Metrikong tensor

Sa diperensiyal na heometriya, ang Metrikong tensor(metric tensor) ay isang uri ng punsiyon na inilalarawan sa isang manipoldo(gaya ng surpasiyo ng isang espasyo) na tumatanggap ng input na pares ng mga bektor na tangent na v at w at lumilikha ng isang real na bilang(skalar na g(v,w) sa paraang nilalalahat nito ang marami sa mga pamilyar na katangian ng produktong tuldok ng mga bektor sa espasyong Euclidean. Kung paanong tulad ng isang produktong tuldok, ang mga metrikong tensor ay ginagamit upang ilarawan ang haba at anggulo sa pagitan ng mga bektor na tangent.

Ang isang manipoldong may metrikong tensor ay tinatawag na manipoldong Riemannian. Sa pamamagitan ng integrasyon, ang isang metrikong tensor ay nagbibigay ng kakayahan upang ilarawan at kwentahin ang haba ng mga kurba ng mga manipoldong Riemannian. Ang kurbang nagdudugtong sa dalawang punto na may pinakamaiksing haba ay tinatawag na heodesiko ang haba nito ang distansiya na ang isang pasahero sa isang manipoldo ay kailangan tahakin upang tumungo mula sa isang punto hanggang sa ibang punto. Dahil alam na natin ang nosyon ng haba, ang isang manipoldong Riemannian ay isang metrikong espasyo na ang ibig sabihin ay mayroon itong punsiyong distansiya na d(p,q) na ang mga halaga sa isang pares ng mga puntong p at q ang distansiya mula sa p patungo sa q. Sa kabaligtaran, ang isang metrikong tensor ang deribatibo ng punsiyong distansiya(na kinuha sa nararapat na paraan). Samakatuwid, ang metrikong tensor ay nagbibigay ng inpinitesimal na distansiya sa manipoldo.

Introduksiyon

Sa 1827 akda ni Carl Friedrich Gauss Disquisitiones generales circa superficies curvas ("Pangkalahatang mga imbestigation ng mga kurbadong surpasiyo" o sa Ingles ay "General investigations of curved surfaces"), tinuring ni Gauss ang isang surpasiyo na parametrikal sa mga Koordinadong Cartesian na x, y, at z ng mga punto sa surpasiyo na nakasalalay sa dalawang karagdagang mga bariabulong u at v. Samakatuwid, ang isang parametrikong surpasiyo sa mga termino sa kasalukyang panahon ay isang may halagang bektor na punsiyon na:

${\vec {r}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

na nakasalalay sa inayos na pares ng mga real na mga bariabulo na s (u,v), at inilalarawan sa isang bukas na hanay(open set) na D sa planong uv. Ang isa sa mga pangunahing layunin ng imbestigasyon ni Gauss ay mahinuha ang mga katangian ng surpasiyo na maaaring ilarawan ng isang punsiyon na mananatiling hindi nagbabago kung ang surpasiyo ay sumailalim sa isang pagbabago sa espasyo(gaya ng pagbaluktot ng surpasiyo ng hindi ito hinahatak) o isang pagbabago sa isang partikular na anyong parametriko ng parehong surpasiyong heometrikal.

Ang isa sa mga natural ng gayong inbariantong(hindi nagbabagong) kantidad ang haba ng kurba(arclength) na iginuhit sa kahabaan ng isang surpasiyo. Ang isa pa ang anggulo sa pagitan ng pares ng mga kurbang iginuhit sa kahabaan ng surpasiyo at nagtatagpo sa isang karaniwang punto o ang mga bektor na tangent sa parehong punto ng isang surpasiyo. Ang ikatlong kantidad ang area ng kapirasong surpasiyo. Ang pag-aaral ng mga inbarianto ng isang surpasiyo ay nagtulak kay Gauss na magpakilala ng isang predesesor(pang-unang) modernong nosyon ng metrikong tensor.

Arkonghaba

Kung ang mga bariabulong u at v ay inuunawang nakasalalay sa ikatlong bariabulong t, na tumatanggap ng mga halaga sa interbal na [a,b], kung gayon ang $\scriptstyle {{\vec {r}}(u(t),v(t))}$ ay magbabagtas(trace out) ng isang parametrikong kurba sa M. Ang arkonghaba ng gayong kurba ay ibinibigay ng integral na:

${\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,\,\,dt.\end{aligned}}$

kung saan ang $\left\|\cdot \right\|$ ay kumakatawan sa Euclidianong norma. Dito, ang patakarang kadena ay nilapat at ang mga subskripto ay tumutukoy sa mga parsiyal na deribatibo. Ang integrand ang restriksiyon sa kurba ng ugat ng kwadrado ng kwadratikong diperensiyal.

$ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,$

(1)

kung saan ang:

$E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.$

(2)

Ang kantidad na ds sa (1) ay tinatatawag na linyang elemento, samantalang ang ds² ay tinatawag na pangunahing pundamental na anyo ng M. Sa intuwisyon, ito ay kumakatawan, sa pangunahing bahagi ng kwadrado ng pagkakalis sa puwestong na pinagdaanan ng $\scriptstyle {{\vec {r}}(u,v)}$ kung ang u ay dinagdagan ng mga du unit, at ang v ay dinagdagan ng 'dv unit.

