Baryedad na sudo-Riemanniyana

Sa diperensiyal na heometriya, ang baryedad na sudo-Riemanniyana o tinatawag ding baryedad na sudo-Riemanniyana ay ang heneralisasyon(paglalahat) ng isang manipoldong Riemannian. Ito ay ipinangalan sa matematikong si Bernhard Riemann. Ang mahalagang pagkakaiba ng isang manipoldong Riemannian at isang baryedad na sudo-Riemanniyana ay sa baryedad na sudo-Riemanniyana, ang metrikong tensor ay hindi kinakailangang positibo-depinido. Imbis nito, ang isang mahinang kondisyon ng hindi pagiging dehenerado(nondegeneracy) ay itinatakda.

Introduksiyon

Mga manipoldo

Sa diperensiyal na heometriya, ang isang diperensiyableng manipoldo ay isang espasyo na sa lokal ay katulad ng isang espasyong Euclidean. Sa isang n-dimensiyonal na espasyong Euclidean, ang anumang punto ay maaaring tukuyin ng n na mga real na bilang. Eto ay tinatawag na mga koordinado ng punto.

Ang isang n-dimensiyonal na diperensiyableng manipoldo ay heneralisasyon ng n-dimensiyonal na espasyong Euclidean. Sa isang manipoldo, maaari lamang na posibleng ilarawan ang mga koordinado ng lokal. Eto ay makakamit kung ilalarawan ang mga atlas na mga ilalim na hanay(subsets) ng manipoldo na maaaring imapa sa n-dimensiyonal na espasyong Euclidean.

Mga espasyong tangent at mga metrikong tensor

Ang kaugnay sa bawat puntong p sa isang n-dimensiyonal na diperensiyableng manipoldong $M$ ang espasyong tangent na tintukoy ng $\,T_{p}M$. Eto ay isang n-dimensiyonal na mga espasyong bektor na ang mga elemento ay maaaring maunawaan na mga uring pagkakatumbas ng mga kurba na dumadaan sa puntong p.

Ang isang metrikong tensor ay isang hindi deheneradong, makinis, simetriko, mapang bilinyar na natatakda ng isang real na bilang sa mga pares ng mga bektor na tangent sa bawat espasyong tangent ng manipoldo. Kung itatakda ang metrikong tensor na $g$, maaari itong ihayag bilang:

$g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$.

Ang mapa ay simetriko at bilinyar kaya kung ang $X,Y,Z\in T_{p}M$ ay mga bektor na tangent sa isang puntong p sa manipoldong $M$, ang resulta ay:

• $\,g(X,Y)=g(Y,X)$
• $\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

para sa isang real na bilang na $a$.

Ang $g$ ay isang hindi dehenerado na nangangahulugan walang hindi sero

$X\in T_{p}M$ such that $\,g(X,Y)=0$ for all $Y\in T_{p}M$.

Mga metrikong signatura

Para sa isang n-dimensiyonal na manipoldo, ang metrikong tensor(sa isang nakapirmeng sistemang koordinate) ay mayroong n na mga eigenhalaga(eigenvalue). Kung ang metriko ay hindi dehenerado, wala sa mga eigenhalaga ay sero. Ang metrikong signature ng metriko ay tumutukoy sa bilang ng mga positibo at negatibong eigenhalaga. Ang kantidad na ito ay independiyente sa napiliping sistemang koordinado sa pamamagitan ng batas ng inersiya ni Sylvester at hindi lumiliit sa lokal. Kung ang metriko ay mayroong p na mga positibong eigenhalaga at ang q ay may mga negatibong eigenhalaga, ang metrikong signatura ay (p, q). Para sa mga hindi deheneradong metriko ay For a non-degenerate metric $p+q=n$.

Depinisyon

Ang isang baryedad na sudo-Riemanniyana na $\,(M,g)$ ay isang diperensiyableng manipoldo na mayroong hindi dehenerado, makinis at simetrikong metrikong tensor na $\,g$ na hindi tulad ng metrikong Riemannian, ay hindi kinakailangang positibo-depinido ngunit hindi dapat dehenerado. Ang gayong metriko ay tinatawag na metrikong pseudo-Riemannian at ang mga halaga nito ay maaaring positibo, negatibo o sero.

Ang signatura ng metrikong pseudo-Riemannian metric ay (p, q) kung saan ang parehong p at q ay hindi negatibo.