number system).

• Nagpapakita ito sa mga hindi pa natitiyak na bilang. Sa isang problema, kumakatawan ang bariyable sa tiyak na halaga na hindi pa nalalaman at masusumpungan sa pamamagitan ng pormulasyon at manipulasyon ng mga ekwasyon.

• Nagpapakita ito ng mga relasyong pangmatematika sa pagitan ng mga halaga (tulad nang “kung makapagbebenta ka ng x tiket, ang tutubuin mo ay 3x – 10 piso”)

Ang tatlong tinatalakay ng elementaryong alhebra na kakaiba sa walang-anyong alhebra (abstract algebra) na isang abansadong paksa na karaniwang itinuturo sa mga estudyante sa pamatasan.

Sa elementaryong alhebra, ang isang “ekspresyon” ay maaring maglaman ng bilang, bariyable at operasyong pang-aritmetika. Karaniwang isinusulat ito (ayon sa kumbensiyon) kung saan ang mga terminong may mataas na kapangyarihan o ‘higher-power’ ay nasa kaliwa.

Sa mas abansadong alhebra, ang isang ekspresyon ay maaaring may kasamang mga punsiyong elementaryo (elementary functions). Ang isang “ekwasyon” ay humihingi ng pagtutumbas sa dalawang ekspresyon. Sa ilang ekwasyon, totoo ito sa lahat ng halaga ng mga kasangkot na bariyable (tulad ng a + b = b + a); ito ay tinatawag na “identities”. Sa mga “ekwasyong kondisyonal”, totoo lamang ito sa ilang halaga ng mga kasangkot na bariyable: x² − 1 = 4. Ang mga halaga ng mga bariyable na nagpapatotoo sa mga ekwasyon ay tinatawag na “solusyon” o “kalutasan” ng ekwasyon.

Mga batas ng elementaryong alhebra

Mga katangian ng mga operasyon

• Ang operasyon sa pagdadagdag (+) …
  • ay isunusulat nang a + b;
  • ay napagpabaling-baling (commutative): a + b = b + a;
  • ay napagpapangkat-pangkat (associative): (a + b) + c = a + (b + c);
  • may baliktad na operasyon na tinatawag na pagbabawas: (a + b) − b = a, na pareho nang pagsasama ng isang negatibong bilang, a − b = a + (−b);
  • may elementong espesyal na 0 na nagpapanatili sa mga bilang: a + 0 = a.

• Ang operasyon sa pagpaparami (×) …
  • ay isinusulat nang a × b o a ⋅ b;
  • ay napagbabaling-baling (commutative): a × b = b × a;
  • ay napagpapangkat-pangkat (associative): (a × b) × c = a × (b × c);
  • ay pina-iikli sa pamamagitan ng pagdidikit (juxtaposition): a × b ≡ ab;
  • may elementong espesyal kung saan ang 1 ay nagpapanatili sa mga bilang: a × 1 = a;
  • may baliktad na operasyon na tinatawag na paghahati para sa mga bilang (maliban sa sero): (ab)/b = a, na kapareho nang pagpaparami ng isang resiprokal, a/b = a(1/b);
  • ay namumudmod kapag may kasamang pagdaragdag: (a + b)c = ac + bc;

• Ang operasyon ng ekponensiasyon/exponentiation …
  • ay isinusulat nang a^b;
  • ay nangangahulugan ng paulit-ulit na pagpaparami: aⁿ = a × a × … × a (n ulit);
  • ay hindi napagbabaling-baling at napagpapangkat-pangkat: sa kalahatan a^b ≠ b^a ; at (a^b)^c ≠ a^(bc);
  • may kabaligtarang operasyon na tinatawag na logaritmo (logarithm): a^log_ab = b = log_aa^b;
  • maaring isulat sa paggamit ng ika-n ugat: : a^m/n ≡ (ⁿ√a)^m at dahil dito ang pares ng ugat ng mga negatibong bilang ay hindi umiinog sa pamilangang tunay (real number system) at dahil dito
  • may elementong espesyal 1 na nagpapanatili sa mga bilang: a¹ = a;
  • ay namumudmod kapag may pagpaparami: (ab)^c = a^cb^c;
  • may katangian: a^ba^c = a^{b + c};
  • may katangian: (a^b)^c = a^bc.

