Mga ekwasyong field ni Einstein

Ang Mga ekwasyong field ni Einstein(sa Ingles ay Einstein field equations (EFE) o Einstein's equations) ay isang hanay ng sampung mga ekwasyon ni Albert Einstein ng Teoriyang pangkalahatang relatibidad na naglalarawan sa mga pundamental na interaksiyon ng grabitasyon bilang resulta ng kurbada(pagkakabaluktot) ng espasyo-panahon dulot ng enerhiya at materya(matter). Ang mga ekwasyong ito ay unang inilathala ni Einstein noong 1915 bilang isang ekwasyong tensor. Ang mga ekwasyong field ni Einstein ay nagtutumbas sa kurabada(curvature) ng espasyo-panahon(na inilalarawan ng tensor ni Einstein) sa enerhiya at momentum sa espasyo-panahon na ito(na inilalarawan ng tensor ng stress-enerhiya).

Kung paanong mga mga elektromagnetikong field ay maaaring matukoy gamit ang mga karga(charges) at kuryente(current) sa pamamagitan ng mga ekwasyon ni Maxwell, ang mga ekwasyong field ni Einstein ay maaaring gamitin upang tukuyin ang heometriyang espasyo-panahon na dulot ng presensiya ng masa-enerhiya at linyar na momentum, o sa ibang salita ay upang tukuyin ang metrikong tensor ng espasyo-panahon sa isang kaayusan ng stress-enerhiya sa espasyo-panahon. Ang ugnayan sa pagitan ng metrikong tensor at ang tensor ni Einstein ay nagbibigay sa mga ekwasyong field ni Einstein ng kakayahang maisulat sa isang hanay ng hindi linyar na parsiyal diperensiyal na mga ekwasyon kung gagamitin sa paraang ito. Ang mga solusyon ng mga ekwasyong field ni Einstein ay mga bahagi ng metrikong tensor. Ang mga inersiyal na trahektora(trajectories) ng mga partikulo at radiasyon(heodesiko) sa nagreresultang heometriya ay kinukwenta gamit ang ekwasyong heodesiko(geodesic).

Ang mga ekwasyong field ni Einstein ay maaaring isulat sa anyong:

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

kung saan ang $R_{\mu \nu }\,$ ang kurbadang Ricci tensor(Ricci curvature tensor), ang $R\,$ ang skalar na kurbada(scalar curvature), ang $g_{\mu \nu }\,$ ang metrikong tensor(metric tensor), ang $\Lambda \,$ ang konstanteng kosmolohikal(cosmological constant), ang $G\,$ ang konstanteng grabitasyonal ni Newton, ang $c\,$ ang bilis ng liwanag, at ang $T_{\mu \nu }\,$ ang tensor ng stress-enerhiya(stress-energy tensor). Ang EFE ay isang ekwasyong tensor na nag-uugnay ng isang hanay ng mga simetrikong 4 x 4 tensor. Ang bawat tensor ay may 10 mga bahaging independiyente. Ang apat na mga identitad na Bianchi ay nagpapaliit ng bilang ng mga independiyenteng ekwasyon mula 10 hanggang 6 na nag-iiwan ng isang metrikong may apat pagsasaayos ng gauge na mga digri ng kalayaan na tumutugon sa kalayaan ng pagpili ng isang sistemang koordinado. Bagaman ang EFE ay simulang pinormula sa konteksto ng isang teoriyang apat na dimensiyonal, ang ilang mga teorista ay sumuri ng mga resulta nito sa mga dimensiyong n. Ang mga ekwasyon sa mga kontekstong labas ng pangkalahatang relatibidad ay tinutukoy pa rin bilang mga ekwasyong field ni Eisteain. Ang mga ekwasyong vacuum field(na nakakamit kapag ang T ay magkatulad na sero) ay naglalarawan ng mga manipoldong Einstein. Sa kabila ng simpleng hitsura ng mga ekwasyon, ang mga ito ay sa katotohanan medyo masalimuot. Sa ibinigay na distribusyon ng materya at enerhiya sa anyo ng isang tensor na stress-enerhiya, ang EFE ay nauunawaan mga ekwasyon para sa metrikong tensor na $g_{\mu \nu }$ dahil ang parehong tensor na Ricci at kurbadang skalar ay nakasalalay sa metriko sa isang masalimuot na paraang hindi linyar. Sa katunayan, kapag buong isinulat, ang mga EFE ay isang sistema ng 10 magkakaugnay na hindi linyar na mga hiperboliko-eliptikong ekwasyong parsiyal diperensiyal. Maaaring isulat ng isa ang EFE sa isang mas siksik na anyo sa pamamagitan ng paglalarawan ng tensor na Einstein na:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },$

na isang simetrikong ikalawang ranggong tensor na isang punsiyon ng metriko. Ang EFE ay maaari namang isulat bilang:

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$

Gamit ang mga heometrisadong unit kung saan ang G = c = 1, ito ay maaaring muling isulat bilang:

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda =8\pi T_{\mu \nu }\,.$

Ang ekspresyon sa kaliwa ay kumakatawan sa kurbada ng espasyo-panahon gaya ng tinutukoy ng metriko. Ang ekspresyon sa kanan ay kumakatawan sa nilalamang materya/enerhiya ng espasyo-panahon. Ang EFE ay maaari namang pakahulugan bilang isang hanay ng mga ekwasyon na nagdidikta kung paaanong ang materya/enerhiya ay tumutukoy sa kurbada ng espasyo-panahon. Ang mga ekwasyong ito kasama ng ekwasyong heodesiko na nagdidikta kung paaanong ang malayang nahuhulog na materya ay gumagalaw sa espasyo-panahon ay bumubuo ng kaibuturan ng pangkalahatang relatibidad.

