Pagpapalakas (matematika)

Sa matematika, ang pagpapalakas o pagpapaangat (Ingles: exponentiation) ay isa sa mga operasyon sa aritmetika na isinusulat sa anyong $b^{n}$ , kung saan ang $b$ ay ang báse nito at $n$ ang lakas o eksponente (mula Espanyol exponente). Binibigkas itong "b pinalakas nang n (na) beses" o "b inangat nang n (na) beses." Kung isang positibong buumbilang ang $n$ , katumbas lang ito sa paulit-ulit na pagpaparami sa báse nito, ang sagot sa $b^{n}$ ay ang produkto ng pagpaparami sa $b$ nang $n$ (na) beses.

$b^{n}=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ (na) beses}}}$

Mga grap ng $y = b x$ sa iba't ibang mga báse.

Isinusulat kadalasan ang eksponente nang nakaangat (superscript) sa kanan ng báse.

Kung pinalakas ang $b$ nang isang beses, o sa ekspresyong matematikal, $b^{1}$ , magreresulta ito sa sarili niya ( $b^{1}=b$ ). Kung pinarami naman ang dalawang $b$ na itinaas sa lakas na $m$ at $n$ , magreresulta naman ito sa $b^{m+n}$ .

$b^{m}\times b^{n}=b^{m+n}$

Para mapalawig ang katangiang ito sa mga negatibong buumbilang na lakas, ginagawang $1$ ang sagot sa $b^{0}$ . Samantala, ${\frac {1}{b^{n}}}$ naman ang sagot sa $b^{-n}$ , basta ba positibong buumbilang ang $n$ at hindi sero ang $b$ . Sa pananaw na ito, magkatumbas ang $b^{-1}$ sa ${\frac {1}{b}}$ , ang kabaligtaran (reciprocal) ng $b$ .

Maaaring palawigin ang kahulugan ng pagpapalakas para masáma ang kahit anong mga tunay o komplikadong eksponente. Maaari ring mabigyang-kahulugan ang pagpapalakas na gumagamit ng buumbilang bilang eksponente (hal. $2^{2}$ ) gamit ng samu't saring mga istrakturang alhebraiko, tulad ng mga baskagan (matrix).

Madalas gamitin ang pagpapalakas sa iba't iba at samu't saring mga larangan, kabilang na ang ekonomika, biyolohiya, kimika, pisika, at agham pangkompyuter. Magagamit rin ang operasyong ito sa mga tubong tinubuan (compound interest), paglaki ng populasyon, galawang kemikal (chemical kinetics), pag-aaral sa ugali ng mga alon, at kriptograpiyang nakasusing pampubliko (public-key cryptography).

Kasaysayan

Ang lakas ay isang literal na pagsalin sa salitang Ingles na power, na isang maling pagsalin^[1] naman sa sinaunang Griyego na δύναμις (dúnamis, dito, "pagpapaangat")^[1] na ginamit ng matematikong Griyego na si Euclid para sa pagparirami (squaring) sa isang linya, ayon na rin sa ginawa ni Hippocrates ng Chios.^[2] Natuklasan at napatunayan ni Archimedes ang batas ng pag-aangat, $10^{a}\cdot 10^{b}=10^{a+b}$ , na kailangan para mamanipula ang mga lakas ng 10. Noong ika-9 na siglo, ginamit ng matematikong Persano na si Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī ang salitang مَال (māl, "pagmamay-ari", "pag-aari") para sa pagparirami, at كَعْبَة (kaʿbah, "kubo") para naman sa pagtitriplé (cube), kung saan ginamit ng sumunod na matematikong Islam sa notasyong matematikal ang mga titik na mīm (m) and kāf (k) bandang ika-15 siglo, tulad ng nakita sa mga gawa ni Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī.

Ang salitang eksponente ay galing sa salitang Espanyol na exponente, na galing naman sa Latin na salitang exponere ("ilagay", "ipuwesto"). Galing din ang salitang Ingles na exponent sa nagaganap na aspeto ng exponere, ang exponentem, na nangangahulugang "ilabas" o "tubuan."^[3]

Noong huling bahagi ng ika-16 na siglo, ginamit ni Jost Bürgi ang mga bilang Romano (I, II, III, atbp.) para sa mga eksponente. Sinulat naman ni Nicolas Chuquet ang isang anyo ng notasyong nagpapalakas noong ika-15 siglo, na ginamit nina Henricus Grammateus at Michael Stifel sa sumunod na siglo. Unang ipinakilala ni Stifel ang salitang exponent (exponens ang ginamit niya rito) noong 1544 sa Arithmetica integra.^[4]

Noong simula ng ika-17 siglo, ipinakilala ni René Descartes ang unang anyo ng modernong notasyon sa pagpapalakas. Ipinakilala niya ito sa kanyang tekstong La Géométrie, partikular sa unang aklat nito.^[5]

Ginagamit lang ng ilang mga matematiko (tulad ni Isaac Newton) ang mga eksponente para lamang sa lakas na higit sa dalawa. Mas pabor sila sa pagsulat sa mga pagdodoble bilang pauulit-ulit na pagpaparami, kaya naman isinusulat nila ang isang damikay (polynomial) bilang $ax+bxx+c^{3}+d$ .