Mga katangian ng pagkakatumbas

• Ang relasyon ng pagkakatumbas (=) ay …
  • Repleksibo/reflexive: a = a;
  • Simetriko/symmetric: kung ang a = b gayon ang b = a;
  • Maytawid/transitive: kung ang a = b at ang b = c sa gayon ang a = c.

Mga batas ng pagkakatumbas

• Ang relasyon sa pagkakatumbas (=) ay may katangian …
  • na kapag ang a = b at c = d, sa gayon ang a + c = b + d at ac = bd;
  • na kapag ang a = b, sa gayon ang a + c = b + c;
  • na kapag magkatumbas ang dalawang simbolo, ang isa ay maaring humalili sa isa.

Mga batas ng di-pagkakatumbas

• Ang relasyon ng di-pagkakatumbas (<) ay may katangian … …
  • ng paglilipat: kung ang a < b at ang b < c, sa gayon ang a < c;
  • na kapag ang a < b at c < d, sa gayon ang a + c < b + d;
  • na kapag ang a < b at c > 0, sa gayon ang ac < bc;
  • na kapag ang a < b at c < 0, sa gayon ang bc < ac.

Mga ekwasyon

Ang ekwasyong lineyar na may isang bariyable

Ang pinakasimpleng ekwasyon na madaling lutasin ay ang mga ekwasyong linear o tuwiran na may isang bariyable. Naglalaman sila ng mga konstant ng bilang at ng isang bariyable na walang eksponent. Halimbawa:

$2x+4=12.\,$

Ang pinakasentral na teknik sa paglutas nito ay ang magdagdag, magbawas, magparami o maghati sa magkabilang panig ng ekwasyon nang parehong bilang upang maihiwalay ang bariyable sa isang panig ng ekwasyon. Kapag naihiwalay na ang bariyable, ang kabilang panig ng ekwasyon ang halaga ng bariyable. Sa halimbawa, ang pagbabawas ng 4 sa magkabilang panig ng ekwasyon sa itaas:

$2x+4-4=12-4\,$

ay humahantong sa:

$2x=8.\,$

Ang paghahati nang 2 sa magkabilang panig:

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,$

ay humahantong sa kalutasan:

$x=4.\,$

Sa lahat ng kaso, ang

$ax+b=c\,$

ay sumusunod sa pare-parehong kaparaanan upang malutas ang ekwasyon:

$x={\frac {c-b}{a}}$

Kwadratikong ekwasyon

Ang kwadratikong ekwasyon ay maipakikita sa pormang ax² + bx + c = 0, kung saan ang a ay hindi sero (kung sero ito, ang ekwasyon ay hindi kwadratiko - sa halip isang itong ekwasyong linear). Dahil dito, ang isang kwadratikong ekwasyon ay may terminong naglalaman ng ax², na tinatawag na terminong kwadratiko. Kapag ang a ≠ 0, ating mahahati ito sa halagang a at maiaayos ang ekwasyon sa istandard na porma nito

$x^{2}+px=q\,$

Kung saan p = b/a at q = −c/a. Sa paglutas nito, sa pamamagitan ng prosesong tinatawag na pagbuo ng kwadrado (completing the square), humahantong ito sa kwadratikong pormula.

Malulutas din ang kwadratikong ekwasyon sa paggamit ng factorization (ang pabaliktad na proseso ng paglalahad o ekspansiyon). Ang sumusunod ay halimbawa ng factoring:

$x^{2}+3x-10=0.\,$

Na kapareho rin ng

$(x+5)(x-2)=0.\,$

Sumusunod ito katangiang zero-product kung saan ang x = 2 o x = −5 ay mga kalutasan sa dahilang ang isa sa mga factor ay may katumbas na sero. Lahat ng kwadratikong ekwasyon ay may dalawang kalutasan sa sistema ng complex number subalit hindi laging may kalutasan sa pamilangang tunay. Halimbawa,

Ay walang kalutasan sa tunay na bilang dahil walang kwadradong tunay na bilang na may katumbas na -1. Minsan ang isang kwadratikong ekwasyon ay isang ugat ng 2 estado ng pagpaparami(multiplicity 2) tulad ng:

$x^{2}+1=0\,$

Sa ekwasyon na ito, -1 ay isang ugat ng 2 estado ng pagpaparami (multiplicity 2)

$(x+1)^{2}=0.\,$

Mga ekwasyong exponensyal at logaritmiko

Ang ekwasyong exponensyal ay isang ekwasyon na may pormang a^X kung saan a > 0 at may kalutasan na

