Punsiyonal na pariugat

Sa matematika, ang isang punsiyonal na pariugat (minsan tinatawag na isang kalahating iterasyon) ay isang pariugat ng isang punsiyong may respeto sa operasyon ng komposisyong pangbunin. Sa ibang salita, ang isang punsiyonal na pariugat ng isang punsiyong $g$ ay isang punsiyong $f$ na natutugunan ng $f (f (x)) = g (x)$ para sa lahat ng $x$ .

Notasyon baguhin

Ang mga notasyong ipinahahayag na ang $f$ ay isang punsiyonal na pariugat ng $g$ ay $f = g [1/2]$ at $f = g 1/2$ .^{[kailangan ng sanggunian]}

Kasaysayan baguhin

Ang punsiyonal na pariugat ng eksponensiyal na punsiyon (ngayong kilala bilang kalahating eksponensiyal na punsiyon) ay sinuri ni Hellmuth Kneser noong 1950.^[1]
Ang mga kalutasan ng $f (f (x)) = x$ sa loob ng $\mathbb {R}$ (mga imbolusyon ng mga tunay na bilang) ay unang sinuri ni Charles Babbage noong 1815, at tinatawag ang itong ekwasyon na punsiyonal na ekwasyon ni Babbage.^[2] Ang isang partikular na kalutasan ay $f (x) = (b - x)/(1 + cx)$ para sa $bc \neq -1$ . Itinala ni Babbage na para sa anumang kalutasang $f$ , ang kaniyang punsiyonal na konhugadong $Ψ -1 \circ f \circ Ψ$ , sa pamamagitan ng isang arbitraryong inbertibleng punsiyong na $Ψ$ ay rin isang kalutasan. Sa ibang salita, ang grupo ng lahat ng inbertibleng punsiyon sa tunay na guhit ay gumagawa sa subpangkat na kinabibilangan ng mga kalutasan para sa punsiyonal na ekwasyon ni Babbage sa pamamagitan ng konhugasyon.

Mga kalutasan baguhin

Ang isang sistematikong pamamalakad, para gumawa ng mga arbitraryong punsiyonal na mga $n$ -ugat (kabilang sa mga arbitraryong tunay, negatibo, at impinitesimal na $n$ ) para sa mga punsiyong $g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , ay umaasa ng mga kalutasan ng ekwasyon ni Schröder.^[3]^[4]^[5] May isang impinidad ng mga tribiyal na kalutasan kapag ang sakop ng isang ugat na punsiyong $f$ ay puwedeng sapat na mas malaki kaysa sa sakop ng $g$ .

Mga halimbawa baguhin

Ang $f (x) = 2 x 2$ ay isang punsiyonal na pariugat ng $g (x) = 8 x 4$ .
Ang isang punsiyonal na pariugat ng ika- $n$ polynomial ni Chebyshev, $g (x) = T n (x)$ , ay $f (x) = cos(Padron:Radical arccos(x))$ , na sa pangkahalatan hindi ay isang polynomial.
Ang $f (x) = x /(Padron:Radical + x (1 - Padron:Radical))$ ay isang punsiyonal na pariugat ng $g (x) = x /(2 - x)$ .

Mga iterasyon ng punsiyong sine (asul), sa unang kalahating peryodo. Ang kalahating iterasyon (kahel), i.e., ang punsiyonal na pariugat ng sine; ang punsiyonal na pariugat ng iyon, ang sangkapat na iterasyon (itim) sa itaas, at saka mga praksiyonal na iterasyon hanggang sa ¹⁄₆₄. Ang mga punsiyon sa ilalim ng sine ay anim na integral na iterasyon sa ilalim, na nagsisimula sa pangalawang iterasyon (pula) at nagwawakas sa pang-64 na iterasyon. Ang berdeng tatsulok na kinukubkob ay kumakatawan ng iterasyong nililimitahang null. Ang punsiyong sawtooth ay nagsisilbi bilang puntong simula na nagdudulot ng punsiyong sine. Ang gatlang na guhit ay negatibong unang iterasyon, kumbaga, ang inberso ng sine (arcsin).

sin [2] (x) = sin(sin(x))

[pulang kurba]

sin [1] (x) = sin(x) = rin(rin(x))

[asul na kurba]

sin [1 / 2] (x) = rin(x) = qin(qin(x))

[kahel na kurba]

sin [1 / 4] (x) = qin(x)

[itim na kurba sa itaas ng kahel na kurba]

sin [-1] (x) = arcsin(x)

[gatlang na kurba]

(Tingnan ang^[6]. Para sa notasyon, tingnan ang [1] Naka-arkibo 2022-12-05 sa Wayback Machine..)

Mga sanggunian baguhin

↑ Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = e^x und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (sa Aleman). 187: 56–67. doi:10.1515/crll.1950.187.56. S2CID 118114436.
↑ Jeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7 (sa wikang Ingles)
↑ Schröder, E. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen (sa Aleman). 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.
↑ Szekeres, G. (1958). "Regular iteration of real and complex functions". Acta Mathematica (sa Ingles). 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539.
↑ Curtright, T.; Zachos, C.; Jin, X. (2011). "Approximate solutions of functional equations". Journal of Physics A (sa Ingles). 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA...44N5205C. doi:10.1088/1751-8113/44/40/405205. S2CID 119142727.
↑ Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods Naka-arkibo 2014-10-30 sa Wayback Machine.. (sa wikang Ingles)

Tingnan din baguhin

Punsiyong iterado (Ingles: Iterated function)
Komposisyong pangbunin (Ingles: Function composition)
Ekwasyon ni Abel (Ingles: Abel equation)
Ekwasyon ni Schröder (Ingles: Schröder's equation)
Agos (matematika) (Ingles: Flow (mathematics))
Superpunsiyon (Ingles: Superfunction)
Praksiyonal na kalkulo (Ingles: Fractional calculus)
Kalahating eksponensiyal na punsiyon (Ingles: Half-exponential function)

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[sqrtexp-1] Kneser, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = e^x und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (sa Aleman). 187: 56–67. doi:10.1515/crll.1950.187.56. S2CID 118114436.

[2] Jeremy Gray and Karen Parshall (2007) Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4343-7 (sa wikang Ingles)

[schr-3] Schröder, E. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen (sa Aleman). 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.

[4] Szekeres, G. (1958). "Regular iteration of real and complex functions". Acta Mathematica (sa Ingles). 100 (3–4): 361–376. doi:10.1007/BF02559539.

[5] Curtright, T.; Zachos, C.; Jin, X. (2011). "Approximate solutions of functional equations". Journal of Physics A (sa Ingles). 44 (40): 405205. arXiv:1105.3664. Bibcode:2011JPhA...44N5205C. doi:10.1088/1751-8113/44/40/405205. S2CID 119142727.

[6] Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods Naka-arkibo 2014-10-30 sa Wayback Machine.. (sa wikang Ingles)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]