Ekwasyong Slutsky

Ang ekwasyong Slutsky (o identidad ni Slutsky) sa ekonomika, na pinangalan kay Eugen Slutsky, ay nag-uugnay sa mga pagbabago ng pangangailangang Marshall (di-kompensado) sa mga pagbabago sa pangangailangang Hicks (kompensado), na kilala bilang ganoon dahil bumayad ito upang mapanatili ang isang nakapirming antas ng utilidad. Ipinapakita ng ekwasyon na ang pagbabago sa pangangailangan para sa isang kalakal, na sanhi ng pagbabago ng presyo, ay ang resulta ng dalawang epekto:

• isang epekto ng pagpapalit, ang resulta ng pagbabago sa mga kaugnay na presyo ng dalawang kalakal; at
• isang epekto ng kita, ang epekto ng pagbabago sa presyo na nagbubunga sa pagbabago sa kapangyarihan ng pagbili ng mamimili.

Umaagnas ang ekwasyong Slutsky sa pagbabago ng pangangailangan para sa kalakal i bilang tugon sa pagbabago ng presyo ng kalakal j: ${\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,$ kung saan $h(\mathbf {p} ,u)$$h(\mathbf {p} ,u)$ ang pangangailangang Hicks at $x(\mathbf {p} ,w)$ang pangangailangang Marshall, sa tugano ng mga antas ng presyong $\mathbf {p}$, antas ng yamang (o, kahalili, antas ng kitang) $w$, at nakapirming na antas ng utilidad na $u$ na nagmula sa pagmaksima ng utilidad sa orihinal na presyo at kita, na pormal na ibinigay ng di-tuwirang punsiyon ng utilidad $v(\mathbf {p} ,w)$. Ang kanang bahagi ng ekwasyon ay katumbas ng pagbabago sa pangangailangan para sa kalakal i habang namamanatali ang utilidad sa u bawas ang dami ng pinangangailangan ng kalakal j, na pinaparami sa pagbabago ng demand para sa kalakal i kapag nagbabago ang yaman.

Kumakatawan ang unang termino sa kanang bahagi sa epekto ng pagpapalit, at kumakatawan ang ikalawang termino sa epekto ng kita. Tandaan na dahil hindi maoobserbahan ang utility, hindi nakikita nang direkta ang epekto ng pagpapalit, ngunit maaari itong kalkulahin sa pamamagitan ng pagtukoy sa dalawa pang termino sa ekwasyong Slutsky, na makikita. Paminsan-minsang kilala ang prosesong ito bilang ang agnas ni Hicks ng isang pagbabago sa pangangailangan.

Maaaring isulat muli ang ekwasyon sa mga termino ng elastidad:

$\epsilon _{p,ij}=\epsilon _{p,ij}^{h}-\epsilon _{w,i}b_{j}$

kung saan ε_p ang (di-kompensadong) elastidad ng presyo, ε_p^h ang kompensadong elastidad ng presyo, ε_{w, i} ang elastidad ng kita ng kalakal i, at b_j ang bahagi ng talagulgulin (Ingles: budget share) ng kalakal j.

Maaaring isulat muli ang parehong ekwasyon sa anyong baskagan upang payagan ang maramihang mga pagbabago ng presyo nang sabay-sabay:

$\mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,$

kung saan D_p ang deribatibong opereytor sa respeto ng presyo at D_w ang deribatibong opereytor sa respeto ng kayamanan.

Kilala ang baskagang $\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)$bilang baskagang Slutsky, at kung may sapat na kondisyong kakinisan sa punsiyon ng utilidad, ito ay simetriko, negatibong hating-depinido, at ang Hessian ng punsiyong paggasta.

Deribasyon

Habang may maraming mga paraan upang makuha ang ekwasyong Slutsky, malamang na pinakapayak ang sumusunod na paraan. Magsimula sa pagtala ng identidad $h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))$kung saan $e(\mathbf {p} ,u)$$e(\mathbf {p} ,u)$ ang punsiyong paggasta, at u ang utilidad na nakukuha sa pamamagitan ng pagmaksima ng utilidad sa respeto ng p at w. Ang kabuuang diperensiyasyon sa respeto ng p_j ay nagreresulta ng mga sumusunod:

${\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}$

Gamit ang katotohanan na ${\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)$ sa pamamagitan ng lemma ni Shephard at sa optimum,

$h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),$ kung saan $v(\mathbf {p} ,w)$ang di-tuwirang punsiyon ng utilidad,

maaaring palitan at muling isulat ang deribasyon sa itaas bilang ang ekwasyong Slutsky.

Tingnan din

• Pagpili ng mamimili
• Lemma ni Hotelling