Tinawag rin ang prosesong ito bilang imbolusyon (Ingles: involution), ngunit bihira na lang itong gamitin.^[6] Iba ito sa imbolusyon na ginagamit ngayon para sa mga bunin (function) na kabaligtaran ng sarili niya.

Noong 1748, isinulat ni Leonhard Euler:

Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.^[7]
Salin:
Ikonsidera muna ang mga kantidad na pinapalakas, o [sa madaling salita] lakas, kung saan nagbabago ang mga eksponente nila. Maliwanag na ang mga kantidad na ito ay hindi mga buning alhebraiko, dahil dapat di-nagbabago ang mga eksponente nito.

Sa panimulang ito ng mga buning nangingibabaw (transcendental functions), sinimulan ni Euler ang pundasyon para sa modernong panimula sa mga likas na logaritmo—bilang mga buning kabaligtaran para sa natural na buning nagpapalakas na $f(x)=e^{x}$ .

Terminolohiya

Sa Ingles, ang ekspresyong $b^{2}=b\cdot b$ ay tinatawag na ang "square of b" ("parirami ng b") o "b squared" ("pariraming b") dahil ang sukat ng isang parisukat (square sa Ingles) na may haba sa gilid na $b$ ay $b^{2}$ . Sa ganong ding pananaw, ang ekspresyong $b^{3}=b\cdot b\cdot b$ ay tinatawag na ang "cube of b" ("talurami ng b") o "b cubed" ("taluraming b"), dahil ang bulto (volume) ng isang kubo (cube sa Ingles) na may haba sa gilid na $b$ ay $b^{3}$ .

Kapag isa itong positibong buumbilang, tinutukoy ng eksponente kung ilang beses kailangang paramihin ang báse. Halimbawa, $3^{5}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243$ . Ang báse na 3 ay nagpakita nang 5 beses sa paulit-ulit na proseso ng pagpaparami, dahil 5 ang eksponente nito. Dito, ang bilang na 243 ang ikalimang lakas ng 3, o 3 pinalakas nang 5 beses.

Madalas tinatanggal ang salitang "pinalakas nang n (na) beses," kahit maging ang "lakas," kaya binabása rin ang $3^{5}$ bilang "tatlo sa ikalima" o sa Ingles, "3 to the 5th."

