Inbersong punsiyon

Ang inbersong punsiyon (Ingles, inverse function) ay ang punsiyong nagbabaliktad sa isang punsiyon. Kung ang input na $x$ sa punsiyong $f$ ay lumilikha ng output na $y$, kung gayon ang paglalagay ng $y$ sa inbersong punsiyong $g$ ay lilikha ng output na $x$, at bise bersa o

Ang punsiyong $f$ at ang inberso nitong $f^{-1}$. Dahil sa ang $f$ ay nagmamapa ng $a$ sa $3$, ang inbersong punsiyon na $f^{-1}$ ay nagmamapa ng $3$ pabalik sa $a$.

$f(x)=y$ at $g(y)=x$

Sa tuwiran, ang $g(f(x))=x$ ay nangangahulugang ang $g(x)$ na binuo ng $f(x)$ ay nag-iiwan sa $x$ na hindi nababago. Ang isang punsiyong $f$ na may inberso ay tinatawag na invertible. Ang inbersong punsiyon ay unikong matutukoy ng $f$ at may simbolong $f^{-1}$ (binabasang f inberso).

Ang isang relasyon ay matutukoy na may inberso kung ito ay isang punsiyong isa-sa-isa (one-to-one). Hindi lahat ng punsiyon ay may inberso.

Mga halimbawa

Buong inberso

Isang halimbawa ay ang punsiyong ${\textstyle f(x)=(2x+8)^{3}}$. Upang mahanap ang inberso ng ${\textstyle f}$, kailangang makuha ang katumbas ng $x$ sa ${\textstyle y=f(x)}$:

${\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}$

Ang $y={\sqrt {x}}$ ay isang parsiyal na inberso ng $f(x)=x^{2}$ sa domain na $x\geq 0$.

Dahil ${\textstyle x=f^{-1}(y)}$, ang inbersong punsiyon ${\textstyle f^{-1}}$ ay

$f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.$

Parsiyal na inberso

Isa pang halimbawa ay ang punsiyong ${\textstyle g(x)=x^{2}}$. Upang mahanap ang inbersong punsiyong ${\textstyle g^{-1}}$,

${\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\sqrt {y}}&=x.\\\end{aligned}}$

Kahit ang punsiyong $g$ ay hindi isang punsiyong isa-sa-isa (${\textstyle g(-x)=g(x)=x^{2}}$), ito ay isang punsiyong isa-sa-isa kung ang domain ng ${\textstyle x}$ ay gagawing ${\textstyle x\geq 0}$. Kung kaya ang inberso ng $g$ ay

$g^{-1}(y)={\sqrt {y}}.$

Iskalang Celsius at Fahrenheit

Upang makuha ang katumbas ng halaga sa iskalang Fahrenheit ng isang temperaturang nasa iskalang Celsius:

$F={\tfrac {9}{5}}C+32$

kung saan ang $F$ ay ang temperatura sa iskalang Fahrenheit at $C$ naman ay sa iskalang Celsius.

Kung hahayaan ang tumbasang ito na maging isang punsiyong $f$ ,

$F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32$

kayang makuha ang inberso nitong $f^{-1}$:

${\begin{aligned}F&={\tfrac {9}{5}}C+32\\F-32&={\tfrac {9}{5}}C\\{\tfrac {5}{9}}(F-32)&=C.\\\end{aligned}}$

Kung kaya naman ang katumbas sa Celsius ng temperaturang $F$ sa Fahrenheit ay binibigay ng $f^{-1}(F)$:

$C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32).$

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.