Punto (heometriya)

Sa klasikong heometriyang Euclidean, ang isang punto ay isang primitibong nosyon na iminomodelo ang isang eksaktong pook sa espasyong maka-Euclides, at walang haba, lapad, o kapal. Sa modernong matematika, mas kadalasang tinutukoy ng isang punto ang isang elemento ng ilang pangkat na tinatawag na isang espasyo.

Ang terminong primitibong nosyon ay mangangahulugan na hindi naipapaliwanag ang isang punto sa mga tuntunin ng mga bagay na dating ipinaliwanag. Kumbaga, ang isang punto ay ipinapaliwanag lamang ng ilang mga propyedad, na tinatawag na mga aksiyoma, na dapat matuguan, halimbawa, "may eksaktong isang guhit na pinagdadaanan ang dalawang magkaibang punto".

Mga punto sa heometriyang Euclidean

Isang pinitong pangkat ng mga punto (sa pula) sa planong Euclidean.

Ang mga punto, kung kailan iniisip sa balangkas ng heometriyang Euclidean, ay isa sa mga pinakapundamental na bagay. Orihinal na ipinaliwanag ni Euclides ang punto bilang "ang walang anumang bahagi" (Mga Elemento I:1, Sinaunang Griyego: Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν). Sa dalawang dimensiyonal na plano, ang isang punto ay kinakatawan ng isang pares na iniaayos na (x, y) ng mga bilang, kung saan kombensiyonal na kinakatawan ng unang bilang ang planong pahalang at madalas na sinusulat na x, at kombensiyonal na kinakatawan ng pangalawang bilang ang planong patayo at madalas na sinusulat na y. Madaling nilalahat ang itong ideya sa tatlong dimensiyonal na espasyo, kung saan ang isang punto ay kinakatawan ng isang tripleteng iniaayos kung saan kinakatawan ng karagdagang pangatlong bilang (z) ang lalim. Ang mga karagdagan mga paglalahat ay kinakatawan ng isang tuplang iniaayos ng n mga terminong (a₁, a₂, … , a_n), kung saan ang n ay dimensiyon ng espasyo kung saan natatagpuan ang punto.

Ang mararaming kayarian sa heometriyang Euclidean ay kinabibilangan ang isang impinitong koleksiyon ng mga punto na natutugunan ang ilang mga aksiyoma. Ito ay karaniwang kinakatawan ng isang pangkat ng mga punto. Halimbawa, ang isang guhit ay isang impinitong pangkat ng mga punto na may pormang

$$L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,$$

kung saan ang c₁ hanggang sa c_n at d ay mga konstante at ang n ay dimensiyon ng espasyo. May tulad ng mga kayarian na ipinapaliwanag ang plano, linyang segmento, at ibang mga konseptong kaukulan. Ang isang linyang segmentong kinabibilangan lang ng nag-iisang punto ay tinatawag na deheneradong linyang segmento.

Kasama na mga katuturan ng mga punto at kaukulang kayarian, ipinanukala ni Euclides ang isang ideyang klabe tungkol sa mga punto, na ang anumang dalawang punto ay maaaring ikonekta ng isa (at isa lang) na tuwid na guhit. Ito ay madaling kinukumpirma sa ilalim ng mga modernong pagpapatuloy ng heometriyang Euclidean, at sa kaniyang introduksiyon nilalang ang mga pangmatagalang kinahinatnan. Ginawa ng ganyang mga kinahinatnan posible halos ang lahat ng mga heometrikong konseptong alam sa panahon. Gayunman, ni kumpleto ni depinitibo ang panukala ng mga punto ni Euclides, at paminsan-minsan ipinalagay niya ang mga katotohanan tungkol sa mga punto na hindi diretsong resulta ng kaniyang mga aksiyoma, tulad ng pag-aayos ng mga punto sa guhit o pagiging ng mga espesipikong punto. Sa kabila nito, ang mga modernong pagpapalaki ng sistema ay nag-aalis ng nitong mga palagay.

Dimensiyon ng isang punto

May mararaming katuturang di-katumbas para sa dimensiyon sa matematika. Sa lahat ng mga karaniwang katuturan, walang dimensiyon ang isang punto.

Sa espasyong bektor

Pangunahing artikulo: Dimensiyon (espasyong bektor)

Ang dimensiyon ng isang espasyong bektor ay maximum na laki ng isang subpangkat na linyar na independiyente. Sa isang espasyong bektor na may nag-iisang punto (na dapat serong bektor na 0) walang subpangkat na linyar na independiyente. Ang mismong serong bektor ay hindi linyar na independiyente, kasi may isang kombinsasyong di-tribiyal na linyar na ginagawa nitong sero: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Sa topolohiya

Pangunahing artikulo: Dimensiyong tinatakpan ni Lebesgue

Ang dimensiyong topolohikal ng isang espasyong topolohikal na $X$ ay ipinapaliwanag bilang minimum na halaga ng n, kung saan kada pinitong bukas na takip (Ingles: open cover) na ${\mathcal {A}}$ ng $X$ ay inaatim ang isang pinitong bukas na takip na ${\mathcal {B}}$ ng $X$ na nililinaw ${\mathcal {A}}$ upang ang walang punto ay sinasaklaw sa mas kaysa sa n+1 na elemento. Kung walang minimal na n, sinasabi na ang espasyo ay may impinitong tinatakpang dimensiyon.