$X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}$

Kapag ang b > 0. Ginagamit rito ang mga elementaryong teknik ng alhebra upang isulat muli ang isang ekwasyon bago humantong sa kalutasan. Halimbawa, kung

$3\cdot 2^{x-1}+1=10$

At pagkatapos ay bawasan ng 1 sa magkabilang panig ng ekwasyon, at hahatian nang 3 sa magkabilang, hahantong tayo sa

$2^{x-1}=3\,$

Kung saan, maipakikita rin ito bilang

$x-1=\log _{2}3\,$

O kaya

$x=\log _{2}3+1.\,$

Ang isang ekwasyong logaritmiko ay isang ekwasyong may porma ng log_aX = b kung saan ang a > 0 at may kalutasan na

$X=a^{b}.\,$

Halimbawa, kung

$4\log _{5}(x-3)-2=6\,$

Kung magdadagdag tayo ng 2 magkabilang panig, at susundan ng paghahati nang 4 sa magkabilang panig, makukuha natin ang

$\log _{5}(x-3)=2\,$

Kung saan, maipakikita rin ito bilang

$x-3=5^{2}=25\,$

Kung saan ating makukuha

$x=28.\,$

Ekwasyong radikal

Ang ekwasyong radikal ay isang ekwasyong may pormang X^m/n = a, kung saan ang m, n ay mga integers, na may kalutasan na

$X={\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

Kung ang m ay nones (odd) at ang kalutasan ay

$X=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

Kung ang m ay pares (even) at ang a ≥ 0. Halimbawa, kung

$(x+5)^{2/3}=4\,$

Sa gayon

$x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3}=\pm 8$

Ang kahahantungan nito ay x = 8 − 5 = 3, o x = −8 − 5 = −13.

Sistema ng ekwasyong lineyar

Sa kaso ng isang sistema ng ekwasyong linear, tulad halimbawa ng dalawang ekwasyong may dalawang bariyable, kadalasang makasusumpong ng kalutasan sa parehong bariyable na tumutugon sa parehong ekwasyon. Unang paraan sa paghahanap ng kalutasan Ang sumusunod ay isang halimbawa ng isang sistema ng ekwasyong linear:

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

Sa pagpaparami nang 2 sa mga termino ng ikalawang ekwasyon:

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2.\,$

Sa pagdaragdag ng dalawang ekwasyon makukuha ang:

$8x=16\,$

Na humahantong sa

$x=2.\,$

Sa dahilang alam natin na ang x = 2, posibleng hanapin na ang y = 3 sa paggamit ng orihinal na mga ekwasyon (sa paggamit ng 2 sa halip na x). Lumalabas na ang buong kalutasan ng problemang ito ay ang sumusunod:

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

Tandaan na hindi lamang ito ang paraan upang lutasin ang sistemang ito; maaaring lutasin muna ang y bago ang x.

Ikalawang paraan ng paghahanap ng kalutasan

Ang iba pang paraan upang lutasin ang parehong sistema ng ekwasyong linear ay paghahalili.

Ang katumbas ng y ay makukuha sa paggamit ng isa sa dalawang ekwasyon kasangkot. Sa paggamit ng ikalawang ekwasyon:

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

Bawasan nang 2x ang bawat panig ng ekwasyon:

$2x-2x-y=1-2x\,$

At paramihin ito nang -1:

$2x-y=1\,$

$-y=1-2x\,$

$y=2x-1.\,$

Sa paggamit ng halagang y na ito sa unang ekwasyon sa orihinal na sistema:

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

At pagdadagdag nang 2 sa magkabilang panig ng ekwasyon:

$8x-2+2=14+2\,$

$8x=16\,$

Payak itong humantong sa

$x=2\,$

Sa paggamit ng halagang ito sa isa sa mga ekwasyon, parehong kalutasan ang matatamo tulad ng naunang paraan.

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

Tandaan na hindi lang ito ang paraan upang lutasing ang sistemang ito. Maaaring lutasin muna ang y bago ang x.

