Deribatibong eksponensiyal

Ang Deribatibong eksponensiyal (Ingles:exponential derivative) ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na eksponensiyal.

Deribasyon ng deribatibo ng eksponensiyal

Mga pangunahing artikulo: Deribatibo at Hangganan

Ang deribatibo ng punsiyong nasa anyong $e^{x}$ ay mahahango gamit ang "diperensiyang kosiyente"

Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

Ang deribatibo ng $e^{x}$ ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}$

Ngayon ilapat ang alhebra sa kapangyarihan(powers), partikular na ang a^{b + c} = a^b a^c:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}}$

Dahil sa ang e^x ay hindi dumidepende sa h, ito ay konstante habang ang h ay papalapit sa 0. Maaari na nating gamitin ang mga patakaran ng hangganan upang ilipat ito sa labas na nagreresulta sa:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}$

Ang hangganan ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng mga tekniko gaya ng Patakarang L'Hopital. Ating makikita na ang:

$\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1$

Kaya napatunayan natin ang patakaran na:

Deribatibo ng punsiyong eksponensiyal ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\,\!$

Dahil sa nahango na ang isang spesipikong kaso, ating palawigin sa kasong pangkalahatan. Kung ipagpalagay na ang a ay isang positibong real na konstante, nais nating kwentahin ang:

${\frac {d}{dx}}a^{x}$

Ang isa sa mga paraan sa matematika ay hatiin ang isang problema sa anyo na ating malulutas. Dahil sa natukoy na natin ang deribatibo ng e^x, ating tatangkain na baguhin ang a^x sa anyong ito. Kung gagamitin ang e^ln(c) = c at ang ln(a^b) = b · ln(a), ang resulta:

$a^{x}=e^{x\cdot \ln(a)}$

Ngayon, ilapat ang patakarang kadena:

${\frac {d}{dx}}e^{x\cdot \ln(a)}={\frac {d}{dx}}\left[x\cdot \ln(a)\right]e^{x\cdot \ln(a)}=\ln(a)a^{x}$

Deribatibo ng punsiyong ekpsonensiyal ${\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln \left(a\right)a^{x}\,\!$