Operador (pisika)

Sa pisika, ang operador(operator) ay isang punsiyon na nagsasagawa sa espasyo ng mga estadong pisikal. Bilang resulta sa paglapat nito sa isang estadong pisikal, ang isa pang estadong pisikal ay makakamit na karaniwang may kasamang mga ekstrang mahalagang impormasyon. Ang pinakasimpleng halimbawa ng paggamit ng operador ang pag-aaral ng simetria. Dahil dito, ang mga ito ay kapaki-pakinabang na kasangkapan sa klasikong mekaniks. Sa mekaniks na kwantum sa kabilang dako, ang mga ito ang isang katangiang bahagi ng pormulasyon ng teoriyang ito.

Sa klasikong mekaniks

Ating tignan ang isang sistema ng klasikong mekaniks na pinangungunahan ng isang Hamiltonian na $H(q,p)$ na punsiyon ng isang pinalahat na mga koordinadong $q$ at ang konhugatong momenta nito. Ating ituring na ang punsiyong ito ay inbarianto(hindi nagbabago) sa ilalim ng aksiyon ng isang grupo ng mga transpormasyong $G$ na ang ibig sabihin ay kung $S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$. Ang mga elemento ng $G$ ang mga operador na pisikal na nagmamapa ng mga estadong pisikal sa mga sarili nito. Ang isang madaling halimbawa ay ibinigay sa pamamagitan ng mga pagsasalin(translations) ng espasyo. Ang hamiltonian ng isang masasaling inbariantong problem ay hindi nagbabago sa ilalim ng transpormasyong $q\to T_{a}q=q+a$. Ang ibang tuwirang mga operador na simetriya ang mga nagsasagawa ng mga rotasyon. Kung ang isang sistemang pisikal ay inilalarawan ng isang punsiyon gaya ng mga klasikong teoriya ng field, ang nagsasaling operador ay nilalahat sa isang tuwirang paraan:

$f(x)\to T_{a}f(x)=f(x-a).$

Pansinin na ang transpormasyon sa loob ng parenthesis ay dapat inbersong punsiyon ng transpormasyon na ginawa sa mga koordinado.

Konsepto ng henerador

Kung ang transpormasyon ay inpinitesimal, ang aksiyon ng operador ay dapat nasa anyong:

$I+\epsilon A$

kung saan $I$ ang operador na identidad, ang $\epsilon$ ang maliit na parameter at ang $A$ay sasalay sa isasagawang transpormasyon at tiantawag na henerador ng grupo. Muli, bilang simpleng halimbawa, ating hahanguin ang henerador ng mga pagsasalin ng espasyo sa mga punsiyong 1D. Gaya ng sinaaad, $T_{a}f(x)=f(x-a)$. Kung ang $a=\epsilon$ ay inpinitesimal, kung gayon maaari nating isulat na:

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).$

Ang pormula ay maaaring muling isulat bilang

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)$

kung saan ang $D$ ang henerador ng grupong pagsasalin na nagkataong isa lamang deribatibong operator. Dahil dito, sinasabing ang generador ng mga pagsasalin ang deribatibo.

Ang mapang eksponensiyal

Ang buong grupo ay maaaring mapanumbalik sa ilalim ng mga normal na sirkunstansiya mula sa mga henerador sa pamamagitan ng mapang eksponensiyal. Sa kaso ng mga pagsasalin, ang idea ay gumagana tulad nito. Ang pagsasalin ng mga pinido(may hangganang) halaga ng $a$ ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paulit-ulit na paglalapt ng mga pagsasaling inpinetesimal:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)$

na ang $\cdots$ ay tumatayo sa paglalapat na $N$ beses. Kung ang $N$ ay malaki, ang bawat mga paktor ay maaaring ituring na inpinetesimal:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)D)^{N}f(x).$

Ngunit ang hangganang ito ay maaaring muling isulat bilang eksponensiyal:

$T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).$

Upang makonbinse sa pagiging balido ng pormal na ekspresyong ito, maaari nating palawigin ang eksponensiyal sa kapangyarihang serye:

$T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).$

Ang kanang-panig ay maaaring muling isulat bilang:

$f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots$

na isa lamang pagpapalawig na Taylor ng $f(x-a)$ na siya nating orihinal na halaga para sa $T_{a}f(x)$.

Sa mekaniks na kwantum

Ang matematikal na deskipsiyon ng mekaniks na kwantum ay binubuo sa konsepto ng operador. Ang mga purong pisikal na estado sa mekanik na kwantum ay mga unit na normang(unit-norm) na mga bektor sa isang espasyong bektor(na isang espasyong Hilbert). Ang ebolusyon ng panahon sa espasyong bektor na ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng paglalapat ng isang operador na tinatawag na operador na ebolusyon. Dahil sa ang norma ng estadong pisikal ay dapat nakapirme, ang operador na ebolusyon ay dapat unitaryo. Sa ibang mga simetriya, ang pagmamapa ng pisikal na estado sa isa pang pisikal na estado ay dapat ingatan ang restriksiyong ito. Ang anumang mapagmamasdan(obervable) na anumang kantidad na maaaring masuka sa isang pisikal na eksperimento ay dapat nauugnay sa sariling-adjoint na linyar na operador. Ang mga halaga na maaaring lumabas bilang resulta ng eksperimento ang eigenhalaga ng operador. Ang probabilidad ng bawat eigenhalaga ay kaugnay ng proheksiyon ng estadong pisikal sa subespasyo na may kaugnayan sa eigenhalaga.

Tabla ng mga operador sa mekaniks na kwantum

Operador (common name/s)	Mga depinisyon ng bahagi	Pangkalahatang depinisyon	SI unit	Dimensiyon
Posisyong operador	${\hat {x}}=x\,\!$ ${\hat {y}}=y\,\!$ ${\hat {z}}=z\,\!$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!$	m	[L]
Momentum na operador	${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ ${\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\,\!$ ${\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!$	$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
Potensiyal na enerhiya	${\hat {V}}_{x}=V(x)\,\!$ ${\hat {V}}_{y}=V(y)\,\!$ ${\hat {V}}_{z}=V(z)\,\!$	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$	J	[M] [L]2 [T]−2
Enerhiyang operador	Hindi-nakasalalay sa panahon: ${\hat {E}}_{x}=E(x)\,\!$ ${\hat {E}}_{y}=E(y)\,\!$ ${\hat {E}}_{z}=E(z)\,\!$	Hindi-nakasalalay sa panahon: ${\hat {E}}=E(\mathbf {r} )\,\!$ Nakasalalay sa panahon: ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$	J	[M] [L]2 [T]−2
Hamiltonian na operador		${\begin{aligned}&{\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!$	J	[M] [L]2 [T]−2
Angular momentum na operador	${\hat {L}}_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)$ ${\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)$ ${\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$	J s = N s m−1	[M] [L]2 [T]−1
ikot na angular momentum	${\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}$ ${\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}$ ${\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}$ kung saan ang: $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ ang mga matriks na pauli para sa ikot-½ na mga partikulo.	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ kung saan ang σ ang bektor na ang mga bahagi ang mga matriks na pauli.	J s = N s m−1	[M] [L]2 [T]−1