Integrasyon sa pagpapaliit

Ang Integrasyon sa pagpapaliit(Integration by reduction formula) ay isang paraan para mahanap ang integral ng isang punsiyon. Ang paraang ito ang isa sa pinakaunang paraan ng integrasyon sa buong mundo.

Paraan

Ang pagpapaliit na pormula ay maaaring matamo gamit ang anumang karaniwang paraan ng integrasyon gaya ng Integrasyon sa substitusyon, Integrasyon ng mga bahagi, Trigonometrikong substitusyon, Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon at iba pa. Ang ideya ay ihayag ang integral na kinasasangkutan ng isang kapangyarihan ng isang punsiyon na kumakatawan sa I_n sa mga termino ng integral na kinasasangkutan ng mas mababang kapangyarihan ng punsiyong ito, halimbawa ang example I_n-2. Sa paraaang ito, ang pagpapaliit na pormula ay nagiging ugnayang rekursibo. Sa ibang salita, ang pagpapaliit na pormula ay inihahayag ang ang integral na $I_{n}=\int f(x,n)\,dx$ sa mga termino ng $I_{k}=\int f(x,k)\,dx$ , kung saan ang $k<n$ . Upang kwentahin ang integral, ang n ay papalitan ng halaga nito at gagamitin ang pagpapaliit na pormula ng paulit ulit hanggang maabot ang punto kung saan ang punsiyon na iintegraduhin(integrate) ay maaaring kwentahin na karawniwan kung ito ay kapangyarihan ng 0 o 1. Tapos ihahalili ang resulta ng paurong hanggang sa makwenta ang I_n.

Halimbawa

\int \cos ^{n}(x)\,dx\!

n = 1..30

Magtakda ng pagpapaliit na pormula na maaaring gamitin upang mahanap ang $\int \cos ^{n}(x)\,dx\!$ . Samakatuwid, hanapin ang $\int \cos ^{5}(x)\,dx\!$ .

I_{n}\,=\int \cos ^{n}(x)\,dx\!

=\int \cos ^{n-1}(x)\cos(x)\,dx\!

=\int \cos ^{n-1}(x)\,d(\sin(x))\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ -\int \sin(x)\,d(\cos ^{n-1}(x))\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)\int \sin(x)\cos ^{n-2}(x)\sin(x)\,dx\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\sin ^{2}(x)\,dx\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)(1-\cos ^{2}(x))\,dx\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\,dx\ -(n-1)\int \cos ^{n}(x)\,dx\!

=\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)I_{n-2}\ -(n-1)I_{n}\,

I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +\ (n-1)I_{n-2}\,

nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +(n-1)I_{n-2}\,

I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\,

Ang pagpapaliit na pormula:

\int \cos ^{n}(x)\,dx\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}(x)\sin(x)\ +{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}(x)\,dx\!

Upang mahanap ang $\int \cos ^{5}(x)\,dx\!$ :

n=5\,

:

I_{5}\ ={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}(x)\sin(x)\ +{\tfrac {4}{5}}I_{3}\,

n=3\,

:

I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)\ +{\tfrac {2}{3}}I_{1}\,

\because I_{1}\ =\int \cos(x)\,dx\ =\sin(x)\ +C_{1}\,

\therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)\ +{\tfrac {2}{3}}\sin(x)\ +C_{2}\,

，

C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1}\,

I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}(x)\sin(x)\ +{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\sin(x)+{\frac {2}{3}}\sin(x)\right]+C\,

, where C is a constant.

Mga tabla ng pagpapaliit na pormula

Mga rasyonal na punsiyon

Ang mga sumusunod na integral ^[1] ay naglalaman ng:

Mga paktor ng linyar ng radikal na ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
Mga linyar na paktor ${px+q}\,\!$ at ang linyar na radikal na ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
Mga kwadratikong paktor na $x^{2}+a^{2}\,\!$
Mga kwadratikong paktor na $x^{2}-a^{2}\,\!$ , para sa $x>a\,\!$
Mga kwadratikong paktor $a^{2}-x^{2}\,\!$ , para sa $x<a\,\!$
Hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor(Irreducible quadratic factors) na $ax^{2}+bx+c\,\!$
Mga radikal ng hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor na ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{x^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{2(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(ax+b)^{n}(px+q)^{m}}}\,\!$	$I_{n,m}=-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(n+m-2)I_{m,n-1}\right]\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n,m}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n+m-2)I_{m-1,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {(px+q)^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\mathrm {d} x\,\!$	$\int (px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}\mathrm {d} x={\frac {2(px+q)^{n+1}{\sqrt {ax+b}}}{p(2n+3)}}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}}I_{n-1}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!$	$-cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\mathrm {d} x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\mathrm {d} x\,\!$	$4a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$

tandaan na sa batas ng mga indises(law of indices) ng eksponente:

$I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\mathrm {d} x\,\!$

Mga punsiyong transendental

Ang mga sumusunod na integral ^[2] ay naglalaman ng:

Mga paktor ng sine
Mga paktor ng cosine
Mga paktor ng produkto at kosiyente ng sine at cosine products
Produkto/kosiyente ng eksponesiyal na mga paktor at mga kapangyarihan ng x
Mga produkto ng ekponensiyal at sine/cosine na mga paktor

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\mathrm {d} x\,\!$	$a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\mathrm {d} x\,\!$	$a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$ $J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$ Ang mga pormula ay maaaring pagsamahin upang makamit ang magkahiwalay na ekwasyon sa I_n: $I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!$ $J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-2}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)^{2}}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-1}}}+aI_{n-2}\right)\,\!$ and J_n: $I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-2}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)^{2}}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-1}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!$
$I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\mathrm {d} x\,\!$	$anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\mathrm {d} x\,\!$	$anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$

Integral	Pagpapaliit na pormula
$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\mathrm {d} x\,\!$ $n>0\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\mathrm {d} x\,\!$ $n>0\,\!$ $n\neq 1\,\!$	$I_{n}=-{\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{ax}\sin ^{n}{bx}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int x^{ax}\cos ^{n}{bx}\mathrm {d} x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$

Pagtatamo ng mga pangkalahatang integral

Sa sumusunod, ang mga indises(indices) ay mga positibong mga intedyer na $n,p,q\in \mathbf {N} \,\!$ .

Mga deribasyon

Kung papansin, maraming mga pagpapaliit na pormula ng isang indeks na I_n (o hindi naglalaman ng dalawang indises kung saan ang I_m,n) ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo: $I_{n}=A+BI_{n-p}\,\!$

kung saan ang $I_{n-p}\,\!$ ay kumakatawan sa paglipat(shift) ng mga integral na p ng paurong relatibo sa $I_{n}\,\!$ , at ang A at B ang mga tinipong mga dagdag na mga termino(hindi mga konstante), ang pangkalahatang pormula para sa mga integral na ito ay matatagpuan gamit ang paulit ulit na paghalali ng pagurong(backward subtitution): $I_{n}=A+BI_{n-p}\,\!$

$I_{n-p}=A+BI_{n-2p}\,\!$

$I_{n-2p}=A+BI_{n-3p}\,\!$

etc., so the general recurrence shift is:

$I_{n-qp}=A+BI_{n-(q-1)p}\,\!$

kung saan ang q ay isang multiple ng p. Isagawa ang paurong na paghalili sa indeks na n - pq, at maingat na palawgin ang mga braket:

$I_{n}=A+B\left(A+B\left(A+B\left(\cdots A+qI_{n-pq}\cdots \right)\right)\right)\,\!$

$I_{n}=A+\left(AB+B^{2}\left(A+B\left(\cdots A+qI_{n-pq}\cdots \right)\right)\right)\,\!$

$I_{n}=A+\left(AB+\left(AB^{2}+B^{3}\left(\cdots A+qI_{n-pq}\cdots \right)\right)\right)\,\!$

$I_{n}=A+\left(AB+\left(AB^{2}+\left(\cdots AB^{q-1}+B^{q}I_{n-pq}\cdots \right)\right)\right)\,\!$

$I_{n}=A+AB+AB^{2}+\cdots +AB^{q-1}+B^{q}I_{n-pq}\,\!$

na nagreresulta ng:

I_{n}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{n-pq}\,\!

Ito ay maaaring gamitin upang makamit ang integral na kasing layo pabalik sa mga indises na pq relatibo sa n, ngunit makakatulong kung babaguhin ang mga indises sa q, depende sa piniling p (hindi mahalaga kung ang n o q ang indeks). Ang pagbabago ay isang simpleng paghalili:

Kung ang I₀ ay alam, maaaring itakda ang $I_{n-pq}=I_{0}\,\!$ , tapos ang $n-pq=0\,\!$ upang ang $n=pq\,\!$

$I_{pq}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{0}\,\!$

Kung ang I₀ ay alam, maaaring itakda ang $I_{n-pq}=I_{1}\,\!$ , tapos $n-pq=1\,\!$ upang ang $n=pq+1\,\!$

$I_{pq+1}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{1}\,\!$

Malimit, gaya ng makikita sa mga tabla sa taas ang p = 1 o p = 2, upang ang pagpapaliit na pormula ay maaring itakda gaya ng:

	For $p=1\,\!$	For $p=2\,\!$
$n=pq\,\!$	$I_{q}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{0}\,\!$	$I_{2q}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{0}\,\!$
$n=pq+1\,\!$	$I_{q+1}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{1}\,\!$ (Isa lamang paglipat ng indeks).	$I_{2q+1}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{1}\,\!$

Pagpapatunay

Ang isang indaktibong pagpapatunay ay magpapakita na ang pangkahalatang pormula na $I_{n}=A\sum _{i=0}^{q-1}B^{i}+B^{q}I_{n-pq}\,\!$ upang maging totoo ang $\forall n\in \mathbf {N} \,\!$ . Ang pagpapatunay ay maaaring hatiin sa dalawa sa katulad na paraan sa itaas: