Ang Deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na trigonometriko .
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
(
sin
−
1
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\sin ^{-1}x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
(
cos
−
1
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\cos ^{-1}x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
(
tan
x
)
′
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}
(
tan
−
1
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\tan ^{-1}x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}
(
sec
−
1
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\sec ^{-1}x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
csc
x
)
′
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}
(
csc
−
1
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (\csc ^{-1}x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
(
cot
x
)
′
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}
(
cot
−
1
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\cot ^{-1}x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}
Deribasyon ng mga trigonometrikong punsiyon gamit ang diperensiyang kosiyente
baguhin
Ang mga deribatibo sa taas ay matatamo sa pamamagitan ng pamamaraan ng diperentasyon na "diperensiyang kosiyente"(difference quotient)
Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
Ang deribatibo ng cos x ay matatamo sa pamamagitan ng sumusunod:
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin {x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
sin
(
x
+
h
)
−
sin
x
h
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin {x} \over h}}
Depinisyon ng deribatibo
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
sin
(
h
)
+
cos
(
h
)
sin
(
x
)
−
sin
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)+\cos(h)\sin(x)-\sin(x) \over h}}
identidad ng trigonometriya
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
sin
(
h
)
+
(
cos
(
h
)
−
1
)
sin
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)+(\cos(h)-1)\sin(x) \over h}}
ipaktor
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
sin
(
h
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)\sin(h) \over h}}
+
lim
h
→
0
(
cos
(
h
)
−
1
)
sin
(
x
)
h
{\displaystyle +\lim _{h\to 0}{(\cos(h)-1)\sin(x) \over h}}
ihiwalay ang mga solusyon
=
cos
x
×
1
+
sin
x
×
0
{\displaystyle =\cos {x}\,\!\times 1+\sin {x}\,\!\times 0}
ilapat ang hangganan
=
cos
x
{\displaystyle =\cos {x}\,\!}
resultang deribatibo
Ang deribatibo ng cos x ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos {x}\,\!}
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
cos
(
x
+
h
)
−
cos
x
h
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos {x} \over h}}
Depinisyon ng deribatibo
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
cos
(
h
)
−
sin
(
h
)
sin
(
x
)
−
cos
(
x
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(h)\sin(x)-\cos(x) \over h}}
identidad na trigonometriko
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
(
cos
(
h
)
−
1
)
−
sin
(
x
)
sin
(
h
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h) \over h}}
ipaktor
=
lim
h
→
0
cos
(
x
)
(
cos
(
h
)
−
1
)
h
{\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1) \over h}}
−
lim
h
→
0
sin
(
x
)
sin
(
h
)
h
{\displaystyle -\lim _{h\to 0}{\sin(x)\sin(h) \over h}}
ihiwalay ang mga termino
=
cos
x
×
0
−
sin
x
×
1
{\displaystyle =\cos {x}\,\!\times 0-\sin {x}\,\!\times 1}
ilapat ang hangganan
=
−
sin
x
{\displaystyle =-\sin {x}\,\!}
resultang deribatibo
Ang deribatibo ng sin x at cosine x ay:
Derivatibo ng Sine at Cosine
d
d
x
sin
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)\,\!}
d
d
x
cos
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)\,\!}
Ang deribatibo ng tangent x ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:
tan
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
kosiyente ng sin x at cos x. Kung gagamitinng ang batas kosiyente :
d
d
x
tan
(
x
)
=
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
Kung gagamitin ang indentidad na trigonometrikong:
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
=
1
cos
2
(
x
)
{\displaystyle ={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle =\sec ^{2}(x)\,}
Derivatibo ng Tangent
d
d
x
tan
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)\,\!}
Para mahahango ang deribatibo ng secant, gagamitin uli natin ang batas kosiyente :
sec
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}
d
d
x
sec
(
x
)
=
d
d
x
1
cos
(
x
)
=
cos
(
x
)
d
1
d
x
−
1
d
cos
(
x
)
d
x
cos
(
x
)
2
=
cos
(
x
)
0
−
1
(
−
sin
(
x
)
)
cos
(
x
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec(x)&={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos(x)}}\\&={\frac {\cos(x){\frac {d1}{dx}}-1{\frac {d\cos(x)}{dx}}}{\cos(x)^{2}}}\\&={\frac {\cos(x)0-1(-\sin(x))}{\cos(x)^{2}}}\end{aligned}}}
Ang resulta:
d
d
x
sec
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}}
Kung pasisimplehin:
Derivatibo ng Secant
d
d
x
sec
(
x
)
=
sec
(
x
)
tan
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)\,\!}
Kung gagamitin ang parehong pamamaraan sa cosecant:
csc
(
x
)
=
1
sin
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}
Ang resulta ay:
Derivatibo ng Cosecant
d
d
x
csc
(
x
)
=
−
csc
(
x
)
cot
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)\,\!}
Kung gagamitin ang parehong pamamaraan sa cotangent na ginamit sa tangent, ang resulta ay:
Derivatibo ng Cotangent
d
d
x
cot
(
x
)
=
−
csc
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)\,\!}
Kung ang trigonometrikong punsiyon ay inilalapat sa isa pang punsiyon, o sa ibang salita ay ang isang punsiyon ay nasa loob ng isang trigonometrikong punsiyon, ang deribatibo ay mahahanap gamit ang patakarang kadena .
