Pagkakaiba sa mga pagbabagong ng "Pamparaming Lagrange"

walang buod ng pagbabago
Ipaglagay na tayo ay naglalakad sa kahabaan ng linyang kontur na may <math> g = c </math>. Sa pangkalahatan, ang mga linyang kontur ng <math> f </math> at <math> g </math> ay maaaring walang katulad kaya kung susundan ang linyang kontur para sa <math> g = c </math>, maaaring bagtasin(intersect) o tawirin ang mga linyang kontur ng <math> f </math>. Ito ay katumbas sa pagsasabi na habang gumagalaw sa kahabaan ng linyang kontur para sa <math> g = c </math>, ang halaga ng <math>f </math> ay maaaring magbago. Tanging kung ang linyang kontur para sa <math> g = c </math> ay magtatagpo sa mga linyang kontur ng <math> f </math> [[pagdidikit (matematika) (mathematics)|tangensiyal]] hindi natin dadagdagan o babawasan ang halaga ng <math> f </math> na ang ibig sabihin ay kung ang mga linyang kontur ay nagdadapuan ngunit hindi nagtatawiran.
 
Ang mga linyang kontur ng ''f'' at ''g'' ay nagdadapuan kung ang mga [[bektor na tangent]] ng mga linyang kontur ay [[paralelo]]. Dahil sa ang [[gradientogradient]] ng punsiyon ay [[perpendikular]] sa mga linyang kontur, ito ay parehas ng pagsasabing ang mga gradientogradient ng ''f'' and ''g'' ay parelolo. Kaya nais natin ang mga puntong <math>(x,y)</math> kung saan ang <math>g(x,y) = c</math> at ang
:<math>\nabla_{x,y} f = - \lambda \nabla_{x,y} g</math>,
kung
:<math> \nabla_{x,y} g= \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) </math>
 
ang mga respektibong gradientogradient. Ang [[konstante]]ng <math>\lambda</math> ay kailangan dahil bagaman ang dalawang mga bektor na gradientogradient ay paralelo, ang mga [[magnitudo]] ng mga bektor na gradientogradient ay sa pangkalahatan hindi magkatumbas.
 
Upang pagsamahin ang mga kondisyon ito sa isang [[ekwasyon]], ating ipakikilala ang isang katulong na punsiyong
Maaaring [[Repormulasyon ng Lagrangian mekaniks|muling ipormula ang Lagrangian]] bilang isang [[Mekaniks na Hamiltonian|Hamiltonian]] na ang kasong ang mga solusyon ang mga lokal na minima para sa Hamiltonian. Ito ay ginagawa sa teoriyang [[optimal na kontrol]] sa anyo ng [[Prinsipyong minimum ni Pontryagin]].
 
Ang katotohanan ang mga solusyon ng Lagrangiano ay hindi rin kinakailangang extrema ay nagbibigay rin kahirapan para sa numerikal na optimisasyon. Ito ay maaaring matugunan sa pamamagitan ng pagkukwenta ng magnitudo ng gradientogradient dahil sa ang mga sero ng magnitudo ay kinakailangang lokal na minima.
 
==Paghawak ng maraming mga pagtatakda==
[[Image:As wiki lgm parab.png|thumb|right|300px|Isang [[paraboloid]], ilang mga hanay na lebel(o linyang kontur) at 2 linyang pagtatakda.]]
[[Image:As wiki lgm levelsets.png|thumb|right|300px|Kung palalaking ang mga hanay na lebel at pagtatakda, ating makikita na ang dalawang linyang pagtatakda ay bumabagtas upang bumuo ng magkasanib na pagtatakda na isang punto. Dahil sa mayroon lamang isang putno na susuriin, ang kaakibat na punto sa paraboloid ay automatikong isang maximum at minimum. Gayunpaman, ang pinasimpleng pangangatwirang isinadd sa mga seksiyon sa itaas ay tila nabibigo dahil sa ang hanay na lebel ay lumalabaw na tumatawid sa punto at sa kasabay nito ang gradientogradient nila ay hindi paralelo sa mga gradientogradient ng anumang pagtatakda. Ito ay nagpapakitang kailangan nating pinuhin ang paliwanag ng paraan upang pakitunguhan ang mga uri ng pagtatakda na nabubuo kung mayroon tayong higit sa isang pagtatakda na umaasal ng sabay.]]
 
Ang paraan ng mga multiplayer na Lagrange ay maaari ring makitungo sa mga pangmaramihang mga pagtatakda. Upang makita kung paano ito gawin, kailangang muling siyasatin ang problema sa medyo ibang paraan dahil ang konsepto ng "pagtawid" na tinalakay sa taas ay nagiging mabilis na hindi maliwanag kung ating isasaalang-alang mga uri ng pagtatakda na nalilikha kung mayroon tayong higit sa isang pagtatakda na sabay sabay na umaasal. Bilang halimbawa, isaalang alan ang [[paraboloid]] na may pagtatakdang isang punto(na maaaring malikha kung may dalawa tayong linyang pagtatakda na nag-uugnayan). Ang [[hanay na lebel]](i.e., linyang kontur) ay maliwanag na lumalabas na tumatawad sa punto ito at ang gradientogradient ay maliwanag na hindi paralelo sa mga gradientogradient ng kahit sa anumang dalawang pagtatakdang linya. Gayunpaman, malinaw na ito ay maximum at minimum dahil may isa lamang punto sa paraboloid na sumasalubong sa pagtatakda.
 
Bagaman ang halimbawang ito ay tila medyo kakaiba, ito ay madaling maunawaan at kumakatawan sa uri ng epektibong pagtatakda na lumilitaw ng malimit kung makikitungo sa mga nagbabagtasang(intersecting) maraming mga pagtatakda.
\end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\nabla f\,\,\,\centerdot \,\,\,\,v\,\,=\,\,\,0</math>
 
Ginagawa nitong maliwanag na kung tayo ay nasa ''p'', kung gayon ang ''lahat'' ng mga direksiyon mula sa puntong ito na ''hindi'' nagbabgo ng halaga ng ''f'' ay ''dapat perpendikular'' sa <math>\nabla f\left( p \right)</math>(ang gradientogradient ng ''f'' sa ''p'').
 
Ngayon, ating isaalang alang ang epekto ng mga pagtatakda. Ang bawat pagtatakda ay naglilimitas ng mga direksiyon na maaari nating galawan mula sa isang partikular na punto at maari pa ring masapatan ang pagtatakda. Maaari nating gamitin ang parehong pamamaraan upang maghanap ng hanay ng mga bektor na <math>\left\{ v_{C} \right\}</math> na naglalaman ng mga direksiyon na maaari nating galawan at masasapatan pa rin ang pagtatakda. Gaya ng sa itaas, sa bawat bektor na ''v'' in <math>\left\{ v_{C} \right\}</math>, ang sumusunod na ugnayan ay dapat totoo: