Makapangyarihang serye

Huwag ikalito sa Kapangyarihang pangkat.

Sa sangang kalkulong integral ng matematika, ang makapangyarihang serye o power series ay tumutukoy sa ekspresyong:

Ang eksponensiyal na punsiyon (sa bughaw) at ang suma ng unang n+1 mga termino ng seryeng Maclaurin nito (sa pula)

$\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots$

kung saan:

ang $a_{j}$ ay isang tunay o hugnayan na bilang, maliban na lamang kung binigyan ng diin na ang $x$ ay isang tunay na bilang.

Hindi nagdudulot ng kaguluhan ang karugtong ng mga halagang hugnayan dahil ang teorya ng mga hangganan para sa mga seryeng hugnayan, sa katunayan, ay kaparehong-kapareho ng serye para sa mga tunay na bilang. Kaya, kung ang isang baryante ay:

$s_{n}=u_{n}+iv_{n}\,,$

$s=u+iv\,$

at ayon sa kahulugan, ang

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=s$

ay katumbas ng:

$\lim _{n\to \infty }u_{n}=u$

at

$\lim _{n\to \infty }v_{n}=v.$

Ang mga seryeng kapangyarihan ay lumalabas sa numerikal na analisis gayundin sa kombinatroniks (sa ilalim ng lumilikhang punsiyon at elektrikal na inhiryeriya kung saan ito ay tinatawag na Z-transporma). Ang pamilyar na notasyong desimal para sa mga real na bilang ay maaari ring makita na isang halimbawa ng seryeng kapangyarihan sa buumbilang na koepisyente ngunit ang argumentong x ay nakapirme sa 1⁄10. Sa teoriya ng bilang, ang konsepto ng bilang na p-adic, ay malapit na kaugnay ng seryeng kapangyarihan.

Panimula

Ang simbolong $\Sigma$, "sigma", ay kumakatawan sa malaking titik na "S" ng alpabetong Griyego at nangangahulugan ng kabuuan ng isang binigay na karamihan. Inihihiwalay ng pariralang notasyong sigma ang kabuuang hanay na mayroong sigma (kagaya ng nasa may pinakataas) mula sa pinalawak na katumbas nito pagkatapos ng equal sign. Ang terminong $a_{0}$ na hindi kasama ang $x$ ay tinatawag na "terminong palagian" (constant term).

Teoryang pormal

Ang dalawang makapangyarihang serye ay masasabing magkatumbas kung ang kani-kanilang koepisyent ay magkatulad din. Iyon ay:

$\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

at nangangahulugan na:

$a_{j}=b_{j}\,$

at

$j=0,1,2,\cdots \,$

Ang makapangyarihang serye na pinaramihan ng isang konstant na $k$, batay sa patakaran, ay:

$k\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }ka_{j}x^{j}$

At ang dalawang makapangyarihang serye na pinagsama at mayroon nang mga konstant, ay:

$\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}+\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }\left(a_{j}+b_{j}\right)x^{j}.$

Ang bunga ng pagsasama na ito ay maaari ring pagsamahin gaya ng mga polinomyal:

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots )(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+\cdots )$

$=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+\cdots$

O, sa notasyong sigma:

$\left(\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}\right)\left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\left(\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}x^{j}\right)$

Kung saan:

$c_{j}=a_{0}b_{j}+a_{1}b_{j-1}+a_{2}b_{j-2}+\cdots +a_{j}b_{0}.$

Ito ang tinatawag na produktong Cauchy na ipinangalan mula sa matematikong Pranses na si Augustin Louis-Cauchy. Kung ito ang gagamitin, ang kahit anong nawawalang mga koepisyent sa makapangyarihang serye ay kinukunsiderang 0.

Kung ang terminong konstant na $b_{0}$ ng denominator ay hindi katumbas sa 0, ang kusyenteng $C=A/B$ ay maaaring gamitan ng mahabang paghahati, o, ang katumbas nito na $CB=A$ at pagsama sa mga koepisyent.

Ang natamong serye, o ang pormal na deribatibo, ay pinakahuluganan ng:

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots )'=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots$

Sa notasyong sigma, ito ay maaaring isulat bilang:

$\left(\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}x^{j}\right)'=\sum _{j=0}^{\infty }ja_{j}x^{j-1}.$

Kung saan ang terminong may $j=0$ ay ang suma sa kanan na 0. Ang mas matataas na deribatibo ay maaaring makuha sa pagpapaulit-ulit ng kaparehong paraan. Ang makapangyarihang serye ay mayroong pormal na deribatibo sa lahat ng uri, kahit na ang punsiyon ay kinakatawanan ng mga seryeng makukuha lamang kung ang $x$ ay katumbas sa 0, kaya, hindi ito differentiable sa lahat ng pagkakataon.

Pagtatagpo ng mga serye

Hindi nangangailangan ang teoryang pormal ng isang makapangyarihang serye na mayroong kahulugan na katumbas sa isang bilang sa kahit anong halaga ng $x$. Ngunit ang serye ng pagkanais sa isang equasyong differential ay hindi nagbibigay ng numerong sagot sa pangkalahatan, kung kapag

Serye ni Taylor

Ang Makapangyarihang serye sa isang bariabulo ang inpinitong serye (infinite series) na may anyong:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

kung saan ang a_n ay kumakatawan sa koepisyente ng ika-n termino, ang c ay isang konstante, ang x ay nagiiba sa palibot ng c (sa dahilang ito, ang serye ay minsang sinasalita na nakasentro sa c). Ang seryeng ito ay lumilitaw bilang Serye ni Taylor ng isang kilalang punsiyon.

Serye ni Maclaurin

Sa maraming sitwasyon, ang c ay katumbas ng sero, halimbawa kung ipagpalagay na serye ni Maclaurin. Sa mga gayong kaso, ang seryeng kapangyarihan ay kumukuha ng simpleng anyo na:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .$