Matematikang pangbiolohiya
Ang Matematikal at teoretikal na biolohiya ay isang interdisiplinaryong pagsasaliksik siyentipiko na may isang saklaw ng mga aplikasyon sa biolohiya, medisina, at bioteknolohiya.[1] Ang larangang ito ay maaaring tukuyin bilang isang matematikal na biolohiya o biomatematika upang bigyang diin ang panig na matematiko o bilang isang teoretikal na biolohiya upang bigyang diin ang panig na biolohikal.[2] Ito ay kinabibilangan ng hindi bababa sa apat na mga pangunahing pang-ilalim na larangan: biolohikal na matematikong pagmomodelo, relasyonal na biolohiya/mga sistemang kompleks na biolohiya, bioninformatika at komputasyon na bio-pagmomodelo/bio-pagkukwenta. Ang matematikal na biolohiya ay naglalayon sa represantasyong matematikal, pagtatrato at pagmomodelo ng mga prosesong biolohikal gamit ang iba't ibang mga paraan at kasangkapang matematiko. Ito ay parehong may mga teoretikal at praktikal na aplikasyon sa pagsasaliksik biolohikal, biomedikal at bioteknolohiya. Halimbawa sa biolohiya ng selula, ang mga interaksiyon ng protina ay kadalasang kinakatawan ng mga modelong "cartoon" na bagaman madaling i-biswalisa ay hindi tumpak na naglalarawan ng mga sistemang pinag-aaralan. Upang magawa ito, ang mga tumpak na modelo ay kinakailangan. Sa pamamagitan ng mga sistema sa kwantitatibong paraan, ang mga pag-aasal nito ay mas mabuting magagaya at kaya ang mga katangian ay maaaring hulaan na maaaring hindi ebidente sa gumagawa ng eksperimento. Ang gayong mga sakop ng matematika gaya ng kalkulo, teoriya ng probabilidad, estadistika, alhebrang abstrakto, teoriya ng grapo, kombinatorika, heometriyang alhebraiko. topolohiya, mga sistemang dinamikal, mga ekwasyong diperensiyal at teoriya ng pagkokodigo ay nilalapat na ngayon sa biolohiya.[3] Ang ilang mga sakop gaya ng estadistika ay binuo bilang mga kasangkapan habang isinasagawa ang pagsasaliksik sa matematikal na biolohiya.
Mga sakop ng pagsasaliksik
baguhinAng ilang mga sakop ng espesyalisadong pagsasaliksik sa matematikal at teoretikal na biolohiya[4][5][6][7][8] gayundin ang mga panlabas na ugnayan na nauugnay sa iba't ibang mga proyekto sa iba't ibang mga unibersidad ay maikling itinatanghal sa mga sumunuod na pang-ilalim na seksiyon. Ang sa mga isinamang halimbawa ay inilalarawan ng mataas na komplikado, hindi linyar, at mga mekanismong superkompleks dahil tumataas na nakikilalang ang resulta ng mga gayong interaksiyon ay maaari lamang maunawaan sa pamamagitan ng kombinasyon ng mga modelong matematikal, lohikal, pisika/kemikal, molekular at komputasyonal. Dahil sa malawak na pagkakaiba iba ng nasasangkot na spesipikong kaalaman, ang pagsasaliksik biomatematikal ay kadalasang ginagamit sa pakikipagtulungan sa pagitan ng mga matematiko, biomatematiko, mga biologong teoretikal, mga pisiko, mga biopisiko, mga biokemiko, mga bioinhinyero, mga inhinyeryo, mga pisiolohista, mga biologong molekular, mga henetisista, mga embryologo, mga zoologo, mga kemiko at iba pa.
Biolohiyang ebolusyonaryo
baguhinAng ekolohiya at ebolusyon ay tradisyonal na mga nananaig na larangan sa matematikal na biolohiya. Ang ebolusyon ay paksa ng malawak ng pagteteorisang matematikal. Ang kabuuang pangalan ng larangang ito ay henetikang populasyon. Ang karaniwang henetikang populasyon ay nagsasaalang alang ng mga pagbabago sa mga prekwensiya ng mga allele sa isang maliit na bilang ng mga locus ng gene. Kapag ang mga epektong inpinitesimal sa isang malaking bilang ng loci ng gene ay isinasaalang alang, ang isa ay humahango ng henetikang kwantitatibo. Si Ronald Fisher ay gumawa ng mga pagsulong pundamental sa estadistika gaya ng analisis ng bariansa sa pamamagitan ng kanyang akda sa henetikang kwantitatibo. Ang isa pang mahalagang sangay ng henetikang populasyon ay umuukol sa phylohenetikang komputasyonal. Ang phylohenetika ay isang sakop na umuukol sa rekonstruksiyon at analisis ng mga punong phylohenetiko(ebolusyonaryo) at mga network batay sa mga minanang mga katangian.[9] Ang mga modelong tradisyonal na henetikang populasyon ay umuukol sa mga allele at henotipo at kadalasang stokastiko. Sa ebolusyonaryong teoriya ng laro na unang binuo ni John Maynard Smith, ang mga konseptong ebolusyonaryong biolohiya ay maaaring kumuha ng isang anyong matematikal na deterministiko na may seleksiyong umaasal ng direkta sa mga minanang penotipo. Maraming mga modelong henetikang populasyon ay nagpapalagay na ang mga sukat ng populasyon ay konstante. Ang nagbabagong mga sukat ng populasyon na kadalasan ay sa kawalan ng mga bariasyong henetiko ay tinatrato ng larangan ng dinamikang populasyon. Ang paggawa sa sakop na ito ay may petsang bumabalik noong ika-19 siglo at kahit pa noong 1798 nang ipormula ni Thomas Robert Malthus ang unang prinsipyo ng dinamikang populasyon na kalaunang nakilala bilang modelong paglagong Malthusian. Ang mga ekwasyon ng maninila-sinisila na Lotka-Volterra ay isa pang sikat na halimbawa. Ang dinamikang populasyon ay sumasanib sa isa pang aktibong sakop ng pagsasaliksik sa matematikal na biolohiya: epidemiolhiyang matematika na pag-aaral ng nakahahawang sakit na umaapekto sa mga populasyon. Ang iba't ibang mga modelo ng pagkalat ng mga impeksiyon ay iminungkahi at siniyasat at nagbibigay ng mga mahalagang resulta na maaaring ilapat sa mga patakarang desisyon ng kalusugan.
Mga modelo ng komputer at teoriyang automata
baguhinAng isang monograpo sa paksang ito ay nagbubuod ng malawak na halagang inilimbag na pagsasaliksik sa sakop na ito hanggang 1986[10][11][12] kabilang ang mga subseksiyon sa sumusunod na mga sakop: pagmomodelo ng kompyuter sa biolohiya at medisina, mga modelong sistemang arterial, mga modelo ng neuron, mga network na biokemikal at osilasyon, automatang quantum Naka-arkibo 2016-01-07 sa Wayback Machine., mga kompyuter na quantum sa biolhiyang molekular at henetika ,[13] pagmmodelo ng kanser,[14] mga neural net, mga network na henetiko, mga abstraktong kategorya sa relasyonal na biolohiya,[15] mga sistemang metaboliko-replikasyon, teoriya ng kategorya[16] mga aplikasyon sa biolohiya at medisina,[17] teoriyang automata, automatang selular, mga modelong tesselasyon[18][19] at kompletong reproduksiyon sa sarili[patay na link], mga sistemang magulo sa mga organismo, biolohiyang relasyonal at mga teoriyang organismiko.[4][20][21][22][23]
