Pagpaparami (matematika)

Sa matematika, ang pagpaparami^[1], palambal o multiplikasyon (mula Kastila multiplicación) ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika. Sinisimbolo ito ng tandang pamparami (multiplication sign) - madalas sa anyong pa-ekis na "×", ngunit maaari ring isulat bilang isang gitnang tuldok na "⋅" (ginagamit kadalasan sa mataas na paaralan) o di kaya'y isang asterisko, "*" (ginagamit sa mga wikang pamprograma at kompyuter).

Tinatawag na produkto o bunga^[2] ang resulta ng operasyon. Ang bilang naman na pararamihin ay tinatawag na damihin.^[3] Parami naman ang tawag sa bilang na magpaparami sa damihin.^[4] Magkasama silang tinatawag na kabuo.^[5]

Maaaring itulad ang proseso ng pagpaparami ng mga buumbilang (whole number) sa paulit-ulit na pagdaragdag - ibig sabihin, ang pagpaparami sa dalawang bilang ay katulad lamang ng paulit-ulit na pagdagdag ng damihin sa sarili nito nang ilang beses depende sa parami.

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ (na) beses}}}$

Bilang halimbawa, maaari ring ikalkula ang $4\times 3$ (binabásang "apat pinarami nang 3 beses") sa paraang ito:

$4\times 3=\underbrace {4+4+4} _{3{\text{ beses}}}=12$

Sa ekspresyong ito, ang 4 at 3 ay ang mga kabuo, samantalang 12 naman ang naging produkto nito.^[6]

Sa pagbabasa ng pagpaparami, maaari ring lagyan ng -ng, -g, o na^[7] ang damihin tulad ng “apat na tatlo”. Maaari ring lagyan din ng gitlaping -in-^[8] ang parami tulad ng “apat na tinatlo”. Unlaping in-^[8] naman ang gagamitin kapag ang parami ay nagsisimula sa patinig tulad ng apat (inapat) at anim (inanim).

May mga katangian ang pagpaparami. Ang pagpapalit-puwesto (komutatibo) ng mga kabuo ay hindi nakakaapekto sa resulta ng operasyon, tulad ng sa pagdaragdag.

$3\times 4=\underbrace {3+3+3+3} _{4{\text{ na beses}}}=12$

Maaaring ilarawan ang pagpaparami gamit ang pagbibilang sa mga bagay na nakaayos sa isang parihaba (para sa mga buumbilang) dahil ang paghahanap sa sagot sa lawak (area) nito ( $l\times h$ ) ay katumbas sa kabuuang bilang ng mga bagay na nasa loob nito (basta ba napunan ang lahat ng hilera't hanay). Dahil sa katangian ng pagpapalit-puwesto, hindi naapektuhan ang magiging resulta ng paghahanap sa lawak ng isang parihaba.

Asosyatibo ang pagpaparami. Ibig sabihin, hindi nagbabago ang resulta ng operasyon kahit na unahin ang isang pares ng mga kabuo kaysa sa isa pa.

Sa panunukat, ang produkto ng dalawang sukat ay isang bagong sukat. Halimbawa, ang pagpaparami sa dalawang haba ng isang parihaba ay magreresulta sa lawak nito.

Ang kabaligtaran ng pagpaparami ay ang paghahati. Halimbawa, dahil 12 ang produkto ng 4 at 3, kung hahatiin ang 12 sa 3, magreresulta ito sa 4. Sa ganito ring pananaw, kung hahatiin sa 3 ang pinarami ng 3, babalik lang ito sa bilang nito bago ito pinarami (o sa ekspresyong pangmatematika, $4\times 3=12\div 3=4$ ).

May mga pansariling kahulugan ang iba't ibang uri ng bilang pagdating sa pagpaparami, tulad ng mga komplikadong bilang (complex number) at sa mga basal (abstract) na bagay tulad ng mga baskagan (matrix). Di tulad ng iba, mahalaga para sa ilan sa mga uring ito ang puwesto ng bilang.

Mga termino

Sa mga ekspresyon ng pagpaparami na mayroon lamang dalawang termino, tinatawag na damihin ang bilang na pararamihin.^[3] Ang bilang naman na magpaparami sa damihin ay tinatawag na parami.^[4] Magkasama, tinatawag silang mga kabuo.^[5]

Gayunpaman, madalas ginagamit ang mga deribatibo ng pandiwang pagdami upang ipakita ang mga ito. Halimbawa, ginagamit minsan ang salitang paparamihin sa mga kabuo na paparamihin, at magpaparami naman sa kabuo na magpaparami sa paparamihin. Ginagamit din minsan ang salitang beses bilang isang katumbas na salita sa kabuo na magpaparami, tulad ng pangungusap na "tatlo paparamihin nang limang beses."

Hati ang pananaw sa kung ano nga ba talaga ang damihin at parami. Madalas itinuturing na parami ang pangalawang kabuo at ang unang bilang naman ang damihin,^[9] ngunit minsan, nauuna ang parami sa damihin.^[6] Mapaanuman ang pananaw, dahil na rin may katangiang komutatibo ang pagpaparami, hindi masyado mahalaga ang pagtukoy sa mga ito, liban na lamang sa ilang mga algoritmo ng pagpaparami tulad ng mahabaang pagpaparami, kaya tinutukoy madalas ang mga bilang na sangkot sa operasyong ito bilang mga "kabuo."^[10]

Ang resulta ng pagpaparami ay tinatawag na bunga^[2] o produkto.

Tinatawag na kaparami (Ingles: multiple) ang produkto ng dalawang kabuo.^[11] Halimbawa, ang bunga ng 3 at 5 ay 15, kaya naman parehong mga kaparami ng 3 at 5 ang 15.

Notasyon

Sa aritmetika, madalas isinusulat ang pagpaparami gamit ang tandang pamparami sa anyong pa-ekis na " ${\textstyle \times }$ " sa pagitan ng mga kabuo. Halimbawa:

2\times 3=6

("dalawa pinarami nang tatlong beses ay anim", “dalawang tatlo ay anim”, “dalawang tinatlo ay anim”)

3\times 4=12

("tatlo pinarami nang apat na beses ay labindalawa", “tatlong apat ay labindalawa”, “tatlong inapat ay labindalawa”)

6\times 5=30

("anim pinarami nang limang beses ay tatlumpu", “anim na lima ay tatlumpu”, “anim na linima ay tatlumpu”)

Bukod sa ekis, ginagamit din ang ibang mga simbolo para ipakita ang operasyon:

Madalas ginagamit sa mataas na paaralan, dahil na rin maaari itong ikalito sa baryabol na $x$ na madalas gamitin sa alhebra, ang gitnang tuldok na "⋅".

Sa alhebra, ang pagpaparami sa mga ekspresyong may baryabol ay isinusulat nang magkadikit sa isa't isa (tulad ng $5x$ at $xy$ ). Sa Ingles, kilala itong implied multiplication ("alam na paparamihin").^[12] Maaari rin itong gamitin para sa mga kantidad (quantity) na nasa loob ng mga panaklong (hal. $5(2)$ o $(5)(2)$ para sa "lima pinarami nang 2 beses"), dahil maaari itong ipagkamali sa mga bunin (function), na nakasulat sa anyong $f(x)=y$ . Maaaring magkaproblema rin sa tamang ayos ng operasyon (PEMDAS) ang mga nakasulat sa ganitong anyo.
Sa pagpaparaming pambektor (vector multiplication), may pinagkaiba ang mga simbolong ekis at gitnang tuldok. Sinisimbolo ng ekis ang produktong pa-krus (cross product) ng dalawang bektor, na nagreresulta sa isa pang bektor, samantalang nagreresulta naman sa isang iskala (scalar) ang pagkuha sa produktong patuldok ng dalawang bektor.

