Buksan ang pangunahing menu

DepinisyonBaguhin

Simpleng depinisyonBaguhin

Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na c kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa c. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa c. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng c ngunit hindi eksakstong c. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:

 

Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng   ng   habang ang   ay papalapit sa  ". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay   at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang   ay papalapit sa  . Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong  . Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:

  1.7 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999
  2.89 3.24 3.61 3.8025 3.9601 3.996001

Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:

  2.3 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001
  5.29 4.84 4.41 4.2025 4.0401 4.004001

Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang   ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng   ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang   ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng   habang ang   ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang   ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".

 

Pormal na depinisyonBaguhin

Pormal na depinisyon ng hangganan

Itakda ang   bilang isang punsiyon na inilalarawan sa bukas na interbal na   na naglalaman ng  , maliban sa  . Itakda ang   bilang isang bilang. Ating masasabi na:

 

kung sa bawat  , may umiiral na   na sa bawat   ay:

  ang x ay hindi katumbas ng c

meron tayong:

 .

Ang letrang ε(epsilon) ay maaaring maunawaan na "kamalian"(error) ng halaga ng punsiyon(f(x)) sa hangganan(L) at ang δ(delta) ang "distansiya" ng x sa a. Ang ε ay mapapaliit kung ang δ ay mapapaliit. Kung pipili tayo ng ε, makakahanap tayo ng δ na sa bawat ε, merong δ kung saan ang distansiya ng f(x) at L ay mas maliit sa ε:   kung ang distansiya ng x sa c ay mas maliit sa δ:  

Halimbawa, ang hangganan ng punsiyong   habang ang   ay papalapit sa 4 ay 11 o sa notasyong hangganan ay:

 

Upang patunayan na ang hangganan ay talaga ngang 11, kailangan nating patunayan na kahit ano ang halaga ng   na ibinigay, makakahanap tayo ng halaga ng   kung saan ang:

 

sa tuwing ang:

 

Kung itatakda ang  , kailangang patunayan na ang:

 

Ngayon, itumbas ang δ sa ε:

 .

Ang resulta ay  

Pansinin na ang   ay naging katumbas ng  :

 

na siya nating nais patunayan.

KontinuidadBaguhin

Ang isang punsiyon na ƒ ay sinasabing tuloy tuloy(continuous) sa c kung ito ay inilalarawan sa c at ang halaga sa c ay katumbas ng hangganan ng f habang ang x ay papalapit sa c:

 

Kung ang kondisyong 0 < |x − c| ay inalis sa depinisyon ng hangganan, ang resultang depinisyon ay katumbas ng pag-aatas na ang f ay maging tuloy tuloy sa c.

Kung ang punsiyong f ay may halagang real, ang hangganan ng f sa p ay L kung at tanging kung ang parehong kanang hangganan at kaliwang hangganan ng f at p ay umiiral at katumbas ng L.

Ang punsiyong f ay tuloy tuloy sa p kung at tanging kung ang hangganan ng f f(x) sa x habang papalapit sa p ay umiiral at katumbas ng f(p). Kung ang f : MN ay isang punsiyon sa pagitan ng mga metrikong espasyo na M at N, kung gayon, ito ay katumbas na f ay binabago ang bawat sekwensiya(sequence) sa M na nagtatagpo(converges) patungo sa p sa sekwensiya sa N na nagtatagopo patungo sa f(p).

Kung ang N ay isang espasyong bektor na normado(normed vector space), ang operasyong hangganan ay linyar sa pagkaunawang: kung ang hangganang f(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L at ang hangganan ng g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay P, kung gayon ang hangganan ng f(x) + g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L + P. Kung ang a ay skalar sa baseng field, kung gayon ang hangganan ng af(x) habang ang x ay papalapit sa p ay aL.

Kung ang f ay isang punsiyon na may halagang real o kompleks, ang pagkuha ng hangganan at umaayon sa mga operasyong alhebraiko, kung ang mga hangganan sa kanang bahagi ng ekwasyon ay umiiral. Ang tawag dito ay Alhebraikong teorema ng hangganan. Ang mga patakaran ng teoremang ito ay ang sumusunod:

 

Sa bawat kaso sa itaas, kung ang hangganan sa kanan ay hindi umiiral o sa huling kaso, ang hangganan sa parehong numerador at denominador ay sero, gayunpaman ang hangganan sa kaliwa na tinatawag na anyong hindi matukoy(indeterminate form) ay maaari pa ring umiral. Ito ay depende sa mga punsiyong f at g. Ang mga patakarang ito ay balido sa isang gilid na mga hangganan sa kaso ng p = ±∞, gayundin sa inpinadong hangganan(infinite limit) gamit ang sumusunod na mga patakaran:

  • q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
  • q × ∞ = ∞ if q > 0
  • q × ∞ = −∞ if q < 0
  • q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

Walang pangakalahatang patakaran sa kaso ng q / 0; ito ay depende sa kung paano ang 0 ay nilalapitan. Ang mga hindi matukoy na anyo gaya ng 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞—are ay hindi sakop ng mga patakarang ito, ngunit ang mga katumbas na hangganan ay matutukoy gamit ang Patakarang L'Hôpital o ang Teorema ng piga.