Pamomodelo ng selula at biolohiyang molekular
Ang sakop na ito ay napukaw sanhi ng lumalagong kahalagahan ng biolohiyang molekular.[7]
- Mekanika ng mga tisyung biolohikal[24]
- Teoretikal na ensaymolohiya at kinetikang ensaym
- Pagmomodelo ng kanser at simulasyon[25][26]
- Pagmomodelo ng paggalaw ng mga nauugnayang mga populasyon ng selula[27]
- Pagmomodelong matematikal ng pormasyon ng tisyu ng scar[28]
- Pagmomodelong matematikal ng mga dinamikang intraselular[29][30]
- Pagmomodelong matematikal ng siklo ng selula[31]
Pagmomodelo ng mga sistemang pisiolohikal
Teoriyang hanay na molekular
baguhinAng teoriyang hanay na molekular ay ipinakilala ni Anthony Bartholomay at ang mga aplikasyon nito ay pinaunlad sa matematikal na biolohiya lalo na sa medisinang matematikal.[34] Ang teoriyang hanay na molekular(MST) ay isang pormulasyong matematikal ng malawak na kahulugang kinetikang kemikal ng mga reasiyong biomolekular sa mga termino ng mga hanay ng molekula at mga transpormasyong kemikal nito ay ikinatawan ng mga pagmamapang hanay teoretikal sa pagitan ng mga hanay molekular. Sa mas pangkalahatang kahulugan, ang MST ang teoriya ng mga kategoryang molekular na inilalarawan bilang mga kategorya ng mga hanay molekular at ang mga transpormasyong kemikal na kinatawan bilang mga pagmamapa ng mga hanay molekular. Ang teoriya ay nag-ambag rin sa bioestadistika at ang pormulasyon ng mga problemang klinikal na biokemika sa mga pormulasyong matematikal ng patolohikal, mga pagbabagong biokemikal na interesante sa pisiolohiya, klinikal na biokemika at medisina.[34][35]
Mga pamamaraang matematikal
baguhinAng isang modelo ng sistemang biolohikal ay kinokonberte sa isang sistema ng mga ekwasyon bagaman ang salitang modelo ay kadalasang kasing kahulugan ng sistema ng mga tumutugong ekwasyon. Ang solusyon ng mga ekwasyon ay umaasal sa loob ng panahon o sa ekwilibrium. Mayroong maraming mga iba't ibang uri ng mga ekwasyon at ang uri ng pag-aasal na maaaring mangyari ay nakasalalay sa parehong ginamit na modelo at mga ekwasyon. Ang modelo ay kadalasang gumagawa ng mga asumpsiyon tungkol sa sistema. Ang mga ekwasyon ay maaari ring gumawa ng mga asumpsiyon tungkol sa kalikasan ng kung anong maaaring mangyari.
Biopisikang matematikal
baguhinAng mga mas naunang yugto ng biolohiyang matematika ay pinanaigan ng biopisikang matematikal bilang aplikasyon ng matematika sa biopisika na kadalasang sumasangkot sa spesipikong mga modelong pisikal/matematikal ng mga biosistema at mga bahagi nito.
Ang sumusunod ay isang talaang ng mga deskripsiyong matematikal at mga asumpsiyon.
Mga prosesong deterministiko (mga sistemang dinamikal)
baguhinAng isang nakapirmeng pagmamapa sa pagitan ng isang inisyal o simulang estado at isang huling estado. Sa pagsisimula mula sa isang inisyal na kondisyon at paggalaw ng pasulong sa panahon, ang isang prosesong deterministiko ay palaging lilikha ng parehong trahektoryo at walang dalawang mga trahektoryo ay tumatawid sa espasyong estado.
- Mga ekwasyong diperensiya – diskretong panahon, tuloy tuloy na espasyong estado.
- Mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal – tuloy tuloy na panahon, tuloy tuloy na espasyong estado, walang mga deribatibong pang-espasyo.
- Mga ekwasyong parsiyal diperensiyal – tuloy tuloy na panahon, tuloy tuloy na espasyong estado, mga deribatong pang-espasyo.
