Matematika

Larangang patungkol sa bilang at komputasyon

Matemátiká[1][a] ang larangan ng kaalaman na pangunahing nakatuon sa mga bilang, komputasyon, pormula, estraktura, hugis, espasyo, kantidad, at ang mga pagbabago nito. Dahil sa lawak ng saklaw ng larangan, wala itong napagkakasunduang isang tiyak na kahulugan, bagamat may mga matematiko at akademikong nagsubok na bigyang-kahulugan ito sa kasaysayan. Ang modernong matematika ay nahahati sa mga pangunahing sangay na kinabibilangan ng teorya ng bilang, alhebra, heometriya, at pagsusuri. Itinuturing ito bilang isang napakahalagang larangan kung saan nakaangkla ang ibang mga larangan, tulad halimbawa ng likas na agham, inhinyera, medisina, pananalapi, agham pangkompyuter, at agham panlipunan. Bagamat ginagamit ang larangan sa pagmomodelo sa mga penomena, hiwalay sa mga maagham na teorya at eksperimento ang mga pangunahing katotohanan ng matematika. May ilang sangay na nadebelop upang magamit sa ibang mga larangan, tulad ng estadistika at teorya ng laro, at madalas na ginugrupo sa ilalim ng matematikang nalalapat. Samantala, may mga sangay naman na hiwalay na nadebelop nang walang gamit sa simula, at ginugrupo sa ilalim ng purong matematika, bagamat kalauna'y nakahanap rin ang mga ito ng paggamit dahil sa samu't saring dahilan, tulad ng pag-usad ng teknolohiya.

Sentro sa mga gawain sa matematika ang paghahanap sa mga katangian ng mga bagay na abstrakto gamit ang pagdadahilan upang patunayan ang mga ito. Madalas ito ay isang likas na abstraksiyon, o di kaya'y mga entidad na itinuturing na may mga partikular na katangian o mga aksoma. Patunay ang tawag sa mga resultang ginamitan ng sunod-sunod na paglalapat ng mga tuntunin sa imperensiya upang masabing totoo nga ito. Kasama sa mga resultang ito ay ang mga napatunayan na'ng teorema, aksoma, at ilang mga panimulang katangian na kinilala bilang mga tunay na simulain sa paggawa ng teorya.

Mga Griyego ang nagpasimula sa paggamit ng mga patunay sa matematika. Pinakasikat sa mga patunay ng matematikang Griyego ang Mga Elemento ni Euclides. Simula pa noon, hinahati na ang matematika sa dalawang sangay: heometriya at aritmetika. Nagbago ito simula noong ika-16 na siglo, nang sinama ang alhebra at kalkulo. Mula sa puntong yon, naging madalas na ang paggamit ng matematika upang makagawa ng mga pagtuklas sa agham. Naging sentro ng debate noong ika-19 na siglo ang mga haligi ng matematika, na nagbigay-daan upang mabuo ang sistemang aksomatiko. Sa modernong panahon, kasalukuyang kinilala ng Mathematics Subject Classification ang 60 larangan bilang mga pangunahing sangay ng matematika.

Etimolohiya

Nagmula ang salitang "matematika" sa wikang Kastila na matemática,[1] na nagmula naman mula sa wikang Griyego na mathēmatiká (Griyego: μαθηματικά). Nagmula naman ito mula sa sinaunang Griyegong máthēma (Griyego: μάθημα, lit. na 'mga bagay na nalalaman'), na nanganguhulugang "agham" o "pag-aaral", bagamat nagkaroon ito ng mas makitid na kahulugan pagsapit ng panahong klasikal sa Gresya.[3][b] Ang pang-uri nito ay mathēmatikós (Griyego: μαθηματικός), na nangangahulugang "mahilig mag-aral"; dito nanggaling ang salitang "matematikal".[5] Mathēmatikoi (Griyego: μαθηματικοί) ang tawag noon sa mga estudyante, bagamat dito nanggaling ang salitang "matematiko". Ang mga tagasunod ng Pitagorasismo ang nagpakitid sa kahulugan nito upang tukuyin lamang ang aritmetika at heometriya. Pagsapit ng kapanahunan ni Aristoteles, ganito na ang kahulugan ng matematika.[6]

Astrolohiya (o sa ibang kaso, astronomiya) ang karaniwang ibig sabihin ng matematika hanggang noong bago ang ika-16 na siglo. Nagbago ang kahulugan nito patungo sa modernong kahulugan nito pagsapit ng ika-19 na siglo. Nagresulta ang pagbabagong ito sa mga maling pagsasalin sa naturang salita; halimbawa, maling naisalin ang babala ni San Agustin sa mga Kristiyano sa kanyang kasulutan kontra sa mga mathematici. Astrologo ang ibig sabihin nito nung panahong niya, hindi matematiko, bagamat ginagamit pa rin ang pagkakamaling ito ng mga panatiko upang ikondena ang mga matematiko.[7]

Sa wikang Kastila nagmula ang modernong salitang Tagalog na "matematika". Ang matemática ay isang pangngalang isahan (Ingles: singular noun); ang maramihan nito ay matemáticas, na siyang opisyal na salin nito sa wikang Kastila.[8] Ganito rin ang kaso sa ibang mga wikang Romanse, lalo na sa wikang Ingles na mathematics. May mga teorya na dahil ito sa pagsalin sa sinaunang Griyego na ta mathēmatiká (Griyego: τὰ μαθηματικά), na nangangahulugang "lahat ng mga may kinalaman sa matematika", bagamat posible rin na nagmula lang din ito sa pang-uri nito at ginaya ng mga mananalitang Ingles ang lohika ng mga salitang physics (pisika) at metaphysics (metapisika), na parehong nasa anyong maramihan kahit na isahan lang ito. Pinapaikli rin ang salita bilang math, na popular na ginagamit din sa Pilipinas, o maths sa Britanikong Ingles.[9][10]

Samantala, isang neolohismo ang salitang "sipnayan". Nagmula ito sa diksiyonaryong Maugnaying Talasalitaan (1969) bilang bahagi ng mga mungkahi ng paggawa ng mga salitang Pilipino na kombinasyon ng mga wikang rehiyon ng Pilipinas. Sa salitang ito, nabuo ito mula sa pinagsamang salitang Bisaya na isip ("matematika") at hanayan. Tulad ng marami sa mga mungkahi ng diksiyonaryo, hindi ito madalas gamitin sa karaniwang diskurso.[11][2]

Kasaysayan

Sinaunang panahon

Tinatayang nagbibilang na ang mga sinaunang tao simula pa noong 44000 BKP.[12] Kaya nilang magbilang ng parehong mga pisikal at abstraktong bagay tulad ng araw, buwan, taon, at panahon.[13] Ganito nagsimula ang matematika hanggang noong 3000 BKP, nang nagsimulang gamitin ng mga taga-Babylonia at Ehipto ang mga panimulang elemento ng aritmetika, heometriya, at maging alhebra sa kanilang mga gawain, tulad ng pagbubuwis, pera, konstruksiyon, at astronomiya.[14] Tinatayang ginawa noong 2000 BKP hanggang 1800 BKP ang mga pinakalumang tekstong pangmatematika sa Mesopotamia at Ehipto. Marami sa mga ito ang nagpapahiwatig na alam na nila (o may ideya sila kahit papaano) ang konsepto ng teorema ni Pitagoras,  . Sa matematika ng Babylonia unang lumitaw sa kasaysayan ang apat na pangunahing operasyon ng mababang aritmetika: pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Gumamit din sila ng notasyong posisyonal na nakaayon sa seksahesimal na sistema ng bilang, na ginagamit pa rin sa modernong panahon para sa pagbibilang ng oras at anggulo.[15]

Nagsimulang maging ganap na larangan ang matematika ng mga sinaunang Griyego pagsapit ng ika-6 na siglo BKP, at hinihiwalay na ito mula sa agham ng ilang mga Griyego tulad ng mga tagasunod ni Pitagoras.[16] Bandang 300 BKP, sinimulang kolektahin ni Euclides ang kaalaman ng mga Griyego sa matematika sa pamamagitan ng paggawa ng mga palagay at mga unang prinsipyo, na kalauna'y nagresulta upang mabuo ang kaparaanang aksomatiko na ginagamit sa matematika magpahanggang ngayon.[17] Kinokonsidera ang kanyang aklat na Mga Elemento bilang isa sa mga pinakamatatagumpay na nalathalang aklat sa kasaysayan.[18] Si Arkimedes ang itinuturing na pinakamahusay na matematiko ng sinaunang panahon dahil sa kanyang mga nagawa sa larangan,[19] kabilang na ang mga solido ng paglibot (Ingles: solid of revolution) at ang paraang pag-ubos (Ingles: method of exhaustion) upang makompyut ang sukat ng isang parabola gamit ang sumasyon ng isang seryeng walang-hanggan, paraang di nalalayo sa modernong konsepto ng kalkulo.[20] Bukod dito, ilan sa mga natatanging ambag ng mga sinaunang Griyego ay ang pag-aaral sa mga apa (Ingles: conic), trigonometriya, at mga simulain ng alhebra.[21][22][23]

Ang pinakaginagamit na sistema ng bilang ngayon, sistemang Hindu-Arabo, ay nagsimula sa India noong unang milenyo KP at naipasa sa Kanluraning Mundo sa pamamagitan ng matematikang Islam.[24] Bukod dito, sa India rin nagsimula ang modernong kahulugan at pagtataya sa sine at cosine, gayundin sa isang sinaunang anyo ng seryeng walang-hanggan.[25][26]

Mula Gitnang Kapanahunan

Noong Ginintuang Panahon ng Islam, lalo na noong ika-9 at ika-10 siglo, nagkaroon ng mga mahahalagang pag-abante sa pag-aaral sa matematikang Griyego sa Gitnang Silangan. Pinakamahalaga sa mga ito ay ang pagdebelop sa alhebra, gayundin sa trigonometriyang pang-ispero (Ingles: spherical trigonometry) at tuldok pandesimal sa sistema ng bilang. Nagmula sa Persia ang karamihan sa mga mahahalagang matematiko ng panahong ito, tulad nina Al-Khwarizmi, Omar Khayyam, at Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī. Sinalin ang mga gawa nila gayundin ang mga gawa ng mga Griyego at Arabo sa wikang Latin, na kalauna'y nakarating sa Europa noong Gitnang Kapanahunan.

Bumilis ang pag-usad ng matematika sa kanlurang Europa pagsapit ng maagang modernong panahon. Sa panahong ito lumitaw ang mga baryable at notasyong simboliko na unang ginamit ni François Viète. Ginawa naman ni John Napier ang konsepto ng logaritmo, na nagpabilis sa mga kalkulasyon sa astronomiya at paglalayag. Si Rene Descartes ang nagpakilala sa konsepto ng koordinado, na nakatulong upang magamit ang alhebra sa heometriya. Samantala, magkahiwalay namang naimbento nang sabay ang kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Leibniz. Si Leonhard Euler naman ang kinokonsidera bilang ang pinakamahalagang matematiko ng ika-18 siglo dahil sa kanyang paggawa ng isang pamantayang terminolohiya para sa mga larangang ito gayundin sa mga pagkumpleto niya sa mga ito sa pamamagitan ng pagtuklas at pagpapatunay sa samu't-saring mga teorema.

Mga larangan

Ang matematika sa malawak na usapan ay maaaring hatiin sa pag-aaral ng kantidad(aritmetika), istraktura(alhebra), espasyo(heometriya) at pagbabago(analisis). Sa karagdagan sa mga pangunahing ito, mayroong din mga subdibisyon na inilalaan sa pagtuklas ng mga ugnayan mula sa puso ng matematika sa iba pang mga larangan: lohika, teoriya ng pangkat(mga pundasyon), hanggang sa empirikal na matematika ng iba't ibang mga agham(nilalapat na matematika) at sa mas pinakakamakailan lamang sa mahigpit na pag-aaral ng kawalang katiyakan.

Mga pundasyon at pilosopiya

Upang liwanagin ang mga pundasyon ng matematika, ang mga larangan ng matematikal na lohika at teoriya ng pangkat ay binuo. Ang matemtikal na lohika ay kinabibilangan ng matematikal na pag-aaral ng lohika at mga aplikasyon ng pormal na lohika sa ibang mga sakop ng matematika. Ang teoriya ng pangkat ang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pangkat o koleksiyon ng mga obhekto. Ang teoriya ng kategorya na humihinggil sa isang abstraktong paraan sa mga matematikal na istraktura at mga ugnayan sa pagitan ng mga ito ay patuloy pa ring binubuo. Ang pariralang "kris ng mga pundasyon" ay naglalarawan ng paghahanap ng isang mahigpit na pundasyon para sa matematika na nangyari noong mga 1900 hanggang 1930. Ang ilang sa mga di pagkakasunduan tungkol sa mga pundasyon ng matematika ay nagpapatuloy pa rin sa kasalukuyang panahon. Ang krisis ng mga pundasyon ay pinukaw ng ilang bilang ng mga kontrobersiya nang panahong ito kabilang ang kontrobersiya sa teoriyang pangkat ni Cantor at ang kontrobersiyang Brouwer-Hilbert. Ang matematikal na lohika ay hinggil sa paglalatag ng matematika sa loob ng mahigpit na aksiomatikong balangkas at pag-aaral ng mga implikasyon ng gayong balangkas. Dahil dito, ito ay tahanan sa teoremang pagiging hindi kumpleto ni Kurt Gödel na inpormal na nagpapahiwatig na ang anumang pormal na sistema na naglalaman ng basikong aritmetiko, kung mahusay(sound) na ang ibig sabihin ang lahat ng mga teorema na mapapatunayan ay totoo) ay kinakailangang hindi kompleto na ang ibig sabihin mayroong mga totoong teorema na totoong teorema na hindi mapapatunayan sa sistemang ito. Ano pa mang may hangganang koleksiyon ng mga bilang-teoretikal na mga aksioma na inuunawa bilang pundasyon, ipinakita ni Gödel kung paano lumikha ng pormal na pangungusap na totoo bilang-teoretikal na katotohanan ngunit hindi sumusunod sa mga aksiomang ito. Kaya walang pormal na sistema na kompletong aksiomatisasyon ng buong teoriya ng bilang. Ang modernong lohika ay nahahati sa teoriyang rekursiyon, teoriyang modelo, at teoriyang pagpapatunay at malapit na kaugnay ng teoretikal na agham pangkompyuter gayundin sa teoriya ng kategorya.

Ang teoretikal na agham pangkompyuter ay kinabibilangan ng teoriya ng komputasyon, komputasyonal na kompleksidad at teoriya ng impormasyon. Ang teoriya ng komputabilidad ay sumisiyasat sa mga limitasyon ng iba't ibang mga modelong teoretikal ng kompyuter kabilang ang pinakakilalang alam na modelo - ang Makinang Turing. Ang teoriya ng kompleksidad ang pag-aaral ng traktabilidad ng kompyuter. Ang ilang mga problema bagaman teoretikal na malulutas sa pamamagitan ng kompyuter ay napakamahal sa termino ng panahon o espasyo na ang paglutas sa mga ito ay malaman mananatiling hindi praktikal na maisasagawa kahit pa sa mabilis ng pagsulong ng hardwer ng kompyuter. Ang isang sikat na problema ang "P=NP?" na isa sa mga problema ng Gantimpalang Millenium. Ang teoriya ng impormasyon ay hinggit sa halaga ng dat na maaaring iimbak sa isang ibinigay na midyum kaya nakikitungo sa mga konseptong gaya ng kompresyon at entropiya.

       
Matematikal na lohika Teoriya ng pangkat Teoriya ng kategorya Teoriya ng komputasyon

Purong matematika

Kantidad

Ang pag-aaral ng kantidad ay nagsisimula sa mga bilang, una ang pamilya na mga natural na bilang at intedyer at mga aritmetikang mga operasyon dito na mailalarawan sa aritmetika. Ang mas malalim na mga katangian ng intedyer ay pinag-aaralan sa teoriya ng bilang na pinagmulan ng mga kilalang resulta gaya ng Huling Teorema ni Fermat. Ang kambal na primong konhektura at konhektura ni Goldbach ang dalawa sa hindi pa nalulutas na problema sa teoriya ng bilang.

