Teorya ng pangkat

Ang teorya ng pangkat, teorya ng hanay o teorya ng tangkas (Ingles: set theory) ay sangay ng matematika na pag-aaral ng mga pangkat o mga kalipunan ng mga obhekto o bagay.

Mga pangunahing konsepto

Ang teoriya ng pangkat ay nagsisimula sa isang pundamental na binaryong ugnayan sa pagitan ng obhektong $o$ at isang pangkat na $A$ . Kung ang $o$ ang kasapi (o elemento) ng $A$ , isulat ang $o \in A$ . Dahil sa ang mga pangkat ay obhekto, ang ugnayang pagiging kasapi ay maaaring iugnay din sa ibang mga pangkat.

Ang hinangong binaryong ugnayan sa pagitan ng dalawang pangkat ang ugnayang pang-ilalim na pangkat na tinatawag ring inklusiyon ng pangkat. Kung ang lahat ng mga kasapi ng pangkat na $A$ ay mga kasapi rin ng pangkat na $B$ kung gayon, ang $A$ ang pang-ilalim na pangkat ng $B$ na tinutukoy ng simbolong $A \subseteq B$ . Halimbawa, ang ${1,2}$ ang pang-ilalim na pangkat ng ${1,2,3}$ , ngunit ang ${1,4}$ ay hindi. Mula sa depinisyon ito, maliwanag na ang isang pangkat ay isang pang-ilalim na pangkat ng sarili nito. Sa mga kasong nais na iwasan ito, ang terminong angkop na pang-ilalim na pangkat ay inilalarawan upang hindi isama ang posibilidad na ito.

Kung paanong ang aritmetika ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga bilang, ang teoriya ng pangkat ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga pangkat:

Ang unyon ng mga pangkat na $A$ at $B$ na tinutukoy ng $A \cup B$ ang pangkat ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng $A$ , o $B$ , o ng parehong ito. Ang unyon ng ${1, 2, 3}$ at ${2, 3, 4}$ ang pangkat na ${1, 2, 3, 4}$ .

Isang diagramang Venn na nagpapakita ng interseksiyon ng dalawang mga pangkat.

Ang interseksiyon ng mga pangkat na $A$ at $B$ na tinutukoy ng $A \cap B$ ang pangkat ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng parehong $A$ at $B$ . Ang interseksiyon ng ${1, 2, 3}$ at ${2, 3, 4}$ ang pangkat na ${2, 3}$ .
Ang diperensiya ng pangkat ng $U$ at $A$ na tinutukoy ng $U \ A$ ang pangkat ng lahat ng mga kasapi ng $U$ na hindi kasapi ng $A$ . Ang diperensiya ng pangkat na ${1,2,3} \ {2,3,4}$ ay ${1}$ , samantalang sa kabaligtaran, ang diperensiya ng pangkat na ${2,3,4} \ {1,2,3}$ at ${4}$ . Kung ang $A$ ang pang-ilalim na pangkat ng $U$ , ang diperensiya ng pangkat na $U \ A$ ay tinatawag na komplemento ng $A$ sa $U$ . Sa kasong ito, kung ang pagpili ng $U$ ay maliwanag sa konteksto, ang notasyong $A c$ ay minsan ginagamit imbis na ang $U \ A$ , partikular na kung ang $U$ ay pangkalahatang pangkat gaya ng sa pag-aaral ng mga diagramang Venn.
Ang simetrikong diperensiya ng mga pangkat na $A$ at $B$ ang pangkat ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng eksaktong isa sa $A$ at $B$ na mga elementong nasa isa sa mga pangkat ngunit wala sa parehong pangkat. Halimbawa, para sa mga pangkat na ${1,2,3}$ at ${2,3,4}$ , ang simetrikong diperensiya ay ${1,4}$ . Ito ang diperensiya ng pangkat ng unyon at interseksiyon na $(A ∪ B) \ (A ∩ B)$ .
Ang produktong Cartesian ng $A$ at $B$ na tinutukoy ng $A \times B$ ang pangkat kung saan ang mga kasapi nito ay lahat ng posibleng mga inayos na pares na $(a, b)$ kung saan ang $a$ ay kasapi ng $A$ at ang $b$ ay kasapi ng $B$ . Ang produktong cartesian ng {1, 2} at {red, white} ay {(1, pula), (1, puti), (2, pula), (2, puti)}.
Ang kapangyarihang pangkat ng pangkat na $A$ ang pangkat kung saan ang mga kasapi ay lahat ng posibleng pang-ilalim na pangkat ng $A$ . Halimbawa, ang kapangyarihang pangkat ng ${1, 2}$ ay ${ {}, {1}, {2}, {1,2} }$ .

Ang ilang mga basiko o pangunahing pangkat na may sentral na kahalagahan sa teoriya ng pangkat ang walang laman na pangkat na isang uniko o walang katulad na pangkat na hindi naglalaman ng mga elemento, ang pangkat ng mga natural na bilang at ang pangkat ng mga real na bilang.

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.