Mga prosesong stokastiko (mga randomang sistemang dinamikal)
baguhinAng isang randomang pagmamapa sa pagitan ng isang inisyal na estado at isang huling estado na gumagawa sa estado ng sistema na isang randomang bariabulo na may tumutugong distribusyong probabilida
- Mga prosesong hindi Markovian – ekwasyong master – tuloy tuloy na panahon na may memorya ng mga nakaraang pangyayari, diskretong espasyong estado, ang paghihintay ng mga pangyayari(o mga transisyon sa pagitan ng mga estado) ay diskretong nangyayari at may isang nilahat na distribusyong probabilidad.
- Pagtalong tuloy tuloy na panahong prosesong Markov – ekwasyong master – tuloy tuloy na panahon na walang memorya ng mga nakaraang pangyayari, diskretong espasyong estado, ang mga paghihintay na panahon sa pagitan ng mga pangyayari ay diskretong nangyayari at may distibusyong eksponensiyal.
- Tuloy tuloy na prosesong Markov – mga ekwasyong stokisto diperensiyal o isang ekwasyong Fokker-Planck – tuloy tuloy na panahon, tuloy tuloy na espasyong estado, ang mga pangyayari ay nangyayari ng tuloy tuloy ayon sa isang randomang prosesong Wiener.
Pagmomodelong pang-espasyo
baguhinAng isang klasikong akda sa sakop na ito ang papel ni Alan Turin tungkol sa morpohensis na The Chemical Basis of Morphogenesis na inilimbag noong 1952 sa Philosophical Transactions of the Royal Society.
- Ang paglalakbay ng mga alon sa isang assay ng gumagaling na sugat[36]
- Pag-aasal na pagkuyog[37]
- Isang teoriyang mekanokemikal ng morpohensis [38]
- Pormasyong paternong biolohikal[39]
- Pagmomodelo ng distribusyong pang-espasyo gamit ang mga sampol ng pagbabakas.[40]
Biolohiyang relasyonal
baguhinAng Abstraktong Biolohiyang Relasyonal(ARB)[41] ay umuukol sa pag-aaral ng pangkalahatan, mga modelong relasyonal ng mga sistemang biolohikal na komplikado na karaniwang nag-aabstrkato ng spesipikong mga istrakturang morpolohika o anatomikal. Ang ilang pinakasimpleng mga modelo sa ARB ang Metabolikong-Replikasyon o (M,R) na mga sistemang ipinakilala ni Robert Rosen noong 1957-1958 bilang abstraktong mga modelong relasyonal ng organisasyong organismal at selular.
Biolohiyang alhebraiko
baguhinAng biolohiyang alhebraiko ay naglalapat ng mga pamamaraang alhebraiko ng komputasyong simboliko sa pag-aaral ng mga problemang biolohikal lalo na sa henomika, protemika, analisis ng mga istrakturang molekular at pag-aaral ng mga gene.[20][42][43]
Mga sanggunian
baguhin- ↑ "Mathematical and Theoretical Biology: A European Perspective". Inarkibo mula sa orihinal noong 2012-02-29. Nakuha noong 2012-09-01.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "There is a subtle difference between mathematical biologists and theoretical biologists. Mathematical biologists tend to be employed in mathematical departments and to be a bit more interested in math inspired by biology than in the biological problems themselves, and vice versa." Careers in theoretical biology Naka-arkibo 2019-09-14 sa Wayback Machine.
- ↑ Robeva, Raina; atbp. (Taglagas 2010). "Mathematical Biology Modules Based on Modern Molecular Biology and Modern Discrete Mathematics". CBE Life Sciences Education. The American Society for Cell Biology. 9 (3): 227–240. doi:10.1187/cbe.10-03-0019. PMC 2931670. PMID 20810955.
{{cite journal}}:|access-date=requires|url=(tulong); Explicit use of et al. in:|author2=(tulong)CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ 4.0 4.1 Baianu, I. C.; Brown, R.; Georgescu, G.; Glazebrook, J. F. (2006). "Complex Non-linear Biodynamics in Categories, Higher Dimensional Algebra and Łukasiewicz–Moisil Topos: Transformations of Neuronal, Genetic and Neoplastic Networks". Axiomathes. 16: 65. doi:10.1007/s10516-005-3973-8.
