Proyeksiyong Mollweide

Ang proyeksiyong Mollweide (sa Ingles: Mollweide projection) ay isang mapang proyeksiyon na may sinlaking sukat at pseudocylindrical na pangkalahatang ginagamit para sa pandaigdigang mapa ng mundo o sa gabing langit. Pinagpapalit ng proyeksiyon ang ganap na kawastuan ng anggulo at hugis para sa ganap na kawastuan ng proporsyon ng sukat, at sa ganitong paraan, nagagamit ito kung kailan kailangan ang mga katangian, katulad ng mga mapa na sinasalarwan ang mga pamamahaging pandaigdig.

Ang proyeksiyong Mollweide ng mundo.

Ang proyeksiyong Mollweide kasama ang indicatrix ni Tissot ng depormasyon

Unang nailathala ang proyeksiyon ng matematiko at astronomong si Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774 – 1825) ng Leipzig noong 1805. Pinabantog ito ni Jacques Babinet noong 1857 na pinangalang homalographic projection o proyeksiyong homalograpiko. Lumitaw ang baryasyong homograpiko mula sa madalas na paggamit nito sa atlas ng bituin noong ika-labing-siyam na siglo.

Pormulasyon pang-matematika

Nababago ang proyeksyon mula sa latitud at longhitud patungong sa koordinado sa mapa na x at y sa pamamagitan ng mga sumusunod na ekwasyon:

$x=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \left(\theta \right),$

$y=R{\sqrt {2}}\sin \left(\theta \right),\,$

kung saan ang θ ay ang isang anggulong pantulong na binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng

$2\theta +\sin \left(2\theta \right)=\pi \sin \left(\varphi \right)\qquad (1)$

at λ ay ang longhitud, λ₀ ay gitnang meridiyano, φ ay ang latitud, at R ay radius ng globo na iproproyekto. May sukat ang mapa na 4πR², na tumatalima sa ibabaw na sukat ng ginagawang globo. Ang koordinadong x ay may saklaw na [−2R√2, 2R√2], at ang koordinadong y ay may saklaw na [−R√2, R√2].

Maaring malutas ang ekwasyon (1) sa matulin na pagsama-sama (ngunit mabagal sa malapit sa mga polo) gamit ang pag-uulit sa kaparaanang Newton–Raphson:

$\theta _{0}=\varphi ,\,$

$\theta _{n+1}=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin \left(2\theta _{n}\right)-\pi \sin \left(\varphi \right)}{2+2\cos \left(2\theta _{n}\right)}}.\,$

Kung ang φ = ±π/2, kung gayon din ang θ = ±π/2. Sa ganitong kaso, kailangang lagpasan ang pag-ulit; kung hindi, maaring magdulot ng paghahati ng sero.

Mayroon isang saradong-porma na binabaligtad ang pagbabago:

$\varphi =\arcsin \left[{\frac {2\theta +\sin \left(2\theta \right)}{\pi }}\right],\,$

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\,$

kung saan matatagpuan ang θ sa pamamagitan ng ugnayan

$\theta =\arcsin \left({\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}\right).\,$

Pinapayagan ng kabaligtarang pagbabago na mahanap ang latitud at longhitud sa kaukulang koordinatong x at y sa mapa.