Habang ang sistemang bilang ay karagdagang binuo, ang mga intedyer ay kinilala bilang pang-ilalim na pangkat ng mga bilang rasyonal(praksiyon). Ang mga ito naman ay nilalaman sa mga real na bilang na ginagamit upang ikatawan ang mga tuloy tuloy na kantidad. Ang mga real na bilang ay nilahat sa mga komplikadong bilang. Ang mga ito ang unang hakban sa hierarka ng mga bilang na patuloy na kinabibilangan ng quarternion at octonion. Ang pagsasaalang-alang ng mga natural na bilang ay tumungo rin sa mga transpinidong bilang na gumagawang pormal sa konsepto ng inpinidad. Ang isa pang sakop ng pag-aaral ang sukat na tumutungo sa mga kardinal na bilang at tapos ay sa iba pang konsepsiyon ng inpinidad: ang bilang aleph na pumapayag sa makahulugang paghahambing ng sukat ng mga walang hangganang malalaking pangkat.

         
Natural na bilang Intedyer Rasyonal na bilang Real na bilang Kompleks na bilang

Istraktura

Maraming mga matematikal na obhekto gaya ng mga pangkat ng bilang at punsiyon ay nagpapakita ng panloob na istraktura bilang kinahinatnan ng mga operasyon o ugnayan na inilalarawan sa pangkat. Ang matematika ay nag-aaral naman ng mga katangian ng mga pangkat na ito na maaaring ihayag sa mga temino ng istrakturang ito. Halimbawa ang teoriya ng bilang ay nag-aaral ng mga katangian ng pangkat ng mga intedyer na maaaring ihayag sa mga termino ng mga aritmetikong operasyon. Sa karagdagan, ito ay malimit na nagyayari na ang iba't ibang mga gayong may-istrakturang mga pangkat ay nagpapakita ng parehong mga katangian na gumagawang posible sa karagdagang hakbang ng abstraksiyon na magsaad ng mga aksioma para sa klase ng mga istraktura at tapos ay pag-aral ng minsan ang buong klase ng mga istrakturang sumasapat sa mga aksiomang ito. Kaya ang isa ay pwedeng mag-aral ng mga grupo, singsing, field at iba pang mga abstraktong sistema. Pag pinagsama, ang gayong mga pag-aaral(para sa mga istrakturang inilalarawan ng alhebraikong mga operasyon) ay bumubuo ng sakop ng abstraktong alhebra. Dahil sa dakilang paglalahat nito, ang abstraktong alhebra ay kalimitang maaaring ilapat sa mukhang hindi magkaugnay na mga problema. Halimbawa ang isang bilang ng mga sinaunang problema hinggil sa kompas at tuwidnagilid na mga konstruksiyon ay sa wakas nalutas gamit ang teoriyang Galois na sumasangkot sa teoriyang field at teoriyang grupo. Ang isa pang halimbawa ng alhebraikong teoriya ang linyar na alhebra na pangkalahatang pag-aaral ng mga espasyong bektor na ang mga elemento nitong tinatawag na bektor ay may parehong kantidad at direksiyon at maaaring gamitin upang i-model(mga ugnayan sa pagitan) ang mga punto sa espasyo. Ito ang isang halimbawa ng penomenon na ang orihinal na hindi magkakaugnay na mga sakop ng heometriya at alhebra ay may labis na malakas na mga interaksiyon sa modernong matematika. Ang kombinatorika ay nag-aaral ng mga paraan ng paglilista ng bilang mga obhekto na kumakasya sa isang ibinigay na istraktura.

         
Kombinatorika Teoriya ng bilang Teoriya ng grupo Teoriya ng grapo Teoriya ng kaayusan

Espasyo

Ang pag-aaral ng espasyo ay nagmula sa heometriya -sa partikular ang heometriyang Euclidean. Ang trigonometriya ang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng mga tatsuolo gayundin sa mga punsiyong trigonometriko. Pinagsasama nito ang espasyo at mga bilang at sumasakop sa kilalang teoremang Phythagorean. Ang makabagong pag-aaral ng espasyo ay lumalahat sa mga espasyong ito upang isama ang mas mataas na dimensiyonal na heometriya, heometriyang hindi Euclidean na gumagampan ng sentral na papel sa pangkalahatang relatibidad, at topolohiya. Ang kantidad at espasyo ay parehong gumagampan ng papel sa heometriyang analitiko, diperensiyal na heometriya at alhebraikong heometriya. Ang konbeks at diskretong heometriya ay binuo upang lutasin ang mga problema sa teoriya ng bilang at punsiyonal na analisis ngunit sa kasalukuyan ay pinupursigi ng may pananaw sa mga aplikasyon sa optimisasyon at agham pangkompyuter. Sa loob ng diperensiyal na heometriya ay mga konsepto ng hiblang bigkis at kalkulo sa mga manipoldo na partikular ang bektor at tensor na kalkulo. Sa loob ng alhebraikong heometriya ang paglalarawan ng mga heometrikong mga obhekto bilang solusyong pangkat ng mga ekwasyon polinomial na nagsasama ng mga konsepto ng kantidad at espasyo gayundin ang pag-aaral ng mga grupong topolohikal na nagsasama ng mga istraktura at espasyo. Ang mga grupong Lie ay ginagamit sa pag-aaral ng espasyo, istraktura at pagbabago. Ang topolohiya sa lahat ng mga ramipikasyon nito ang maaaring ang pinakadakilang malagong sakop ng matematika sa ika-20 siglo. Ito ay kinabibilangan ng topolohiyang punto-pangkat, topolihiyang pangkat-teoretika, alhebraikong topolohiya at diperensiyal na topolohiya. Sa partikular, ang mga instansiya ng modernong topolohiya ang teoriyang metrisabilidad, aksiomatikong teoriya ng pangkat, teoriyang homotopiya, at teoriyang Morse. Ang topolohiya ay kinabibilangan rin ng nalutas na ngayong konhektura ni Poincaré. Ang ibang mga resulta sa heometriya at topolohiya kabilang ang teoremang apat na kulay at konhekturang Kepler ay napatunayan lamang sa tulong ng mga kompyuter.

           
Heometriya Trigonometriya Diperensiyal na heometriya Topolohiya Praktal na heometriya Teoriyang pagsukat

Pagbabago

Ang pagkaunawa at paglalarawan ng pagbabago ang karaniwang tema sa mga natural na agham at ang kalkulo ay binuo bilang isang makapangyarihang kasangkapan upang siyasatin ito. Ang mga punsiyon ay umaahon rito bilang isang sentral na konseptong naglalarawan ng nagbabagong kantidad. Ang mahigpit na pag-aaral ng mga real na bilang at punsiyon ng real na bariabulo ay kilala bilang real na analisis na ang kompleks na analisis ang katumbas na larangan para sa mga kompleks na bilang. Ang punsiyonal na analisis ay pumopokus ng atensiyon sa(karaniwang walang hangganang mga dimensiyon) mga espasyo ng punsiyon. Ang isa sa maraming mga aplikasyon ng punsiyonal na analisis ang mekaniks na kwantum. Maraming mga problema ay natural na tumutungo sa mga ugnayan sa pagitan ng kantidad at ang rate ng pagbabago nito. Ito ay pinag-aaralan bilang mga diperensiyal na ekwasyon. Maraming mga penomena sa kalikasan ay maaaring ilarawan ng mga sistemang dinamiko at ang teoriyang kaguluhan ay gumagawa ng mga tiyak na paraan kung saan ang marami sa mga sistemang ito ay nagpapakita ng hindi prediktable ngunit may pag-aasal pa ring deterministiko.

           
Kalkulo Kalkulong bektor Diperensiyal na ekwasyon Sistemang dinamikal Teoriyang kaguluhan Kompleks na analisis

Nilalapat na matematika

Ang nilalapat na matematika ay humihinggil sa mga matematikal na mga paraan na karaniwang ginagamit sa agham, inhinyerya, ekonomiya, pagkukuwenta, negosyo at industriya. Kaya ang nilalapat na matematika ay isang matematikal na agham na may ginagawang espesyal na kaalaman. Ang terminong nilalapat na matematika ay naglalarawan sa propesyal na espesyalidad kung ang mga matematiko ay nag-aaral ng mga praktikal na problema. Bilang propesyon na nakapokus sa mga praktikal na problema, ang nilalapat na matematika ay pumopokus sa pormulasyon, pag-aaral at paggamit ng mga matematikal na modelo sa agham, inhinyerya, at iba pang mga sakop ng pagsasanay matematikal.

Sa nakaraan, ang mga praktikal na aplikasyon nagtulak ng pagkakabuo ng mga matematikal na teoriya na naging paksa ng pag-aaral ng purong matematika kung saan ang matematika ay binubuo para sa sarili nitong kapakanan. Kaya ang gawain ng nilalapat na matematika ay mahalagang konektado sa pagsasaliksik sa purong matematika.

Estadistika at iba pang mga agham ng pagpapasya

Ang nilalapat na matematika ay may malaking pagsasanib sa disiplina ng estadistika na ang teoriya ay isinapormula sa matematika lalo sa sa teoriya ng probabilidad. Ang mga estadistiko ay lumilikha ng mga data(plural ng datos) na may kahulugan na may may randomang pagsasampol at isina-randomang mga eskperimento. Ang pagdidisenyo ng isang sampol o eksperimentong estadistikal ay tumutukoy sa analisis ng data bago ito gamitin. Kung isasaalang-alang ang mga data mula sa eksperimento at sampol o kung sinisiyasat ang data mula sa mga pag-aaral obserbasyonal, ang mga estadistiko ay umuunawa sa data gamit ang sining ng pagmomodelo at teoriya ng inperensiya na may pagpili ng model at estimasyon(pagtatantiya). Ang mga tinantiyang model at mga kinahinatnang prediksiyon ay dapat subukan sa mga bagong data.

Ang teoriyang estadistikal ay nag-aaral ng mga problema ng desisyon(pagpapasya) gaya ng pagpapaliit ng mga panganib(inaasahang kawalan) ng isang aksiyong estadistikal gaya ng paggamit ng pamamaraan halimbawa sa estimasyon ng parametro, pagsubok ng hipotesis at pagipili ng pinamahusay. Sa mga trasiyonal na sakop na ito ng estadistikang matematikal, ang isang estadistikal na pagpapasyang problema ay isinasa-pormula sa pamamagitan ng pagpapaliit ng obhektibong punsiyon gaya ng inaasahang kawalan o gastos sa ilalim ng mga spesipikong pagtatakda(constraint). Halimbawa, ang pagdidisenyo ng survey ay kalimitang sumasangkot sa pagpapaliit ng gastos ng pagtatantiya ng mean ng populasyon sa isang ibinigay ng lebel ng konpidensiya. Dahil sa paggamit nito ng optimisasyon, ang matematikal na teoriya ng estadistika ay nagsasalo ng pinatutungkulan sa ibang mga agham ng pagpapasya gaya ng pagsasalik ng mga operasyon, teoriyang kontrol at matematikal na ekonomika.

Komputasyonal na matematika

Ang komputasyonal na matematika ay nagmumungkahi at nag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng mga matematikal na prolema na karaniwan ay labis na malaki para sa isang kakayahang pagbibilang ng isang tao. Ang numerikal na analisis ay nag-aaral ng mga paraan para sa mga problem sa analisis gamit ang punsiyonal na analisis at teoriya ng aproksimasyon. Ang numerikal na analisis ay kinabibilangan ng pag-aaral ng aproksimasyon(pagtatantiya) at diskretisasyon na may malawak na espesyal na pagpapatungkol sa pag-iikot ng kamalian. Ang numerikal na analisis at sa mas malawak, ang siyentipikong pagkukwenta ay nag-aaral rin ng mga hindi-analatikong mga paksa ng matematikal na agham lalo na ang algoritmikong matrix at teoriya ng grapo. Ang iba pang mga sakop ng komputasyonal na matematika ay kinabibilangan ng alhebrang pang kompyuter at simbolikong komputasyon.

