Makatwirang bilang

Sa matematika, ang makatwirang bilang o numerong rasyonal (Ingles:rational number) ay isang bilang na maisusulat bilang isang praksiyon (bahagimbilang o hatimbilang). Lahat ng rasyonal na bilang ay tunay na bilang, at maaaring positibong bilang o negatibo. Ang isang bilang na hindi makatwiran o rasyonal ay tinatawag na numerong irasyonal o di-makatwirang bilang. Karamihan sa mga bilang na kinakaharap ng mga tao sa pang-araw-araw na buhay ay rasyonal. Kasama rito ang mga praksiyon at mga intedyer o buumbilang.

Pagsusulat ng mga makakatwirang bilang

Anyong praksiyon

Lahat ng mga makakatwirang bilang ay maisusulat bilang isang praksiyon. Gawing halimbawa ang 1.5. Maaari itong isulat na $1{\frac {1}{2}}$, ${\frac {3}{2}}$, o $3/2$.

Kasama sa marami pang mga halimbawa ng mga praksiyon na makakatwirang bilang ang ${\frac {1}{7}}$, ${\frac {-8}{9}}$, at ${\frac {2}{5}}$.

Nagwawakas na mga desimal

Ang nagwawakas, nagtatapos, tumitigil, o humihintong desimal ay isang desimal na may partikular na bilang ng mga tambilang (digit sa Ingles) sa kanan ng tuldok na desimal. Halimbawa ng mga ito ang 3.2, 4.075, at -300.12002. Lahat ng mga ito ay makatwiran.

Paulit-ulit na mga desimal

Ang isang desimal na paulit-ulit ay isang desimal na kung saan may mga walang katapusang maraming mga tambilang sa kanan ng tuldok na desimal, subalit sumusunod sila sa isang paulit-ulit na pasimundan o padron. Isang halimbawa nito ay ang ${\frac {1}{3}}$. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.3333333333... Ang mga tuldok o elipsis ay nagsasabi na ang bilang na 3 ay umuulit.

Kung minsan, isang pangkat ng mga tambilang ang umuulit. Isang halimbawa ang ${\frac {1}{11}}$. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.09090909... Sa ganitong halimbawa, ang pangkat ng mga tambilang na 09 ang paulit-ulit.

Gayundin, kung minsan ang mga tambilang ay umuulit pagkaraan ng ibang pangkat ng mga tambilang. Isang halimbawa ang ${\frac {1}{6}}$. Isinusulat ito na 0.16666666... Sa ganitong halimbawa, ang tambilang na 6 ang nauulit, kasunod ng tambilang na 1.

Kapag sinubukan ito sa kalkulador, paminsan-minsan itong maaaring gumawa ng isang kamalian sa pagbubuo o kamalian sa pag-ra-round off sa hulihan. Halimbawa, maaaring ipakita ng kalkulador na ang ${\frac {2}{3}}=0.6666667$, kahit na walang 7. Binubuo nito ang 6 sa hulihan magpahanggang 7.

Di-makatwirang mga bilang

Ang mga tambilang pagkaraan ng tuldok na desimal sa loob ng isang irasyonal o di-makatwirang bilang ay hindi umuulit. Halimbawa, ang unang mangilan-ngilang mga tambilang ng π (Pi) ay 3.1415926535... Hindi umuulit ang mga tambilang, at hindi uulit kaylanman, gaano mang kalayo ang marating sa kanan ng tuldok ng desimal.

Aritmetika

• Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

• Kapag nagpaparami ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

• Kapag hinahati ang makakatwirang mga bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang, basta't hindi hinahati sa pamamagitan ng sero.

• Magkatumbas ang dalawang makakatwirang mga bilang na ${\frac {a}{b}}$ at ${\frac {c}{d}}$ kung ang $ad=bc$