Pagdaragdag

Ang pagdaragdag (alt. pagdadagdag), minsan ding tinatawag na adisyón^[1] (mula Kastila adición) ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika. Ang resulta ng operasyon nito ay tinatawag na dagup^[2]^[3] o suma.^[4]

Madalas gamitin ang mga mansanas ng mga aklat-pampaaralan. Ipinakita rito ang ekpresyong **$3 + 2 = 5$** gamit ng prutas na ito.

Maliban sa pagbilang sa mga bagay-bagay, kayang bigyang-kahulugan ng pagdaragdag ang mga bagay na di-tiyak, gamit ang mga basal (abstract) na bilang tulad ng mga buumbilang, tunay na bilang, at komplikadong bilang. Isa itong sangay ng aritmetika.

Maraming katangian ang pagdaragdag. Kayang magpalit-puwesto ang mga panagdag nito nang hindi nagbabago ang sagot (komutatibo) ito at hindi rin nababago ang resulta nito mapaanuman ang maunang idagdag sa isang ekspresyong may tatlo o higit pang mga bilang (asosyatibo). Ang pagdaragdag nang paulit-ulit ng isang bilang sa isa (1) ay tulad rin ng pagbibilang sa mga kamay. Walang mangyayari kung idadagdag ang isang bilang sa sero. Panghuli, sinusunod rin ng pagdaragdag ang mga nahuhulaang tuntunin patungkol sa mga kaugnay na operasyon nito tulad ng pagbabawas at pagpaparami.

Itinuturing na isa sa mga pinakasimpleng gawain sa aritmetika, at maging sa matematika, ang pagdaragdag. Kaya na'ng magdagdag at sagutin ng mga bata at sanggol edad limang buwan, pati ang iba pang mga hayop, ang ${\textstyle 1+1}$ . Isa rin ito sa mga pinakaunang itinuturo sa mababang edukasyon, kasama ng pagbabawas, pagpaparami, at paghahati.

Aktibo ang pananaliksik sa pinakamabibilis at episyenteng paraan sa pagdagdag, lalo na sa mga malalaking bilang.

Mga termino

Tinatawag na panagdag ang mga sangkot na bilang sa pagdaragdag.^[5] Gayunpaman, madalas ginagamit ang mga deribatibo ng pandiwang dagdag para maihatid nang malinaw kung eksaktong panagdag ang pinag-uusapan, tulad halimbawa ng mga salitang idadagdag at dadagdagan.

Ang resulta ng pagdaragdag ay tinatawag na dagup^[2]^[3] o suma.^[4] Galing sa wikang Kastila ang salitang suma, na nanggaling naman sa Latin na salitang summa, nangangahulugang "ang pinakamataas." Ang dagup ay galing naman sa wikang Iloko.^[2]

Ang tandang pandagdag ("+", madalas binabásang "dinagdagan ng" o "plus") ay isang daglat ng salitang Latin na et, nangangahulugang "at."^[6] Una itong lumitaw sa mga gawang pang-matematika noong 1489.^[7]

Notasyon

Isinusulat ang pagdaragdag gamit ng tandang pandagdag (Ingles: plus sign, "+") sa pagitan ng dalawang panagdag.^[8] Halimbawa:

1+1=2

("isa dinagdagan ng isa ay dalawa")

2+2=4

("dalawa dinagdagan ng dalawa ay apat")

1+2=3

("isa dinagdagan ng dalawa ay tatlo")

May mga sitwasyon ding "alam na" na magdadagdag, kahit na walang nilagay na simbolo:

Ang buumbilang na sinundan ng hatimbilang ay tinatawag na halong-bilang.^[9] Halimbawa,

$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5$

Gayunpaman, nakakalito minsan ang notasyong ito, dahil maaari itong ipagkamali sa operasyon ng pagpaparami.^[10]

Maaaring ipakita ng notasyong malaking sigma (capital sigma notation) ang dagup ng isang serye ng mga magkakaugnay na bilang. Pinapaiksi ng notasyong ito ang paulit-ulit na proseso (iterasyon) ng pagdaragdag. Halimbawa,

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Pagpapaliwanag

Maraming gamit ang pagdaragdag. Dahil rito, nagbunga ito ng samu't saring mga pagpapaliwanag at interpretasyon, kahit sa mga simpleng kaso tulad ng pagdaragdag sa mga likas na bilang.