Kung gagamitin ang matriks na notasyon, ang unang pundamental na anyo ay nagiging:

${\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Mga pagbabago ng koordinado

Ipagpalagay nating ang ibang paremetrisasyon ay napili sa pagpapayag na ang u at v na dumipende sa ibang pares ng mga bariabulong u′ atv′. Kung gayon, ang analogo ng (2) para sa mga bagong bariabulo ay:

$E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.$

(2')

Ang patakarang kadena ay nag-uugnay sa E′, F′, at G′ sa E,F, ant G sa pamamagitan ng matriks na ekwasyong:

${\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}$

(3)

kung saan ang superskriptong T ay tumtukoy sa transposo ng matriks. Ang matriks na may koepisyenteng E, F, at G na isinaayos sa ganitong paraan ay natatransporma sa pamamagitan ng matriks na Jacobian ng pagbabago ng koordinado

$J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}.$

Ang isang matriks na nagtatransporma(nagbabago) sa ganitong paraan ay isang uri ng tinatawag na tensor. Ang matriks ay:

${\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}$

na ang batas transpormasyon na (3) ay tinatawag na metrikong tensor ng surpasiyo.

Inbariansa ng arkonghaba sa ilalim ng mga transpormasyon ng koordinado

Si Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900) ay unang nabatid ang kahalagaan ng sistema ng mga koepisyenteng E, F, atG, na natransporma(nabago) sa ganitong paraan sa pagdaan mula sa isang sistema ng mga koordinado sa ibang sistema ng koordinado. Ang resulta ay ang unang pundamental na anyong ay inbarianto(hindi nagbabago) sa ilalim ng mga pagbabago sa sistemang koordinador at ito ay eksklusibong sumusunod mula sa mga katangian ng transpormation ng E, F, and G. Ang katunayan, ayon sa patakarang kadena,

${\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}$

so that

${\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\top }{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\&=(ds')^{2}.\end{aligned}}$

Panloob ng produkto(pagpapadami) ng mga bektor na tangent

Ang isa pang interpretasyon ng metrikong tensor na kinunsidera ni Gauss ay ang pagbibigay nito ng paraan upang kwentahin ang anggulo sa pagitan ng dalawang bektor na tangent sa surpasiyo. Sa kasalukuyang mga termino, ang metrikong tensor ay pumapayag na kwentahin ang produktong tuldok ng mga bektor na tangent sa paraang hindi nakasalalay sa paglalarawang parametriko ng surpasiyo. Ang anumang bektor na tangent sa isang punto ng parametrikong surpasiyong M ay maaaring isulat sa anyong:

$\mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}$

para sa kinauukulang mga real na bilang na p₁ at p₂. Kung ang dalawang bektor na tangent ay ibinigay na:

$\mathbf {a} =a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}$

$\mathbf {b} =b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}$

kung gagamitin gang bilinyaridad ng produktong tuldok,

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+b_{1}a_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G\\&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.$

Eto ay punsiyon ng apat na mga bariabulong a₁, b₁, a₂, atb₂. Gayunpaman, mas mapapakinabangan kung titignan ito bilang punsiyon na tumatanggap ng isang pares ng mga argumentong a = [a₁ a₂] at b = [b₁ b₂] na mga bektor sa planong uv-plane, o

$g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G.$

Ito ay isang simetrikong punsiyon sa a at b, na ang ibig sabihin ay:

$g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ).$

Ito rin ay nasa anyong bilinyar na ang ibig sabihin ay ito ay isang linyar na punsiyonal sa bawat bariabulong a at b ng magkahiwalay, o

$g(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a'} ,\mathbf {b} )=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g(\mathbf {a'} ,\mathbf {b} ),\quad {\text{and}}$

$g(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b'} )=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g(\mathbf {a} ,\mathbf {b'} )$

sa bawat bektor na a, a′, b, at b′ sa planong uv at sa bawat real na bilang na μ at λ.

Euclideanong norma ng bektor na tangent

Ang Euclideanong norma ng bektor na tangent na a ay ang ugat ng kwadrado ng panloob na produkto(inner product) ng bekto sa sarili nito:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$

Anggulo sa pagitan ng dalawang bektor na tangent

Ang anggulong θ sa pagitan ng dalawang bektor na tangent na a at b ay maaaring kwentahin mula sa panloob na produkto nito:

$\cos \theta ={\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \over \left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}$

Samakatuwid:

$\theta =\arccos \left({\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \over \left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}\right)$

Area

Ang surpasiyong area ay isang numerikal na kantidad na dapat ay nakasalalay lamang sa surpasiyo mismo at hindi sa kung paaano it naparametera(parameterized). Kung ang surpasiyong M ay naparametera ng punsiyong${\vec {r}}(u,v)$ sa ibabaw ng sakop na D sa planong uv, ang surpasiyong area ng M ay ibinibigay ng integral na:

$\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv$

kung saan ang × ay tumutukoy sa produktong krus, at ang absolutong halaga ay tumutukoy sa haba ng bektor sa Euclidianong espasyo. Sa pamamagitan ng Identidad ni Lagrange para sa produktong krus, ang integral ay maaaring isulat na:

${\begin{aligned}\iint _{D}&{\sqrt {({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u})({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v})-({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v})^{2}}}\,du\,dv\\&\quad =\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\&\quad =\iint _{D}{\sqrt {\operatorname {det} {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}$

kung saan ang det ang determinante.

Sanggunian

• Gauss, Carl Friedrich (1827), General Investigations of Curved Surfaces, New York: Raven Press (nilathala 1965){{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link) translated by A.M.Hiltebeitel and J.C.Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54 (1): 125–201, doi:10.1007/BF01454201, ISSN 1432-1807{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)