Mga sanggunian

↑ ^1.0 ^1.1 Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1 [Mataas na Modernong Alhebra, Unang Bahagi]. Graduate Studies in Mathematics (sa wikang Ingles). Bol. 165 (ika-3 (na) edisyon). Providence, Rhode Island, Amerika: American Mathematical Society. pa. 130, t.b. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)^{[patay na link]}
↑ Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics [Isang Maiksing Pagtatala sa Kasaysayan ng Matematika] (sa wikang Ingles) (ika-6 (na) edisyon). London, Reyno Unido: Macmillan. p. 38.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "exponent" [eksponente]. Etymonline.com (sa wikang Ingles). Nakuha noong Nobyembre 21, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra (sa wikang Latin). Nuremberg, Alemanya: Johannes Petreius. p. 235v..{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) Sinusubukan ni Stifel na magkaroon ng madaling pagsulat sa mga termino ng panunurang heometrikal (geometrical sequence). Para magawa ito, gumawa siya ng isang komplikadong notasyon. Sa Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Aklat 3, Kabanata 3: Patungkol sa mga Algoritmo sa Alhebra), sa pahina 235 verso, ipinakita niya ang unang walong termino ng isang panunurang heometrikal (gamit ang 1 bilang báse) at pagkatapos ay isinulat niya, "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (Gayunpaman, kita niyo naman kung paano ang bawat termino ng panunuran ang may eksponente (tulad ng 1ze ay 1, 1ʓ ay 2, atbp.), kaya pumapailalim ang bawat bilang sa eksponente ng denominasyon nito, na pumapailalim rin sa bilang at mahalaga sa pagpaparami at paghahati, na babanggitin ko sa ibaba.) [Paalala: Galing ang karamihan sa mga kakaibang simbolo ni Stifel mula kay Christoff Rudolff, na nanggalin naman sa Liber Abaci (1202) ni Leonardo Fibonacci, kung saan ginagamit ang mga ito bilang mga pampaiksing simbolo ng mga Latin na salitang res/radix (x), census/zensus(x²), at cubus (x³).])
↑ Descartes, René (1637). "La Géométrie". Discourse de la méthode [...] [Diskurso sa paraan [...]] (sa wikang Pranses). Leiden, Olanda: Jan Maire. p. 299. Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) (At aa, o a², para maparami ang a gamit ang sarili niya, at a³, para naman maparami ito uli nang isa pa gamit ang sarili niya, at hanggang sa walang-hanggan.)
↑ Ang pinaka-kamakailang naitalang paggamit ng salitang ito ayon sa kahulugang ito sa Ingles ay noong 1806, ayon sa Oxford English Dictionary. "involution". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles) (ika-3 (na) edisyon). Oxford University Press. Setyembre 2005.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link) (Kailangan ang suskripsyon o maging kasaspi ng publikong aklatan ng UK.)
↑ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum [Panimula sa pagsusuring awanggan] (sa wikang Latin). Bol. I. Lausanne, Suwisa: Marc-Michel Bousquet. pp. 69, 98–99.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[Rotman-1] 1.0 ^1.1 Rotman, Joseph J. (2015). Advanced Modern Algebra, Part 1 [Mataas na Modernong Alhebra, Unang Bahagi]. Graduate Studies in Mathematics (sa wikang Ingles). Bol. 165 (ika-3 (na) edisyon). Providence, Rhode Island, Amerika: American Mathematical Society. pa. 130, t.b. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)^{[patay na link]}

[2] Ball, W. W. Rouse (1915). A Short Account of the History of Mathematics [Isang Maiksing Pagtatala sa Kasaysayan ng Matematika] (sa wikang Ingles) (ika-6 (na) edisyon). London, Reyno Unido: Macmillan. p. 38.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[3] "exponent" [eksponente]. Etymonline.com (sa wikang Ingles). Nakuha noong Nobyembre 21, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[4] Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra (sa wikang Latin). Nuremberg, Alemanya: Johannes Petreius. p. 235v..{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) Sinusubukan ni Stifel na magkaroon ng madaling pagsulat sa mga termino ng panunurang heometrikal (geometrical sequence). Para magawa ito, gumawa siya ng isang komplikadong notasyon. Sa Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Aklat 3, Kabanata 3: Patungkol sa mga Algoritmo sa Alhebra), sa pahina 235 verso, ipinakita niya ang unang walong termino ng isang panunurang heometrikal (gamit ang 1 bilang báse) at pagkatapos ay isinulat niya, "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (Gayunpaman, kita niyo naman kung paano ang bawat termino ng panunuran ang may eksponente (tulad ng 1ze ay 1, 1ʓ ay 2, atbp.), kaya pumapailalim ang bawat bilang sa eksponente ng denominasyon nito, na pumapailalim rin sa bilang at mahalaga sa pagpaparami at paghahati, na babanggitin ko sa ibaba.) [Paalala: Galing ang karamihan sa mga kakaibang simbolo ni Stifel mula kay Christoff Rudolff, na nanggalin naman sa Liber Abaci (1202) ni Leonardo Fibonacci, kung saan ginagamit ang mga ito bilang mga pampaiksing simbolo ng mga Latin na salitang res/radix (x), census/zensus(x²), at cubus (x³).])

[5] Descartes, René (1637). "La Géométrie". Discourse de la méthode [...] [Diskurso sa paraan [...]] (sa wikang Pranses). Leiden, Olanda: Jan Maire. p. 299. Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) (At aa, o a², para maparami ang a gamit ang sarili niya, at a³, para naman maparami ito uli nang isa pa gamit ang sarili niya, at hanggang sa walang-hanggan.)

[6] Ang pinaka-kamakailang naitalang paggamit ng salitang ito ayon sa kahulugang ito sa Ingles ay noong 1806, ayon sa Oxford English Dictionary. "involution". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles) (ika-3 (na) edisyon). Oxford University Press. Setyembre 2005.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link) (Kailangan ang suskripsyon o maging kasaspi ng publikong aklatan ng UK.)

[Euler_1748-7] Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum [Panimula sa pagsusuring awanggan] (sa wikang Latin). Bol. I. Lausanne, Suwisa: Marc-Michel Bousquet. pp. 69, 98–99.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]