Ibang uri ng sistema ng ekwasyon

Mga sistemang walang kalutasan

Sa naunang halimbawa, posibleng makasumpong ng kalutasan. Subalit, mayroon ding mga sistema na walang kalutasan. Tahas na halimbawa ang sumusunod:

${\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,$

Walang kalutasan ang ikalawang ekwasyon sa sistemang ito. Dahil dito, ang sistemang ito ay sinasabing walang kalutasan. Gayunpaman, hindi lahat ng sistemang di-magkaangkop ay makikita sa unang tingin. Tingnan ang sumusunod na sistema:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,$

Sa paglutas nito (halimbawa, sa paggamit ng pagpapalit sa itaas), humahantong ang ikalawang ekwasyon matapos magdagdag nang − 2x sa magkabilang panig at paramihin nang −1 sa:

$y=-2x+4\,$

Sa paggamit ng halagang ito ng y sa unang ekwasyon:

$4x+2(-2x+4)=12\,$

$4x-4x+8=12\,$

$8=12\,$

Walang natirang bariyable at makikita na hindi totoo ang kanilang pagkakatumbas. Nangangahulugan na ang unang ekwasyon ay hindi makapagbibigay ng kalutasan sa halaga ng y na nakuha sa ikalawang ekwasyon.

Mga sistemang di-natitiyak

May mga sistemang marami o walang hanggang kalutasan na kasalungat ng isang sistemang may isang kalutasan (nangangahulugan ng dalawang kakaibang halaga sa x at y). Halimbawa:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,$

Kapag hiniwalay ang y sa ikalawang ekwasyon:

$y=-2x+6\,$

At sa paggamit ng halagang ito sa unang ekwasyon sa sistema:

$4x+2(-2x+6)=12\,$

$4x-4x+12=12\,$

$12=12\,$

Totoo ang pagkakatumbas ngunit hindi ito nagbibigay ng halaga sa x. Madaling maitatalaga na sa anumang x ay may kalutasan kung y = −2x + 6 (sa pamamagitan ng paglalagay ng halaga sa x). Sa sistemang ito, walang hangganan ang kalutasan nito.

Mga sistemamng higit at kulang sa pagtitiyak

Ang mga sistemang maraming bariyable kaysa sa bilang ng mga ekwasyong linear ay walang nag-iisang kalutasan. Ang isang halimbawa ng sistemang ito ay

${\begin{cases}x+2y=10\\y-z=2\end{cases}}$

Ang sistemang ito ay tinatawag na kulang sa pagtitiyak (underdetermined) kapag naghahanap ng kalutasan at kung saan ang isa o higit pang mga bariyable ay maipakikita lamang kasangkot sa iba pang mga bariyable ngunit hindi masusumpungan ang halagang tunay nito. Gayundin, ang isang sistemang may higit na bilang ng ekwasyon kaysa mga bariyable na kung saan kinakailangan ang ilang mga ekwasyon ay pagsasama o pagpaparami ng iba ay tinatawag na higit na pagtitiyak (overdetermined)

Relasyon sa pagitan ng estado ng kalutasan at pagpaparami

Sa isang sistema ng mga ekwasyong linear, may relasyon sa pagitan ng estado ng pagpaparami (multiplicity) at kalutasan (solvability). Kung ang isang ekwasyon ay pagpaparami (multiple) ng iba (o total ng pagpaparami ng ibang ekwasyon), ito ay di-tiyak na sistema ng ekwasyong linear na nangangahulugan ng walang katupusang kalutasan. Halimbawa:

${\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}}$

Ang estado ng pagpaparami (multiplicity) ay hindi buo (halimbawa, na kapag ang kaliwang panig ng mga ekwasyon ay parami habang ang kanang panig ay hindi o hindi pinararami ng parehong bilang), ang sistema ay hindi malulutas. Halimbawa, sa

${\begin{cases}x+y=2\\4x+4y=1\end{cases}}$

Lilitaw sa ikalawang ekwasyon ang x + y = 1/4 na kabalintunaan ng unang ekwasyon. Ang sistemang ito ay tinatawag ding inconsistent (hindi magkaayon) sa wika ng linear algebra. Kapag lulutas ng isang sistema ng ekwasyong linear, mainam na tingnan kung ang isang ekwasyon ay pagpaparami ng iba. Kung ito ang pangyayari, ang kalutasan ay hindi matitiyak. Kung ito ay bahagi lamang, wala itong kalutasan.

Subalit, hindi nangangahulugan na ang mga ekwasyon ay pagpapadami ng isa’t-isa upang magkaroon ng kalutasan, tulad ng ipakikita sa itaas. Sa ibang salita, ang karamihan ng isang sistema ng mga ekwasyong linear ay hindi kailangan ng kondisyon sa kalutasan nito.