Ginagamit ng karamihan ng mga wikang pamprograma ang asterisko ("*") upang maipakita ang operasyon ng pagpaparami. Ito'y dahil limitado lamang sa isang pangkat ng mga karakter (character sets) tulad ng ASCII at EBCDIC ang mga kompyuter simula pa noon - di kasama kalimitan sa pangkat na iyon ang parehong mga simbolong ekis at tuldok, ngunit malimit na isinasali ang asterisko sa mga ito. Una itong ginawa ng wikang FORTRAN.

Mga sanggunian

↑ "pagpaparami". Diksiyonaryo.ph. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^2.0 ^2.1 "bunga". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^3.0 ^3.1 "damihin". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^4.0 ^4.1 "parami". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^5.0 ^5.1 "kabuo". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^6.0 ^6.1 Devlin, Keith (Enero 2011). "What Exactly is Multiplication?" [Ano ba Talaga ang Pagpaparami?] (sa wikang Ingles). Mathematical Association of America. Inarkibo mula sa orihinal noong Mayo 27, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020. With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) (Sa [operasyon ng] pagpaparami, paparamihin ng beses (unang isinusulat) ang paparamihin (pangalawang isinusulat).){{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ de Totanes, Sebastian (1850). "Arte de la Lengua Tagala". Google Books. Nakuha noong Enero 4, 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^8.0 ^8.1 de San Agustin, Gaspar (1787). "Compendio de la Arte de la Lengua Tagala". Google Books. Nakuha noong Enero 4, 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Crewton Ramone. "Multiplicand and Multiplier" [[Ang] Paparamihin at [ang] Beses] (sa wikang Ingles). Crewton Ramone's House of Math. Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 26, 2015. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link).
↑ Chester Litvin (2012). Advance Brain Stimulation by Psychoconduction [Mataas na Pagpapasigla sa Utak gamit ng Sikokonduksiyon]. pp. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0 – sa pamamagitan ni/ng Google Book Search.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "kaparami". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Announcing the TI Programmable 88! [Inaanunsyo ang Tl Programmable 88!] (PDF) (sa wikang Ingles). Texas Instruments. 1982–1983. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong Agosto 3, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: date format (link)

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[1] "pagpaparami". Diksiyonaryo.ph. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:0-2] 2.0 ^2.1 "bunga". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:1-3] 3.0 ^3.1 "damihin". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:2-4] 4.0 ^4.1 "parami". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:3-5] 5.0 ^5.1 "kabuo". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Devlin-6] 6.0 ^6.1 Devlin, Keith (Enero 2011). "What Exactly is Multiplication?" [Ano ba Talaga ang Pagpaparami?] (sa wikang Ingles). Mathematical Association of America. Inarkibo mula sa orihinal noong Mayo 27, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020. With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) (Sa [operasyon ng] pagpaparami, paparamihin ng beses (unang isinusulat) ang paparamihin (pangalawang isinusulat).){{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[7] Totanes, Sebastian (1850). "Arte de la Lengua Tagala". Google Books. Nakuha noong Enero 4, 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[:4-8] 8.0 ^8.1 de San Agustin, Gaspar (1787). "Compendio de la Arte de la Lengua Tagala". Google Books. Nakuha noong Enero 4, 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[9] Crewton Ramone. "Multiplicand and Multiplier" [[Ang] Paparamihin at [ang] Beses] (sa wikang Ingles). Crewton Ramone's House of Math. Inarkibo mula sa orihinal noong Oktubre 26, 2015. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link).

[10] Chester Litvin (2012). Advance Brain Stimulation by Psychoconduction [Mataas na Pagpapasigla sa Utak gamit ng Sikokonduksiyon]. pp. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0 – sa pamamagitan ni/ng Google Book Search.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[11] "kaparami". Glosbe (sa wikang Ingles). Nakuha noong Disyembre 16, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[12] Announcing the TI Programmable 88! [Inaanunsyo ang Tl Programmable 88!] (PDF) (sa wikang Ingles). Texas Instruments. 1982–1983. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong Agosto 3, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: date format (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]