Distribusyong-t ni Student

Distribusyong-t ni Student
	Probability density function;
	Cumulative distribution function;
Parameters	> 0 degrees of freedom (real)
Support	x ∈ (−∞; +∞)
PDF
CDF	; where 2F1 is the hypergeometric function
Mean	0 for > 1, otherwise undefined
Median	0
Mode	0
Variance	for > 2, ∞ for 1 < ≤ 2, otherwise undefined
Skewness	0 for > 3, otherwise undefined
Ex. kurtosis	for > 4, ∞ for 2 < ≤ 4, otherwise undefined
Entropy	ψ: digamma function,; B: beta function;
MGF	undefined
CF	for > 0 (x): Bessel function;

Sa probabilidad at estadistika, ang distribusyong-t ni Student ay isang pamilya ng mga tuloy tuloy na distribusyong probabilidad na lumilitaw kapag tinatantiya ang inaasahang halaga ng isang populasyong nasa distribusyong normal sa mga sitwasyong ang sukat ng sampol ay maliit at ang pamantayang paglihis ng populasyon ay hidni alam. Ito ay gumagampan ng papel sa bilang ng malawak na ginagamit na analisis na estadistikal kabilang ang pagsubok na t ni Student sa pagtataya ng kahalagahang estadistikal ng pagkakaiba ng dalawang mga mean ng sampol, ang konstruksiyon ng interbal ng konpidensiya para sa pagkakaiba ng dalawalang mga mean ng populasyon at sa linyar na regresyong analisis. Ang distribusyong-t ni Student ay lumilitaw rin sa analisis na Bayesian ng datos mula sa isang normal na pamilya. Ang distribusyong-t ay simetriko at hugis-kampana tulad ng distribusyong normal ngunit mayroon mas mabigat na mga buntot na nangangahulugang ito ay mag kagawiang lumikha ng mga halaga na nahuhulog mula sa mean nito. Ito ay gumagawa ritong magagawa sa pag-unawa ng pag-aasal estadistikal ng ilang mga uri ng mga rasyo ng mga kantidad na randoma kung saan ang bariasyon sa denominador ay pinalaki at maaaring lumikha ng mga halagang outlier kapag ang denominador ng rasyo ay nahuhulog nang malapit sa sero. Ang distribusyong-t ni Student ay isang espesyal na kaso ng nilahat na distribusyong hiperboliko.

Mga sanggunian

↑ Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95

[1] Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95

[1]

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	$\nu$ > 0 degrees of freedom (real)
Support	x ∈ (−∞; +∞)
PDF	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
CDF	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$ where ₂F₁ is the hypergeometric function
Mean	0 for $\nu$ > 1, otherwise undefined
Median	0
Mode	0
Variance	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ for $\nu$ > 2, ∞ for 1 < $\nu$ ≤ 2, otherwise undefined
Skewness	0 for $\nu$ > 3, otherwise undefined
Ex. kurtosis	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ for $\nu$ > 4, ∞ for 2 < $\nu$ ≤ 4, otherwise undefined
Entropy	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\end{matrix}}$ ψ: digamma function, B: beta function
MGF	undefined
CF	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}\|t\|)({\sqrt {\nu }}\|t\|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ for $\nu$ > 0 $K_{\nu }$ (x): Bessel function^[1]