Teorya ng grupo

Ang Teoriya ng grupo (Ingles: group theory) ay sangay ng matematika na nag-aaral ng mga alhebraikong istraktura na kilala bilang grupo. Ang iba pang kilalang mga istraktura ay kinabibilangan ng mga singsing, hanay at mga espasyong bektor na maaaring makita bilang mga pangkat na karagdagang mga operasyon at mga aksioma. Ang mga grupo ay nakikita ng paulit ulit sa buong matematika. Ang mga linyar na alhebraikong grupo at grupong Lie ang dalawang mga sangay ng teoriyang grupo na nakaranas ng labis na mga pagsulong at naging mga paksang sakop sa kanilang mga sarili. Ang iba't ibang mga pisikal na sistema gaya ng mga kristal at atomong hydroheno ay maaaring imodelo ng mga symmetriyang grupo. Kaya ang teoriyang grupo at ang malapit na kaugnay na teoriya ng representasyon ay maraming mga aplikasyon sa pisika at kemika. Ang isa sa pinakamahalagang matematikal na nagawa sa ika-20 siglo^[1] ang pagtutulungang pagsisikap na humaba ng higit sa 10,000 mga pahinang journal at karamihan ay inilimbag sa pagitan ng 1960 at 1980 na humantong sa isang kompletong klasipikasyon ng may hangganang mga simpleng grupo.

Pangunahing mga klase ng mga grupo

Ang saklaw ng mga grupo na isinasaalang alan ay unti unting lumawak mula sa may hangganan(finite) na mga permutasyong grupo at mga espesyal na halimbawa ng grupong matrix hanggang sa abstraktong mga grupo na maaaring matukoy sa pamamagitan ng presentasyon ng mga henerador at mga relasyon.

Mga grupong permutasyon

Ang unang kalse ng mga grupo na sumailalim sa isang sistematikong pag-aaral ang mga grupong permutasyon. Sa ibinigay na anumang hanay na X at isang koleksiyon na G na biheksiyon ng X sa sarili nito(na kilala bilang mga permutasyon) na sarado sa ilalim ng mga komposisyon at mga inberso, ang G ay isang grupo na umaasal sa X. Kung ang X ay binubuo ng mga elementong n at ang G ay binubuo ng lahat ng mga permutasyon, ang G ang symmetrikong grupo na S_n. Sa pangkalahatan, ang anumang grupong permutasyon na G ay isang subgrupo ng symmetrikong grupo ng X. Ang simulang konstruksiyon sanhi ni Cayley ay nagpakita ng anumang grupo bilang isang grupong permutasyon, na umaasal sa sarili nito (X = G) sa pamamagitan ng kaliwang regular na representasyon.

Sa maraming mga kaso, ang istraktura ng isang grupong permutasyon ay maaaring pag-araln gamit ang mga katangian ng aksiyon nito sa tumutugong hanay. Halimbawa, sa paraang ito mapapatunayan na sa n ≥ 5, ang humahaliling grupong A_n ay simple, i.e. ito ay hindi tumatanggap ng anumang angkop na normal na subgrupo. Ang katotohanang ito ay gumagampan ng mahalagang papael sa imposibilidad ng paglutas ng isang pangkalahatang alhebraikong ekwasyon ng digring n ≥ 5 sa mga radikal.

Mga grupong matrix

Ang sumunod na mahalagang klase ng mga grupo ay ibinigay ng mga grupong matrix o mga linyar na grupo. Dito, ang G ay isang hanay na binubuo ng mababaliktad na mga matrix ng ibinigay na order na n sa ibabaw ng isang field na K na sarado sa ilalim ng mga produkto at inberso. Ang gayong grupo ay umaasal sa n-dimensiyonal na espasyong bektor na Kⁿ sa pamamagitan ng mga linyar na transpormasyon. Ang aksiyong ito ay gumagawa sa mga grupong matrix na konseptuwal na katulad ng mga grupong permutasyon at ang heometriya ng aksiyon ay maaaring gamitin upang itatag ang mga katangian ng grupong G.

Mga grupong transpormasyon

Ang mga grupong permutasyon at mga grupong matrix ang mga espesyal na kaso ng mga grupong transpormasyon: ang mga grupo na umaasal sa isang espasyong X na nag-iingat sa likas na istraktura nito. Sa kaso ng mga grupong permutasyon, ang X ay isang hanay; para sa mga grupong matrix, ang X ay isang espasyong bektor. Ang konsepto ng isang grupong transpormasyon ay malapit na kaugnay ng konsetp ng isang symmetriyang grupo: ang mga grupong transpormasyon ay kalimitang binubuo ng lahat ng mga transpormasyon na nag-iingat ng isang istraktura.

Ang teoriya ng mga grupong transpormasyon ay bumubuo ng isang tulay na nagdudugton sa teoriya ng grupo sa diperensiyal na heometriya. Ang mahabang linya ng pagsasaliksik na nagsimula kay Sophus Lie at Felix Kleim ay tumuturing sa mga aksiyong grupo sa mga manipoldo sa pamamagitan ng mga homeomorpismo o mga diffeomorpismo. Ang mga mismong grupo ay maaaring diskreto o tuloy tuloy.

