Paghahati

Sa matematika, ang paghahati, pagbabahagi, o dibisyón (mula Kastila división) ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika, Madalas ginagamit ang tandang panghati o tandang pambahagi (division sign, "÷") bilang simbolo ng paghahating matematikal, ngunit hindi ito ginagamit ng lahat, ni inirerekomendang gamitin, bagamat laganap ito sa mga bansang nagsasalita ng Ingles, kasama na ang Pilipinas. Inirerekomenda ng karamihan na gamitin ang solidus ("/") o di kaya'y linyang panghati (fraction bar) para sa operasyong ito.

**$12 \div 4 = 3$** , o kung babasahin, "*labindalawa hinati sa tatlo ay apat*."

Sa pinakamababang pananaw, ang paghahati ay isang proseso ng pagkakalkula sa kung gaano karami ang makakasya o masisiksik na bilang sa isa pang bilang.^[1] Dahil hindi ito nagreresulta palagi ng isang buumbilang, nagkaroon tuloy ng iba't ibang mga paglalarawan at pagpapakahulugan sa prosesong ito.

Ang bilang na hahatiin ay tinatawag na hatiin,^[2] samantalang pahati naman ang tawag sa bilang na maghahati.^[3] Ang resulta ng operasyong ito ay tinatawag namang kosyente o kahatian.^[4]

Di tulad ng ibang mga pangunahing operasyon, hindi palagi sakto ang sagot sa paghahati. Tinatawag ang natira o "sobrang" bahagi na butal. Ang paghahating may butal ay tinatawag na paghahating Euclid.

Kahulugan

Bagamat napagkakasunduan na may hinahati sa operasyon ng paghahati, may dalawang magkaugnay ngunit magkaibang konsepto o pananaw sa kung ano ba talaga ang tamang kahulugan ng operasyon: pagbilang ng mga nakuhang bahagi o quotition, at pagsukat ng laki ng isang bahagi o partition.

Sa quotition halimbawa, hahatiin ang 20 sa malilit na bahagi na may lamang 5 bawat bahagi. Ang kabuuang bilang ng mga bahaging makukuha, 4, ang magiging sagot.

$20\div 5=4$

$\underbrace {5+5+5+5} _{4bahagi}=20$

Kung hindi makukuha ng sakto ang sagot tulad nitong susunod na halimbawa, may kasamang butal o remainder ang sagot.

$20\div 8=2r4$

$(\underbrace {8+8} _{2bahagi})+4=20$

Sa partition halimbawa, hahatiin sa 5 magkakasinlaking bahagi ang 20. Ang laki o dami ng lamang taglay ng isang bahagi, 4, ang sagot.

$20\div 5=4$

$\underbrace {4+4+4+4+4} _{5bahagi}=20$

Kung hindi makukuha ng sakto ang sagot tulad nitong susunod na halimbawa, magkakaroon ng hatimbilang (fraction) ang sagot.

$20\div 8=2.5$

$\underbrace {2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5+2.5} _{8bahagi}=20$

Ang pananaw na partition ay maihahalintulad sa konsepto ng unit factions $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}}\right)$ : hahatiin ang isang buo sa maliliit at magkakasinglaking bahagi depende sa pamahagi o denominator at kukunin lamang ang isang bahagi bilang panakda o numerator.

Sa pormal na kahulugan, isang pandalawahang operasyon ang paghahati kung saan kung paparamihin ang kosyente nang ilang beses depende sa pahati nito. Dahil sa kahulugan nito, itinuturing ang paghahati bilang ang kabaligtarang operasyon ng pagpaparami. Ibig sabihin:

$(a\div b=c)=(c\times b=a)$

Notasyon

Isinusulat ang paghahati sa dalawang paraan: palinya ( $20/5=4$ ) at pahatimbilang ( ${\textstyle {\frac {20}{5}}=4}$ ).^[5] Gayunpaman, mas madalas gamitin ang anyong pahatimbilang sa larangan ng alhebra at agham. Sa labas ng dalawang larangang ito, ginagamit nang madalas ang palinyang ayos. Ito ang madalas ring gamitin ng mga wikang pamprograma dahil sa hindi madalas makita ang tandang panghati sa normal na tipaan (keyboard).

Ginagamit rin ang simbolong $\div$ bilang tandang panghati. Una itong ipinakilala ng matematikong si Johann Rahn noong 1659 sa aklat niyang Teutsche Algebra (Filipino: Alhebrang Aleman).^[6] Laganap ang simbolong ito sa mababang paaralan, samantalang ginagamit ang solidus sa mataas na paaralan. Hinihikayat ng mga pamantayan sa buong mundo na gamitin ang solidus at hindi ito, dahil ginagamit ng ibang mga bansa sa Europa ang $\div$ bilang isang anyo ng tandang pambawas.

Ginagamit rin ng mga wikang pamprograma ang solidus bilang tandang panghati. Ginagamit ng ilang mga software na pangmatematika, tulad ng MATLAB, and baligtad na solidus ("\", backslash sa Ingles) para ibaligtad ang ayos ng paghati: nasa kaliwa ang tagahati imbes na sa kanan.

Maaari ring magamit sa mga hatimbilang ang kahit ano sa mga ayos na nabanggit. Itinuturing rin na mga hatimbilang ang lahat ng mga ekspresyon ng paghahati.

Minsan ding isinusulat ang paghahati gamit ang tutuldok (":"), lalo na sa mga bansang di laganap ang wikang Ingles.^[7]

$a:b$

Unang ipinakilala ito ni Gottfried Leibniz noong 1684 sa kanyang Acta eruditorum (Filipino: Akto ng Pagtuto).^[6] Ayaw ni Leibniz na magkaroon ng hiwalay na mga simbolo para sa mga tagway (ratio) at sa paghahati. Gayunpaman, madalas itong ginagamit sa kasalukuyan bilang simbolo sa tagway.

Madalas ding ginagamit ang mga anyong $b{\overline {)a}}$ o $b)a$ sa paghahati. Nilalagay ang bahagi sa itaas, samantalang nasa loob ang hahatiin at nasa labas naman ang tagahati. Ginagamit ito sa mahabaang paghahati. Bagamat may kasikatan ang notasyong ito, di matiyak ng mga eksperto ang kasaysayan sa likod nito.^[8]

Katangian

Di tulad ng pagdaragdag o ng pagpaparami, ang pagpapalit-puwesto (komutatibo) ng mga bilang sa paghahati ay maaaring magresulta sa magkaibang sagot. Ibig sabihin, hindi palaging magkatumbas ang $a/b$ sa $b/a$ .^[9] Di tulad rin ng ibang mga operasyon, nagbabago (asosyatibo) ang sagot nito depende sa kung ano ang unang pares na hinati.^[10] Halimbawa, ang sagot sa ekspresyong ${\textstyle (20/5)/2}$ ay 2, ngunit kung nilipat ang mga panaklong sa 5 at 2, o ${\textstyle 20/(5/2)}$ , ang sagot ay magiging 8. Ito ay dahil na rin sa epekto ng ayos ng operasyon, o mas kilalang PEMDAS.

Gayunpaman, tradisyonal na kaliwa-muna ang pagkokompyut sa paghahati. Sa madaling salita, unang ikokompyut muna ang kaliwang termino sa mga kaso kung saan sunod-sunod ang paghahating kailangang gawin.^[11]^[12] Halimbawa:

$20/5/2=(20/5)/2=4/2=2$

Samantala, sa katangian naman ng pamamahagi (distributive property) sa pagdaragdag at pagbabawas, ibinabahagi lagi ng kanang termino sa kaliwa ang sarili nito. Halimbawa:

${\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.$

Iba sa pagpaparami,

$a\times (b\pm c)=(a\pm b)\times c$ , kung saan pareho ang lalabas na produkto.

Sa madaling salita, di tulad ng paghahati, kayang mamahagi ang pagpaparami sa kaliwa't kanan nito.

Mga sanggunian

↑ Blake, A. G. (1887). Arithmetic [Aritmetika] (sa wikang Ingles). Dublin, Irlanda: Alexander Thom & Company.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "hatiin". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "pahati". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "kahatian". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Weisstein, Eric W. "Division". MathWorld (sa wikang Ingles).
↑ ^6.0 ^6.1 Cajori, Florian (1929). A History of Mathematical Notations [Ang Kasaysayan ng mga Notasyong Pang-matematika] (sa wikang Ingles). Open Court Pub. Co.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Thomas Sonnabend (2010). Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8 [Matematika para sa mga Guro: Isang Interaktibong Pagpapakita para sa mga Baitang K-8] (sa wikang Ingles). Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner). p. 126. ISBN 978-0-495-56166-8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Smith, David Eugene (1925). History Of Mathematics [Kasaysayan ng Matematika]. Bol. 2. Ginn And Company.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Commutative Operation" [Operasyong Nagpapalit-puwesto] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Associative Operation" [Operasyong Nagbabago] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Order of arithmetic operations; in particular, the 48/2(9+3) question" [Ang ayos ng mga operasyong aritmetika; lalo na sa tanong na 48/2(9+3).] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Marso 5, 2017.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "The Order of Operations" [Ang Ayos ng mga Operasyon] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Hunyo 8, 2017. Nakuha noong Nobyembre 10, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[1] Blake, A. G. (1887). Arithmetic [Aritmetika] (sa wikang Ingles). Dublin, Irlanda: Alexander Thom & Company.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[2] "hatiin". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[3] "pahati". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[4] "kahatian". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 22, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[mwdiv-5] Weisstein, Eric W. "Division". MathWorld (sa wikang Ingles).

[Cajori-6] 6.0 ^6.1 Cajori, Florian (1929). A History of Mathematical Notations [Ang Kasaysayan ng mga Notasyong Pang-matematika] (sa wikang Ingles). Open Court Pub. Co.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[7] Thomas Sonnabend (2010). Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8 [Matematika para sa mga Guro: Isang Interaktibong Pagpapakita para sa mga Baitang K-8] (sa wikang Ingles). Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner). p. 126. ISBN 978-0-495-56166-8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Smith-8] Smith, David Eugene (1925). History Of Mathematics [Kasaysayan ng Matematika]. Bol. 2. Ginn And Company.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[9] "Commutative Operation" [Operasyong Nagpapalit-puwesto] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[10] "Associative Operation" [Operasyong Nagbabago] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Order_of_arithmetic_operations2-11] "Order of arithmetic operations; in particular, the 48/2(9+3) question" [Ang ayos ng mga operasyong aritmetika; lalo na sa tanong na 48/2(9+3).] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Marso 5, 2017.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[The_Order_of_Operations-12] "The Order of Operations" [Ang Ayos ng mga Operasyon] (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong Hunyo 8, 2017. Nakuha noong Nobyembre 10, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]