Konbensiyong tanda

Ang nasa itaas na anyo ng EFE ang pamantayang naitatatag nina Misner, Thorne, at Wheeler. Sinuri ng mga may akda ang lahat ng mga konbensiyon na umiiral at inuri ayon sa sumusunod na tatlong mga tanda(signs) (S1, S2, S3):

${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{a\beta \gamma }&=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\end{aligned}}$

Ang ikatlong tanda sa itaas ay nauugnay sa pagpipiliang konbensiyon para sa tensor na Ricci:

$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{a}}_{\mu a\nu }$

Sa mga depinsiyong ito, inuri nina Misner, Thorne at Wheeler ang kanilang mga sarili bilang $(+++)\,$, samantalang si Weinberg (1972) ay $(+--)\,$, sina Peebles (1980) at Efstathiou (1990) ay $(-++)\,$ samantalang sina Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) ay $(-+-)\,$.

Ang mga may akdang kinabibilangan ni Einstein ay gumamit ng isang ibang tanda sa kanilang paglalarawan para sa tensor na Ricci na nagreresulta sa tanda ng konstante sa kanang panig na negatibo:

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$

Ang tanda ng isang napakaliit na terminong kosmolohikal ay magbabago sa parehong mga bersiyong ito kung ang +−−− metrikong konbensiyong tanda ay ginagamit kesa sa MTW −+++ metrikong konbensiyong tandang ginamit dito.

Mga katumbas na pormulasyon

Sa pagkuha ng trace ng parehong mga panig ng ETE, ang makukuha ay:

$R-2R+4\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,$

na napapasimple sa:

$-R+4\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,.$

Kung ang isa ay magdadagdag ng $-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,$ na pinarami nito sa EFE, makukuha ang sumusunod na katumbas na anyong binaliktad na trace na:

$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu }\right)\,.$

Ang muling pagbabaliktad ng trace ay magpapanumbalik ng orihinal na EFE. Ang anyong binaliktad na trace ay maaaring mas konbinyente sa ilang mga kaso(halimbawa kapag ang isa ay interesado sa hangganang mahinang field at maaaring palitan ang $g_{\mu \nu }\,$ sa ekspresyon sa kanan ng metrikong Minkowski nang walang malaking kawalan ng akurasya).

Ang konstanteng kosmolohikal

Binago ni Einstein ang kanyang orihinal na mga ekwasyong field upang isama ang isang terminong kosmolohikal na proporsiyonal na metrikong

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.$

Ang konstanteng $\Lambda$ ang konstanteng kosmolohikal. Dahil sa ang $\Lambda$ ay konstante, ang batas ng konserbasyon ng enerhiya ay hindi naapektuhan. Ang terminong konstanteng kosmolohikal ay orihinal na ipinakilala ni Einstein upang pumayag sa isang statikong unibers(i.e., isang unibersong hindi lumalawig o lumiliit). Ang pagsisikap na ito ay hindi naging matagumpay sa dalawang mga dahilan: ang statikong unibersong inilarawan ng teoriyang ito ay hindi matatag at ang mga obersbasyon ng mga malalayong galaksiya ni Edwin Hubble sa kalaunang dekada ay kumumpirma na ang ating uniberso ay sa katotohanan hindi statiko kundi lumalawig. Kaya ang $\Lambda$ ay inabandona na tinawag ito ni Einstein na "ang pinakamalaking pagkakamaling [kanyang] nagawa". Sa loob ng maraming mga taon, ang konstanteng kosmolohikal ay halos pangkalahatang itinuturing na 0. Sa kabilang ng hindi nagabayang motibasyon ni Einstein sa pagpapakilala ng terminong konstanteng kosmolohikal, walang inkonsistente sa presensiya ng gayong termino sa mga ekwasyon. Ang katunayan, ang kamakailang napabuting mga pamamaraang astronomikal ay nakatuklas na ang isang positibong halaga ng $\Lambda$ ay kailangan upang ipaliwang ang umaakselarang uniberso.

Inakala ni Einstein ang konstanteng kosmolohikal bilang isang independiyenteng parametro ngunit ang termino nito sa ekwasyong field ay maaari ring mailipat ng alhebraiko sa kabilang panig na isinulat bilang bahagi ng tensor na stress-enerhiya:

$T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.$

Ang nagreresultang enerhiyang vacuum ay konstante at ibinigay ng:

$\rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}$

Kaya ang pag-iral ng isang konstanteng kosmolohikal ay katumbas ng pag-iral ng isang hindi serong enerhiyang vacuum. Ang mga termino ay ginagamit na ngayong palitan sa pangkalahatang relatibidad.

Tignan din

• Teoriyang pangkalahatang relatibidad