Distribusyong multinomial

Sa teoriya ng probabilidad, ang distribusyong multinomial ay isang paglalahat ng distribusyong binomial. Ang distribusyong binomial ang distribusyong probabilidad ng bilang ng "mga tagumpay" sa n independiyendenteng mga pagsubok Bernoulli na may parehong probabilidad ng tagumpay sa bawat pagsubok. Sa isang distribusyong multinomial, ang analogo ng distribusyong Bernoulli ang distribusyong kategorikal kung saan ang bawat pagsubok ay nagreresulta sa eksaktong isa ng ilang nakapirmeng may hangganang bilang k ng posibleng mga kalalabasan na may mga probabilidad na p₁, ..., p_k (upang ang p_i ≥ 0 for i = 1, ..., k at $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$), at mayroong mga n independiyenteng pagsubok. Kung gayon, hayaang ang mga randomang bariabulong X_i ay magpakita ng bilang ng mga beses ang bilang i ay napagmasdan sa loob ng n mga pagsubok. Ang bektor na X = (X₁, ..., X_k) ay sumusunod sa distribusyong multinomial na may mga paremetrong n atp kung saan ang p = (p₁, ..., p_k).

Multinomial

Parameters	$n>0$ number of trials (integer) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ event probabilities ($\Sigma p_{i}=1$)
Support	$X_{i}\in \{0,\dots ,n\}$ $\Sigma X_{i}=n\!$
PMF	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Mean	$E\{X_{i}\}=np_{i}$
Variance	$\textstyle {\mathrm {Var} }(X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\textstyle {\mathrm {Cov} }(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
MGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
CF	$\left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}$ where $i^{2}=-1$
PGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}z_{i}{\biggr )}^{n}{\text{ for }}(z_{1},\ldots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}$