DiskontinuidadBaguhin

 
Maaalis na diskontinuidad

Ang diskontinuidad(discontinuity) ay punto kung saan ang isang punsiyon ay hindi tuloy tuloy(continuity). Maraming mga instansiya na ito ay maaaring mangyari. Halimbawa, ang punsiyong   ay hindi tuloy tuloy sa   dahil kung ilalapat ang hangganan sa puntong ito, ang praksiyon ay magreresulta sa   na sa matematika ay hindi matutukoy(undefined). Gayunpaman, ang isang diskontinuidad ay maaalis dahil kung babaguhin ang punsiyon sa puntong ito, maaari nating alisin ang diskontinuidad at gawin ang punsiyon na tuloy tuloy. Upang gawing tuloy tuloy ito, kailangang pasimplehin ang   upang magresulta ng  . Maaari na tayong maglarawan ng bagong punsiyon na   kung saan ang  . Ang punsiyong ito ay hindi pareho sa orihinal na punsiyong   dahil maaaring tukuyin ang   sa  . Ang   ay tuloy tuloy sa   dahil ang  . Gayunpaman, sa tuwing ang  ,  ; ang ating ginawa sa   upang magresulta ng   ay gawin itong matutukoy sa halagang  .

 
Hindi maalis na diskontinuidad

Hindi lahat ng diskontinuidad ay maaaring alisin sa isang punsiyon. Halimbawa ang punsiyon na:

 

Dahil ang   ay hindi umiiral, walang paraan na maaaring muling tukuyin ang   sa isang punto upang ito'y maging tuloy tuloy sa 0. Ang parehong isang gilid na mga hangganan ay umiiral:   at   ngunit ang dalawang ito ay hindi magkatumbas kaya ang talangguhit ay tumatalon mula sa isang gilid ng 0 hanggang sa kabila. Sa kasong ito, ang punsiyon ay may "tumatalong diskontinuidad"(jump discontinuity). Ang tumatalong diskontinuidad ay isang uri ng diskontinuidad na hindi maaalis.

Paghahanap ng hanggananBaguhin

Kung ang isang punsiyon ay naglalarawan ng rasyonal, trigonometriko, logaritmiko at eksponensiyal na mga punsiyon at ang bilang na   ay nasa sakop ng punsiyon, kung gayon ang hangganan sa   ay hanganan sa halaga ng punsiyon sa  . Kung ang   ay wala sa sakop ng punsiyon, kung gayon sa maraming instansiya(gaya ng sa rasyonal na punsiyon), ang sakop ng punsiyon ay kinabibilangan ng lahat ng punto na malapit sa   ngunit hindi mismong sa  . Ang isang halimbawa ay kung nais nating hanapin ang  , kung saan ang sakop ay kinabibilangan ng lahat ng mga bilang maliban sa sero. Sa instansiyang ito, upang mahanap ang   kailangan nating maghanap ng punsiyon na   na katulad ng   maliban sa butas(hole) sa  . Ang mga hangganan ng   at  ay pareho gaya ng makikita sa depinisyon ng hangganan. Sa depinisyon ito, ang hangganan ay depende sa   lamang sa mga punto kung ang   ay malapit sa   ngunit hindi katumbas nito, kaya ang hangganan sa   ay hindi dumidepende sa halaga ng punsiyon sa  . Samakatuwid, kung ang  ,  . At dahil sa ang sakop ng ating bagong punsiyon ay kinabibilangan ng  , maaari na natin ilapat ang hangganan sa  (kung ipagpalagay nating ang punsiyon ay naglalarawan pa rin sa rasyonal, trigonometriko, logaritmiko, at eksponensiyal na mga punsiyon). Ang resulta ay  . Sa ating halimbawa, ang pagkakansela ng   sa numerador at denominador ay nagreresulta sa   na katumbas ng   sa lahat ng mga punto maliban sa sero. Ang hangganan ay  . Sa pangkalahatan, kung kukwentahin ang mga hangganan ng mga rasyonal na punsiyon, ang isang mabuting ideya ay maghanap ng mga karaniwang mga paktor sa numerador at denominador.

Merong intansiya na ang hanggangan ay hindi umiiral:

  • May pagitan: Kung may pagitan(hindi lamang sa isang punto) kung saan ang punsiyon ay hindi matutukoy. Halimbawa, sa punsiyong  , ang   ay hindi umiiral kung ang  . Walang paraan na malalapitan ang gitna ng grapo. Upang ang hangganan ay umiral, ang punto ay dapat malalapitan mula sa kaliwa at kanang gilid.
  • Tumatalon: Kung ang grapo(talangguhit) ay biglang tumatalon sa ibang antas, ang hangganan ay hindi umiiral sa puntong ito ng pagtalon. Halimbawa, kung itatakda ang   na maging pinakamalaking intedyer na  . Kung gayon, kung ang   ay isang intedyer kung ang   ay papalapit sa   mula sa kanan , habang ang   ang   ay papalapit mula  . Sa gayon, ang   ay hindi iiral.
  • Bertikal na asymptote: Kung ang grapo ay nagiging sobrang taas habang papalapit sa sero gaya ng sa punsiyong  
 
Habang ang ƒ ay papalapit sa puntong P, ang ƒ ay nagpapaurong sulong(oscillates) mula ƒ(a) patungo sa ƒ(b) ng walang hanggang bilang at hindi nagtatagpo(converges).
  • Walang hangganang osilasyon(pag urong sulong). Kung ang grapo ay patuloy na tumataas sa taas at babagsak sa ilalim ng linyang horisontal. Sa ibang salita, ang grapo ay nag-aasal ng ganito ng walang hanggan kung ito ay papalapit sa isang halaga ng  . Gayunpaman, kung ang taas ng bawat osilasyon ay papaliit habang ang grapo ay papalapit sa isang partikular na halaga ng  , maaaring ito ay may hangganan. Ang halimbawa nito ay ang punsiyong trigonometriko na  . Habang ang   ay papalapit sa 0, ang punsiyon ay patuloy na nagpapaurong sulong sa pagitan ng   at 1. Ang katunayan, ang   ay nagpapaurong sulong sa walang hanggang bilang sa interbal ng 0 at anumang positibong halaga ng  . Ang punsiyong sine ay katumbas ng sero sa tuwing ang  kung saan ang   ay isang positibong intedyer. Sa pagitan ng bawat dalawang intedyer na  , ang   ay nagpapaurong sulong sa pagitan ng 0 at   o 0 at 1. Samakatuwid, ang   sa bawat  . Sa bawat magkasunod na mga pares ng halagang   at  , ang   ay nagpapaurong sulong mula sa 0 patungo sa   o mula 1 pabalik sa 0. Maaaring mapansin na mayroong walang hanggang bilang ng mga pares na ito at ito'y nasa pagitan ng 0 at  . Merong may hangganang bilang ng mga gayong pares sa pagitan ng positibong halaga ng   at  kaya may walang hangganang bilang sa pagitan ng anumang positibong halaga ng   at 0. Sa ating pangangatwiran, maaari nating mahinuha na habang ang   ay papalapit sa 0 mula sa kanan, ang punsiyong   ay hindi papalapit sa anumang spesipikong halaga. Samakatuwid, ang   ay hindi umiiral.

Mga basikong(basic) patakaran ng hangganan at pagpapatunay nitoBaguhin

Konstanteng patakaran para sa mga hangganan

Kung ang b at c ay mga konstante, ang hangganan ay:  .

Upang mapatunayan na ang  , kailangan nating hanapin ang isang   na sa bawat  ,   sa tuwing  .   at  , kaya   ay idependiyenteng masasapatan sa bawat halaga ng  ; samakatuwid, maaari tayong pumili ng anumang   na ating naisin at ang   na kundisyon ay totoo.

Identidad na patakaran para sa mga hangganan

Kung ang c ay isang konstante, ang hangganan ay:  .

Upang patunayan ang  , kailangan nating humanap ng   na sa bawat  ,   sa tuwing ang  . Kung pipiliin  , ito ay sasapat sa kondisyon.

Skalar na patakarang produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay na ang   sa may hangganan na   at ang   ay konstante. Kung gayon, ang  

Dahil sa binigyan tayo ng  , mayroon isang punsiyon na tawagin nating  , na sa bawat  ,   sa tuwing ang  . Ngayon, kailangan nating humanap ng   na sa lahat ng  ,   sa tuwing ang  .
Una, ipagpalagay natin na ang  .  , kaya ang  . Sa kasong ito, kung itatakda ang  , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganans.
Ngayon kung ipagpalagay nating ang  . Dahil sa ang   ay may hangganan sa  , alam natin sa depinisyon ng hangganan na ang   ay inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng   (maliban siguro kung sa   mismo). Sa partikular, alam nating ang   ay hindi lumalaki sa inpinidad sa loob ng D (maliban na lang siguro sa  , ngunit hindi ito makakaapekto sa hangganan), kaya ang   sa D. Dahil sa ang   ay isang konstanteng punsiyon na   sa D, ang hangganan na   sa pamamagitan ng konstanteng patakaran para sa mga hangganan.
Ngayon, ipagpalagay na ang  .  , kaya ang  . Sa kasong ito, kung itatakda ang  , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganan.

patakaran suma(sum) para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang   and  . Kung gayon, ang

 

Dahil sa binigyan tayo ng   at  , mayroon dapat mga punsiyon na tawagin nating   at  , na sa lahat ng  ,   sa tuwing ang  , at .  sa tuwing ang  .
Kung idagdag ang dalawang inekwalidad ay magreresulta ng  . Sa pamamagitan ng inekwalidad ng tatsulok, mayroon tayong  , kaya mayroon tayong   sa tuwing ang   at  . Itakda natin ang   na maging mas maliit sa   at  . Sa gayon, ang   ito ay sasapat sa depinisyon ng hangganan para sa   na mayroon hangganan na  .

Diperensiyang patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang   at  . Kung gayon,

 

Ilarawan ang  . Sa pamamagitan ng patakaran produkto para sa mga hangganan,  . Sa pamamagitan ng patakaran suma para sa mga hangganan,  .

patakaran produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay nating ang   at  . Kung gayon, ang  

Itakda natin ang   na maging kahit anong positibong bilang. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahiwatig ng pag-iral mga positibong bilang na   na ang

  kapag ang  
  kapag ang  
  when  

Ayon sa ikatlong kondisyon, makikita natin na ang:

  when  

Ipagpalagay nating ang   at gamit ang (1) at (2) makakamit natin ang

 

Kosiyenteng patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang   and   and  . Kung gayon, ang

 

Kung maipapakita nating ang  , kung gayon ay maaari tayong maglarawan ng isang punsiyon na   bilang   at gamitin ang patakaran produkto para sa mga hangganan upang patunayan ang teorema. Kaya kailangan lang nating patunayan na ang  .
Itakda natin ang   na maging anumang positibong bilang. Ang pagpapalagay ay nagpapahiwatig ng pag-iral ng mga positibong mga bilang na   na sa

  kapag ang  
  kapag ang  

Ayon sa ikalawang kondisyon, makikita nating ang

  kapag ang  

na nagpapahiwatig na:

  kapag ang  

Ipagpalagay nating na ang   at gamit ang (1) at (3), makakamit natin ang:

 
Teorema: Teorema ng piga(squeeze)
Ipagpalagay nating ang   ay totoo sa lahat ng   sa isang bukas na interbal na naglalaman ng  , maliban sa   mismo. Ipagpalagay din nating ang  . Kung gayon, ang  .

Mula sa mga asumpsiyon, alam nating may umiiral na   na kung   at   kapag ang  .
Ang mga inekwalidad na ito ay katumbas ng   at   kapag ang  .
Kung gagamitin ang alam natin na relatibong pag-aayos ng  , at  , mayroon tayong
  kapag ang  .
o
  kapag ang  .
Kaya ang
  kapag ang  .

Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidadBaguhin

 
Ang hangganan ng punsiyong ito sa inpinidad ay umiiral.
Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad(infinity)

Ang   ang hangganan ng   kung ang   ay papalapit sa   kung sa bawat bilang na   may umiiral na bilang na   na sa tuwing ang   meron tayong:

 

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 

o

  as  

Ang   ang hangganan ng   kung ang   ay papalapit sa   kung sa bawat bilang na  , may umiiral na bilang   na sa tuwing ang

  meron tayong:

 

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 

o

  as  

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyonBaguhin

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon

Itakda ang   bilang isang punsiyon na inilalarawan sa isang bukas na interbal na   na naglalaman ng  , maliban sa  . Ating masasabi na ang:

 

kung sa bawat  , may umiiral na   kung saan ang lahat ng   ay

 

meron tayong:

 .

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 

o

  as  .

Ang hangganan ay:

 

kung sa bawat  , may umiiral na   kung saan ang lahat ng   ay

 

Meron tayong:

 .


Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 

o

  as  .

Iba pang hanggananBaguhin

Hangganan ng Logaritmiko at eksponensiyal na punsiyonBaguhin

 
 
 
 
 
 

Hangganan ng mga trigonometrikong punsiyonBaguhin

Pangunahing lathalain: Trigonometriya
 
 
 
 
 
 

Espesyal na hanggananBaguhin

 
 
 
 
 

Tignan dinBaguhin