Mga abstraktong grupo

Ang karamihan sa mga grupong isinaalang alan sa unang yugto ng pagkakabuo ng teoriya ng grupo ay mga "konkreto na natatanto sa pamamagitan ng mga bilang, permutasyon o mga matrix. Hanggang sa huli ng ika-siyam na siglo na ang ideya ng abstraktong grupo bilang isang hanay na may mga operasyon na sumasapat sa isang sistema ng mga aksioma ay naitatag. Ang karaniwang paraan ng pagtukoy ng isang abtraktong grupo ay sa pamamagitan ng presentasyon sa pamamagitan ng mga henerador at relasyon,

G=\langle S|R\rangle .

Ang isang mahalagang pinagmumulan ng mga abstraktong grupo ay ibinibigay sa pamamamagitan ng paglikha ng isang paktor na grupo o kosiyenteng grupo, G/H, ng isang grupong G na isang normal na subgrupong H. Ang mga klaseng grupo ng alhebraikong bilang na field ay kasama sa mga pinakaunang halimbaw ng mga paktor ng grupo na labis na interesante sa teoriya ng bilang. Kung ang isang grupong G ay isang grupong permutasyon sa isang hanay na X, ang paktor na grupong G/H ay hindi na umaasal sa X; ngunit ang ideya ng isang abstraktong grupo ay pumapayag na hindi mag-aalala sa pagkakaibang ito.

Ang pagbabago ng perspektibo mula sa konkreto tungo sa mga abstraktong grupo ay gumagawang natural na isaalang-alang ang mga katangian ng mga grupo na independiyente sa isang partikular na realisasyon, o sa modernong wika ay inbarianto sa ilalim na isomorpismo gayunin bilang mga klase ng grupo na may ibinigay ng gayong katangian: mga may hangganang grupo, mga periodikong grupo, mga simpleng grupo, mga malulutas na grupo at iba. Kesa sa paggalugad ng mga katangian ng isang indibidwal na grupo, ang isa ay naghahangad na itatag ang mga resultang lumalapat sa buong klase ng mga grupo. Ang bagong paradigm ay mahalaga sa pagkakabuo ng matematika. Ito ay paunang nagmungkahi ng pagkakalikha ng abstraktong alhebra sa mga akda nina David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether at mga matemtika ng kanilang eskwela.

Mga topolohikal at alhebraikong grupo

Ang mahalagang paglilinaw ng konsepto ng isang grupo ay nangyayari kung ang G ay pinagkalooban ng karagdagang istraktura, na ang pinakilala ng isang topolohikal na espasyo, diperensiyableng manipoldo o alhebraikong bariedad. Kung ang mga operasyon ng grupong m(multiplikasyon) at i(inbersiyon),

m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},

ay bumabagay sa istrakturang ito, i.e. tuloy tuloy, makinis o regular (sa kahulugan ng alhebraikong heometriya) na mga mapa, kung gayon, ang G ay nagiging isang topolohikal na grupo, isang grupong Lie o isang grupong alhebraiko.^[2]

Ang presensiya ng ekstrang istraktura ay nag-uugnay sa mga uring ito ng grupo sa ibang mga matematikal na disiplina at nangangahulugang ang maraming mga kasangkapan ay magagamit sa kanilang pag-aaral. Ang mga topolohikal na grupo ay bumubuo ng isang natural na sakop(domain) para sa abstraktong harmonikong analisis samantalang ang mga grupong Lie(kalimitang natatanto bilang mga grupong transpormasyon) ang mga haligi ng diperensiyal na heometriya at unitaryong teoriya ng representasyon. Ang ilang mga tanong ng klasipikasyon na hindi malulutas sa pangkalahatan ay maaaring pakitunguhan at lutasin para sa espesyal na mga pang-ilalim na klase ng mga grupo. Kaya ang siksik na magkadugtong na mga grupong Lie ay kompletong naiuri. May mabungang ugnayan sa pagitan ng mga walang hangganang abstraktong grupo at mga grupong topolohikal: sa tuwing ang ang isang grupong Γ ay matatanto bilang isang lattice sa isang topolohikal na grupong G, ang heometriya at analisis na nauukol sa G ay nagbubunga ng mahalang mga resulta tungkol sa Γ. Ang isang komparatibong kamakailang agos sa teoriya ng may hangganang mga grupo ay gumagamit ng mga koneksiyon nito sa mga siksik na topolohikal na grupo (grupong profinite): halimbawa, ang isang p-adic analitikong grupong G ay may pamilya ng mga kosiyente na may hangganan(finite) na p-mga grupo ng iba't ibang mga order at ang mga katangian ng G ay naisasalin sa mga katangian ng may hangganang mga kosiyente nito.

Sanggunian

↑ * Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006.
↑ This process of imposing extra structure has been formalized through the notion of a group object in a suitable category. Thus Lie groups are group objects in the category of differentiable manifolds and affine algebraic groups are group objects in the category of affine algebraic varieties.

Tingnan din

Teoriya ng hanay

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[1] * Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006.

[2] This process of imposing extra structure has been formalized through the notion of a group object in a suitable category. Thus Lie groups are group objects in the category of differentiable manifolds and affine algebraic groups are group objects in the category of affine algebraic varieties.

[1]

[2]