Pagpapangkat

Ang pinakasimpleng pagpapaliwanag sa prosesong ito ay ang pagpapangkat:

Kapag pinagsama ang dalawang magkaibang pangkat sa iisang pangkat o koleksyon, ang bilang ng mga kasapi ng koleksyong iyon ay ang kabuuang bilang (dagup) ng dalawang naunang koleksyon.

Madaling maintindihan ang paliwanag na ito, dahil hindi ito masyadong ikakalito. Magagamit rin ito sa mga matataas na matematika. Gayunpaman, hindi tiyak kung paano nito maipapakita ang pagdaragdag sa mga negatibong bilang at hatimbilang.^[11]

Para sa mga sitwasyong iyon, madalas ginagamit ang mga bagay na madaling hatiin, tulad ng keyk o di kaya'y mga nakahating tali.^[12] Imbes na pagsamahin lamang ang mga nakahating bahagi ng tali, pwede itong pagdikit-dikitin dulo sa dulo, na nagpapakita naman sa isa pang pagpapaliwanag sa pagdaragdag: idinadagdag ang haba ng mga tali, hindi ang mismong mga tali ang idadagdag sa isa't isa.

Pagpapahaba

Ang ikalawang paliwanag naman sa pagdaragdag ay ganito: pinapahaba ang isang panimulang haba ng isa pang nakasaad na haba.

Kapag pinahaba ang isang orihinal na haba ng isang nakasaad na haba, ang resulta nito ay ang pinagsamang haba (dagup) ng orihinal at ng nagpahaba.^[13]

Masasabing isang operasyong binaryo (dalawahan) ang pagdaragdag sa a at b na nagreresulta sa sumang a+b, o sa usapang pang-alhebra, nagdagdag ng b na yunit sa a. Sa ganitong pananaw, masasabi namang isang operasyong unaryo (isahan) ang pagdaragdag sa +b at a.^[14] Mahalaga ang pananaw na ito sa diskurso patungkol sa pagbabawas, dahil ang lahat ng mga pagdaragdag na unaryo ay may katumbas na baligtad na pagbabawas na unaryo, at vice versa.

Sanggunian

Sa Internet

↑ "adisyon". Diksiyonaryo.ph (sa wikang Filipino). Nakuha noong Nobyembre 6, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Constantino, Ernesto (1971). McKaughan, Howard P. (pat.). Ilokano Dictionary [Diksiyunaryong Ilokano] (PDF) (sa wikang Ingles). University of Hawaii Press. ISBN 9780824879020. Inarkibo mula sa orihinal (PDF) noong Mayo 6, 2021. Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^3.0 ^3.1 "dagup". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^4.0 ^4.1 "suma". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "panagdag". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Cajori, Florian (1928). "Origin and meanings of the signs + and -" [Pinanggalingan at kahulugan ng mga panandang + at -]. A History of Mathematical Notations, Vol. 1 [Kasaysayan ng mga Notasyong Matematikal, Unang Tomo] (sa wikang Ingles). The Open Court Company, Publishers.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "plus". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles) (ika-3 (na) edisyon). Oxford University Press. Setyembre 2005.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Comprehensive List of Algebra Symbols" [Komprehensibong Listahan ng mga Simbolong Pang-alhebra]. Math Vault (sa wikang Ingles). Nakuha noong Nobyembre 6, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Devine atbp. pa. 263
↑ Mazur, Joseph (2014). Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers [Mga Simbolong Nagbibigay-linaw: Isang Maiksing Kasaysayan ng Notasyong Matematikal at ang mga Tinatago Nitong Kapangyarihan] (sa wikang Ingles). Princeton University Press. p. 161.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Tingnan ang papel ni Viro (2001) para sa isang halimbawa nito.
↑ Ginamit ng aklat na Adding it Up (2001) ang pusa: "For example, inches can be subdivided into parts, which are hard to tell from the wholes, except that they are shorter; whereas it is painful to cats to divide them into parts, and it seriously changes their nature."(Salin: Halimbawa, mahahati sa bahagi ang pulgada, na mahirap matukoy mula sa mga buo, maliban lang kung maiksi sila; kumbaga, masasaktan ang mga pusa kung hahatiin sila, at seryosong magbabago ugali nila.)
↑ Mosley, F. (2001). Using number lines with 5–8 year olds [Paggamit sa linyang nakanumero para sa mga edad 5-8] (sa wikang Ingles). Nelson Thornes. p. 8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Li, Y.; Lappan, G. (2014). Mathematics curriculum in school education [Kurikulum ng Matematika sa edukasyong pampaaralan] (sa wikang Ingles). Springer. p. 204.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Bibliograpiya

Edukasyon

Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. (1991). Elementary Mathematics for Teachers [Mababang Matematika para sa mga Guro] (sa wikang Ingles) (ika-2e (na) edisyon). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-85947-5.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
National Research Council (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics [Pagdaragdag: Tulong sa mga Bata sa pagtuto sa Matematika] (sa wikang Ingles). National Academy Press. doi:10.17226/9822. ISBN 978-0-309-06995-3. Inarkibo mula sa orihinal noong 2007-06-08. Nakuha noong 2020-12-29.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Pananaliksik sa Matematika

Viro, Oleg (2001). Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià (mga pat.). European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper [Kongresong Europeo ng Matematika; Barcelona, Hulyo 10-14, 2000, Tomo I. Dekwantisasyon ng Tunay na Heometriyang Alhebraiko sa Logaritmikong Papel]. Progress in Mathematics (sa wikang Ingles). Bol. 201. Basel, Suwisa: Birkhäuser. pp. 135–146. arXiv:math/0005163. Bibcode:2000math......5163V. ISBN 978-3-7643-6417-5. Zbl 1024.14026.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[1] "adisyon". Diksiyonaryo.ph (sa wikang Filipino). Nakuha noong Nobyembre 6, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:1-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Constantino, Ernesto (1971). McKaughan, Howard P. (pat.). Ilokano Dictionary [Diksiyunaryong Ilokano] (PDF) (sa wikang Ingles). University of Hawaii Press. ISBN 9780824879020. Inarkibo mula sa orihinal (PDF) noong Mayo 6, 2021. Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:2-3] 3.0 ^3.1 "dagup". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:3-4] 4.0 ^4.1 "suma". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[5] "panagdag". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[6] Cajori, Florian (1928). "Origin and meanings of the signs + and -" [Pinanggalingan at kahulugan ng mga panandang + at -]. A History of Mathematical Notations, Vol. 1 [Kasaysayan ng mga Notasyong Matematikal, Unang Tomo] (sa wikang Ingles). The Open Court Company, Publishers.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[OED-7] "plus". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles) (ika-3 (na) edisyon). Oxford University Press. Setyembre 2005.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:0-8] "Comprehensive List of Algebra Symbols" [Komprehensibong Listahan ng mga Simbolong Pang-alhebra]. Math Vault (sa wikang Ingles). Nakuha noong Nobyembre 6, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[9] Devine atbp. pa. 263

[10] Mazur, Joseph (2014). Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers [Mga Simbolong Nagbibigay-linaw: Isang Maiksing Kasaysayan ng Notasyong Matematikal at ang mga Tinatago Nitong Kapangyarihan] (sa wikang Ingles). Princeton University Press. p. 161.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[11] Tingnan ang papel ni Viro (2001) para sa isang halimbawa nito.

[12] Ginamit ng aklat na Adding it Up (2001) ang pusa: "For example, inches can be subdivided into parts, which are hard to tell from the wholes, except that they are shorter; whereas it is painful to cats to divide them into parts, and it seriously changes their nature."(Salin: Halimbawa, mahahati sa bahagi ang pulgada, na mahirap matukoy mula sa mga buo, maliban lang kung maiksi sila; kumbaga, masasaktan ang mga pusa kung hahatiin sila, at seryosong magbabago ugali nila.)

[13] Mosley, F. (2001). Using number lines with 5–8 year olds [Paggamit sa linyang nakanumero para sa mga edad 5-8] (sa wikang Ingles). Nelson Thornes. p. 8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[14] Li, Y.; Lappan, G. (2014). Mathematics curriculum in school education [Kurikulum ng Matematika sa edukasyong pampaaralan] (sa wikang Ingles). Springer. p. 204.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]