Mean na kwadradong tinimbang na paglihis

Ang Mean na kwadradong tinimbang na paglihis ay malawak na ginagamit sa heokronolohiya na agham ng pagkakamit ng impormasyon tungkol sa panahon ng pagkakabuo ng halimbawa mga bato, mineral, mga buto, koral o uling o ang panahon kung saan ang partikular na mga proseso ay nangyayari sa masa ng bato halimbawa sa muling kristalisasyon at pagalago ng butil o sa pagbabagong nauugnay sa paglalagay ng mga depositong ore. Kadalasan, ang heokronolohista ay tutukoy ng isang serye ng mga sukat ng edad sa isang sampol na may halagang sinukat na $\ {x_{i}}$ na may timbang na $\ {w_{i}}$ at isang nauugnay na kamaliang $\sigma _{x_{i}}$ para sa bawat pagtukoy ng edad. Tungkol sa pagtitimbang, ang isa ay maaaring magtimbang ng lahat ng mga sinukat na edad ng magkakatumbas o magtimbang ng mga ito sa pamamagitan ng proporsiyon ng sampol na kinatawan ng mga ito. Halimbawa, kung ang dalawang-tatlo ng sampol ay ginagamit sa unang pagsukat at ang isang-tatlo para sa ikalawa at huling pagsukat, maaaring timbangin ang unang pagsukat ng dalawang beses ng ikalawa. Ang artimetikong mean ng mga pagtukoy ng edad ay:

${\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}}$

ngunit ang halagang ito ay nakaliligaw malibang ang bawat pagtukoy ng edad ay may katumbas na kahalagahan. Kapag ang bawat nasukat na halaga ay maipapalagay na may parehong pagtitimbang o kahalagahan, ang may kinikilingan at walang kinikilingang(o respektibong populasyon at sampol) mga tagantiya ng bariansa ay kinukwenta ng sumusunod:

$\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{N}}{\rm {\ \ and\ \ }}s^{2}={\frac {N}{N-1}}\cdot \sigma ^{2}={\frac {N}{N^{2}-N}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

Ang pamantayang paglihis ang kwadradong ugat ng bariansa. Kapag ang mga indibidwal na pagtukoy ng edad ay hindi ng magkatumbas kahalagahan, mas mabuting gumamit ng tinimbang na mean upang makamit ang aberaheng edad gaya ng sumusunod:

${\overline {x}}^{\,*}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$

Ang may kinikilingang tinimbang na tagatantiya ng bariansa ay maaaring maipakita na:

$\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{\,*})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}$

na maaaring makwenta bilang

$\sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-(\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i})^{2}}{(\sum _{i=1}^{N}w_{i})^{2}}}$

Ang walang kinikilingang tinimbang na tagatantiya ng bariansa ng sampol ay maaaring makwentang:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{(\sum _{i=1}^{N}w_{i}})^{2}-{\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}}\ .\ {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{\,*})^{2}}$

Muli, ang tumutugong pamantayang paglihis ang kwadradong ugat ng bariansa. Ang walang kinikilangang tinimbang na tagatantiya ng bariansa ng sampol ay maaari ring makwenta na:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-(\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i})^{2}}{(\sum _{i=1}^{N}w_{i})^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}$

Ang hindi tinimbang na kwadradong mean ng tinimbang na mga paglihis ay maaari namang kwentahin na:

MSWD$_{u}={\frac {1}{N-1}}\ .\ \sum _{i=1}^{N}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sigma _{x_{i}}^{2}}}$

Sa analohiya, ang tinimbang na kwadradong mean ng tinimbang na mga paglihis ay maaaring makwenta na:

MSWD$_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{(\sum _{i=1}^{N}w_{i})^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\ .\ \sum _{i=1}^{N}{\frac {w_{i}.(x_{i}-{\overline {x}}^{\,*})^{2}}{(\sigma _{x_{i}})^{2}}}$

Mga sanggunian

• McDougall, I. and Harrison, T.M. 1988. Geochronology and Thermochronology by the ⁴⁰Ar/³⁹Ar Method. Oxford University Press.

• Dickin, A.P. 1995. Radiogenic Isotope Geology. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995, ISBN 0-521-43151-4, ISBN 0-521-59891-5

• Lance P. Black, Sandra L. Kamo, Charlotte M. Allen, John N. Aleinikoff, Donald W. Davis, Russell J. Korsch, Chris Foudoulis 2003. TEMORA 1: a new zircon standard for Phanerozoic U–Pb geochronology. Chemical Geology 200, 155-170.

• M.J. Streule, R.J. Phillips, M.P. Searle, D.J. Waters and M.S.A. Horstwood 2009. Evolution and chronology of the Pangong Metamorphic Complex adjacent to themodelling and U-Pb geochronology Karakoram Fault, Ladakh: constraints from thermobarometry, metamorphic modelling and U-Pb geochronology. Journal of the Geological Society 166, 919-932 doi:10.1144/0016-76492008-117

Discussions of the basic mathematical principles

• Roger Powell, Janet Hergt, Jon Woodhead 2002. Improving isochron calculations with robust statistics and the bootstrap. Chemical Geology 185, 191-204.