             
Pisikang matematikal Pluidong dinamika Numerikal na analisis Matematikal na optimisasyon Teoriya ng Probabilidad Estadistika Kriptograpiya
           
Pinansiyang matematikal Teoriya ng laro Biolohiyang matematikal Kemikang matematikal Ekonomikang matematikal Teoriya ng kontrol

Talababa

  1. ibang katawagan: sipnayan[2]
  2. Halimbawa nito ang paggamit ni Platon sa ika-6 na aklat, bahagi 510c ng kanyang Republika, bagamat hindi niya itong direktang sinabi.[4]

Sanggunian

Sipi

  1. 1.0 1.1 "matematika - Diksiyonaryo". diksiyonaryo.ph. Nakuha noong 13 Hunyo 2024.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  2. 2.0 2.1 "sipnayan": Del Rosario, Gonsalo (1969). Salcedo, Juan (pat.). Maugnaying Talasalitaang Pang-agham Ingles-Pilipino (sa wikang Filipino). Maynila, Pilipinas: Lupon sa Agham. p. 39.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  3. Harper, Douglas (28 Marso 2019). "Mathematic (n.)" [Matematika (png.)]. Online Etymology Dictionary (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 7 Marso 2013.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  4. Platon (1969) [375 BKP]. Republic [Republika] (sa wikang Ingles). Sinalin ni Paul Shorey. Harvard University Press. Inarkibo mula sa orihinal noong 24 Pebrero 2024.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  5. Harper, Douglas (22 Disyembre 2018). "Mathematical (adj.)" [Matematikal (pnu.)]. Online Etymology Dictionary (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 26 Nobyembre 2022.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  6. Perisho, Margaret W. (Tagsibol 1965). "The Etymology of Mathematical Terms" [Ang Etimolohiya ng mga Terminong Pangmatematika]. Pi Mu Epsilon Journal (sa wikang Ingles). 4 (2): 62–66. ISSN 0031-952X. JSTOR 24338341. LCCN 58015848. OCLC 1762376.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  7. Boas, Ralph P. (1995). "What Augustine Didn't Say About Mathematicians" [Kung Anong Hindi Sinabi ni San Agustin Patungkol sa mga Matematiko]. In Alexanderson, Gerald L.; Mugler, Dale H. (mga pat.). Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories [Pangangaso sa Leon at Ibang Mga Tunguhing Matematikal: Koleksyon ng Matematika, Berso, at Kuwento] (sa wikang Ingles). Mathematical Association of America. p. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN 94078313. OCLC 633018890.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  8. Gallardo, Susana (7 Agosto 2013). "Matemática o matemáticas ¿Una cuestión de número?" [Matemática o matemáticas Tanong ng bilang?]. NEXciencia (sa wikang Kastila). Pamantasan ng Buenos Aires.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  9. "Maths (Noun)". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles). Oxford University Press.
  10. "Math (Noun³)". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles). Oxford University Press. Inarkibo mula sa orihinal noong 4 Abril 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  11. Almario, Virgilio S. (1997). Tradisyon at wikang Filipino. Sentro ng Wikang Filipino, Sistemang Unibersidad ng Pilipinas. ISBN 978-971-8781-69-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  12. "Early Human Counting Tools" [Mga Sinaunang Kagamitang Pambilang ng mga Tao]. Math Timeline (sa wikang Ingles).
  13. Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture [Nagbibilang ang Aprika: Bilang at Terno sa Kulturang Aprikano.] (sa wikang Ingles). Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  14. Kline 1990, Kabanata 1.
  15. Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  16. Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid [Kasaysayan ng Matematikang Griyego: Mula Tales hanggang Euclides] (sa wikang Ingles). New York: Dover Publications. p. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  17. Mueller, I. (1969). "Euclid's Elements and the Axiomatic Method" [Mga Elemento ni Euclides at ang Kaparaanang Aksomatiko]. The British Journal for the Philosophy of Science (sa wikang Ingles). 20 (4): 289–309. doi:10.1093/bjps/20.4.289. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  18. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  19. Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  20. Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  21. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  22. Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  23. Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
  24. Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History [Teorya ng bilang at ang Kasaysayan nito] (sa wikang Ingles). Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  25. Singh, A. N. (Enero 1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics" [Ukol sa Paggamit ng Serye sa Matematikang Hindu]. Osiris (sa wikang Ingles). 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627. S2CID 144760421.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  26. Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). "Use of series in India" [Paggamit ng serye sa India]. Studies in Indian Mathematics and Astronomy [Pag-aaral sa Matematika at Astronomiya ng India]. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (sa wikang Ingles). Singapore: Springer. pp. 438–461. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID 190176726.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Pinagkunan

Magbasa pa