Alhebra ni Dirac

Sa pisikang matematikal, ang alhebra ni Dirac ay tumutukoy sa alhebrang Clifford ${\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )$ . Ito ay pinakilala ng matematika at pisika na si Paul Dirac noong 1928 habang binubuo niya ang ekwasyong Dirac para sa spin-½ particle na may representasyong matrix ng mga gamma matrices. Ang mga gamma matrices naman ay kumakatawan sa mga generator ng alhebrang ito.

Ang mga gamma matrices ay isang set ng apat na $4\times 4$ na mga matrice $\{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ na may mga kasamang entry sa $\mathbb {C}$, iyon ay, mga elemento ng ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$, na bumubuo sa

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },$

kung saan sa pamamagitan ng kumbensyon, ang isang identity matrix ay pinigilan sa kanang bahagi. Ang mga numero $\eta ^{\mu \nu }\,$ ay ang mga bahagi ng sukatan ni Minkowski .Para sa artikulong ito, inayos namin ang lagda na puros pagbabawas, iyon ay, $(+,-,-,-)$ .

Ang alhebra ni Dirac ay ang linear span ng pagkakakilanlan, ang gamma matrices $\gamma ^{\mu }$ pati na rin ang anumang pagkalayang linyar na mga produkto ng gamma matrice. Ito ay bumubuo ng finite-dimensional na alhebra sa ibabaw ng field $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, na may sukat $16=2^{4}$ .

Pinagbasehan ng alhebrang ito

Ang pinagbasehan ng alhebrang ito ay

$I_{4},$

$\gamma ^{\mu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$

kung saan ang bawat ekspresyon, bawat greek index ay dumaragdag habang nagalaw ito sa kanan. Bilang partikular, walang umuulit na index sa mga ekspresyon. Sa pagbibilang naman ng dimesyon, ang dimensyon ng alhebra ay labing-anim (16).

Ang alhebra ay pwedeng malikha kapag kukunin lang mag-isa ang produkto ng $\gamma ^{\mu }$: ang pagkakakilanlan nito ay mapapansin bilang

$I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}$

habang ang iba ay produkto lang ng $\gamma ^{\mu }$.