{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Łukasiewicz-Topos Models of Neural Networks, Cell Genome and Interactome Nonlinear Dynamic Models (2004) http://cogprints.org/3701/01/ANeuralGenNetworkLuknTopos_oknu4.pdf/ Naka-arkibo 2007-07-13 sa Wayback Machine.
- ↑ Complex Systems Analysis of Arrested Neural Cell Differentiation during Development and Analogous Cell Cycling Models in Carcinogenesis (2004) http://cogprints.org/3687/
- ↑ 7.0 7.1 "Research in Mathematical Biology". Maths.gla.ac.uk. Nakuha noong 2008-09-10.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ J. R. Junck. Ten Equations that Changed Biology: Mathematics in Problem-Solving Biology Curricula, Bioscene, (1997), 23(1):11-36 Naka-arkibo 2009-03-26 sa Wayback Machine. New Link (Aug 2010)
- ↑ Charles Semple (2003), Phylogenetics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850942-4
- ↑ "Computer Models and Automata Theory in Biology and Medicine" (1986). In:Mathematical Modeling: Mathematical Models in Medicine, volume 7:1513-1577, M. Witten, Ed., Pergamon Press: New York. http://cdsweb.cern.ch/record/746663/files/COMPUTER_MODEL_AND_AUTOMATA_THEORY_IN_BIOLOGY2p.pdf
- ↑ Lin, H.C. 2004. "Computer Simulations and the Question of Computability of Biological Systems": 1-15,doi=10.1.1.108.5072. https://tspace.library.utoronto.ca/bitstream/1807/2951/2/compauto.pdf
- ↑ "Computer Models and Automata Theory in Biology and Medicine" (1986).(Abstract) http://biblioteca.universia.net/html_bura/ficha/params/title/computer-models-and-automata-theory-in-biology-and-medicine/id/3920559.html Naka-arkibo 2011-10-04 sa Wayback Machine.
- ↑ "Natural Transformations Models in Molecular Biology"(1983). In: SIAM and Society of Mathematical Biology, National Meeting, Bethesda,MD:1-12. http://citeseerx.ist.psu.edu/showciting;jsessionid=BD12D600C39F9979633DB877CA74212B?cid=642862
- ↑ "Quantum Interactomics and Cancer Mechanisms" (2004): 1-16, Research Report communicated to the Institute of Genomic Biology, University of Illinois at Urbana https://tspace.library.utoronto.ca/retrieve/4969/QuantumInteractomicsInCancer_Sept13k4E_cuteprt.pdf Naka-arkibo 2020-11-08 sa Wayback Machine.
- ↑ Kainen,P.C. 2005."Category Theory and Living Systems", In: Charles Ehresmann's Centennial Conference Proceedings: 1-5,University of Amiens, France, October 7-9th, 2005, A. Ehresmann, Organizer and Editor. http://vbm-ehr.pagesperso-orange.fr/ChEh/articles/Kainen.pdf
- ↑ "bibliography for category theory/algebraic topology applications in physics". PlanetPhysics. Inarkibo mula sa orihinal noong 2016-01-07. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "bibliography for mathematical biophysics and mathematical medicine". PlanetPhysics. 2009-01-24. Inarkibo mula sa orihinal noong 2016-01-07. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Modern Cellular Automata by Kendall Preston and M. J. B. Duff http://books.google.co.uk/books?id=l0_0q_e-u_UC&dq=cellular+automata+and+tessalation&pg=PP1&ots=ciXYCF3AYm&source=citation&sig=CtaUDhisM7MalS7rZfXvp689y-8&hl=en&sa=X&oi=book_result&resnum=12&ct=result
- ↑ "Dual Tessellation – from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2010-03-03. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ 20.0 20.1 Baianu, I. C. 1987, Computer Models and Automata Theory in Biology and Medicine., in M. Witten (ed.),Mathematical Models in Medicine, vol. 7., Ch.11 Pergamon Press, New York, 1513-1577. http://cogprints.org/3687/
- ↑ "Computer models and automata theory in biology and medicine | KLI Theory Lab". Theorylab.org. 2009-05-26. Inarkibo mula sa orihinal noong 2011-07-28. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Currently available for download as an updated PDF: http://cogprints.ecs.soton.ac.uk/archive/00003718/01/COMPUTER_SIMULATIONCOMPUTABILITYBIOSYSTEMSrefnew.pdf Naka-arkibo 2008-12-16 sa Archive-It
- ↑ "bibliography for mathematical biophysics". PlanetPhysics. Inarkibo mula sa orihinal noong 2016-01-07. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Ray Ogden (2004-07-02). "rwo_research_details". Maths.gla.ac.uk. Inarkibo mula sa orihinal noong 2009-02-02. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Oprisan, Sorinel A.; Oprisan, Ana (2006). "A Computational Model of Oncogenesis using the Systemic Approach". Axiomathes. 16: 155. doi:10.1007/s10516-005-4943-x.
{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "MCRTN – About tumour modelling project". Calvino.polito.it. Inarkibo mula sa orihinal noong 2011-11-03. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Jonathan Sherratt's Research Interests". Ma.hw.ac.uk. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Jonathan Sherratt's Research: Scar Formation". Ma.hw.ac.uk. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Kuznetsov, A.V.; Avramenko, A.A. (2009). "A macroscopic model of traffic jams in axons". Mathematical Biosciences. 218 (2): 142–152. doi:10.1016/j.mbs.2009.01.005.
{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Archive copy" (PDF). Inarkibo mula sa orihinal (PDF) noong 2006-03-23. Nakuha noong 2012-09-01.
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link) CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Archive copy". Inarkibo mula sa orihinal noong 2007-07-28. Nakuha noong 2012-09-01.
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link) CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Hassan Ugail. "Department of Mathematics – Prof N A Hill's Research Page". Maths.gla.ac.uk. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Integrative Biology – Heart Modelling". Integrativebiology.ox.ac.uk. Inarkibo mula sa orihinal noong 2009-01-13. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ 34.0 34.1 "molecular set category". PlanetPhysics. Inarkibo mula sa orihinal noong 2016-01-07. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Representation of Uni-molecular and Multimolecular Biochemical Reactions in terms of Molecular Set Transformations http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10770Padron:Unreliable medical source
- ↑ "Travelling waves in a wound". Maths.ox.ac.uk. Inarkibo mula sa orihinal noong 2008-06-06. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Archive copy". Inarkibo mula sa orihinal noong 2007-06-12. Nakuha noong 2012-09-01.
{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link) CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "The mechanochemical theory of morphogenesis". Maths.ox.ac.uk. Inarkibo mula sa orihinal noong 2008-06-06. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Biological pattern formation". Maths.ox.ac.uk. Inarkibo mula sa orihinal noong 2004-11-12. Nakuha noong 2010-03-17.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Hurlbert, Stuart H. (1990). "Spatial Distribution of the Montane Unicorn". Oikos. 58 (3): 257–271. JSTOR 3545216.
{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ "Abstract Relational Biology (ARB)". Inarkibo mula sa orihinal noong 2016-01-07. Nakuha noong 2012-09-01.
{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) - ↑ Michael P Barnett, "Symbolic calculation in the life sciences: trends and prospects, Algebraic Biology 2005" – Computer Algebra in Biology, edited by H. Anai, K. Horimoto, Universal Academy Press, Tokyo, 2006. (on line .pdf format Naka-arkibo 2006-06-16 sa Wayback Machine.)
- ↑ http://library.bjcancer.org/ebook/109.pdf Naka-arkibo 2012-03-10 sa Wayback Machine. L. Preziosi, Cancer Modelling and Simulation. Chapman Hall/CRC Press, 2003. ISBN 1-58488-361-8.