Sero-dimensiyonal ang isang punto na may paggalang sa tinatakpang dimensiyon kasi ang kada bukas na takip ng espasyo ay may paglilinaw na kinabibilangan ng nag-iisang bukas na pangkat.

Dimensiyon ni Hausdorff

Pangunahing artikulo: Dimensiyon ni Hausdorff

Hayaan ang X na maging isang metrikong espasyo. Kung S ⊂ X at d ∈ [0, ∞), ang d-dimensiyonal na nilalaman ni Hausdorff ng S ay impimum (Ingles: infimum) ng pangkat ng mga bilang na δ ≥ 0 kung saan may ilang (naka-index na) koleksiyon ng mga bolang $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ na tinatakpan ang S, kung saan r_i > 0 para sa kada i ∈ I na natutugunan ang

$$\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .$$

Ang dimensiyon ni Hausdorff ng X ay ipinapaliwanag ng

$$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$$

Ang isang punto ay may dimensiyon ni Hausdorff na 0 dahil natatakpan ng nag-iisang bola na may radyong arbitraryong maliit.

Heometriyang walang punto

Sa itong konteksto, ang pariralang "walang punto" ay sinadya upang maunawaan nang literal, at hindi ipinapahiwatig na "inutil".

Maski ang nosyon ng isang punto ay karaniwang ipinalalagay pundamental sa pangunahing heometriya, may mga sistema na hindi ginagamit ito, e.g. heometriyang di-komutatibo at topolohiyang walang punto. Ang isang espasyong "walang punto" o "libre ng punto" ay ipinapaliwanag hindi bilang isang pangkat, kundi via ilang istruktura (alhebraiko o lohikal ayon sa pagkakabanggit) na nahahawig ang isang kilalang espasyong punsiyon sa pangkat: isang alhebra ng mga patuloy na punsiyon o isang alhebra ng mga pangkat ayon sa pagkakabanggit. Mas eksakto na, nilalahat ng ilang mga istruktura ang kilalang mga espasyo ng mga punsiyon upang operasyong "kumuka ng isang halaga sa itong punto" maaaring walang katuturan. Ang ibang tradisyon ay nagsisimula mula sa ilang mga aklat ni Alfred North Whitehead kung saan ang nosyon ng rehiyon ay ipinalalagay bilang isang primitibo kasama na nosyon ng pagsasama (Ingles: inclusion) o koneksiyon (Ingles: connection).

Mga masang punto, at punsiyong delta ni Dirac

Pangunahing artikulo: Punsiyong delta ni Dirac

Sa pisika at matematika, madalas na kapaki-pakinabang ang isip ng isang punto bilang isa na walang masa ni karga (ito ay lalo na karaniwan sa klasikong elektromagnetismo, kung saan ang mga elektron ay ikinakaperpekto bilang mga punto na may kargang di-sero). Ang punsiyong delta ni Dirac, o punsiyong δ, ay (impormal na) isang punsiyong nilalahat (Ingles: generalized function) sa tunay na guhit ng bilang na ay sero sa lahat ng dako maliban sa sero, na may isang integral ng isa nasa buong tunay na guhit. Ang punsiyong delta ay minsan iniisip bilang isang impinitong mataas na, impinitong manipis na pako sa orihen, na may total na sukat ng isa sa ilalim ng pako, at pisikal na kinakatawan ang isang ikinakaperpektong masang punto o kargang punto. Ipinakilala ni teoretikal na pisiko ni Paul Dirac. Sa konteksto ng pagproseso ng signal madalas na tinutukoy bilang simbolong (o punsiyong) yunit na impulso. Ang kaniyang diskretong analogo ay delta ni Kronecker na karaniwang ipinapaliwanag sa isang pinitong sakop at kumukuha ng halagang 0 at 1.

Tingnan din

• Punto ng pagtitipon (Ingles: Accumulation point)
• Espasyong apin (Ingles: Affine space)
• Punto ng hangganan (Ingles: Boundary point)
• Puntong kritikal (Ingles: Critical point)
• ? (Ingles: Cusp)
• Mga pundasyon ng heometriya (Ingles: Foundations of geometry)
• Posisyon (heometriya) (Ingles: Position (geometry))
• Ulap ng mga punto (Ingles: Point cloud)
• Proseso ng mga punto (Ingles: Point process)
• ? (Ingles: Point-set registration)
• ? (Ingles: Pointwise)
• Puntong isahan ng isang kurba (Ingles: Singular point of a curve)
• Heometriya ni Whitehead ng walang punto (Ingles: Whitehead point-free geometry)