Bilang

Ang bilang^[1] o numero^[1] ay isang bagay na pang-matematika na ginagamit sa pagbilang at pagsukat. Tinatawag na pamilang^[1] o pambilang^[1] (mga numeral^[2]) ang isang simbolong pang-notasyon na kinakatawan ang isang bilang, ngunit ginagamit para sa parehong basal at ang simbolo, gayon din ang para sa salita sa bilang, ang karaniwang gamit ng salitang bilang. Karagdagan pa sa kanilang gamit sa pagbibilang at pagsusukat, kadalasang ginagamit ang mga pamilang sa pagtatak (mga numero ng telepono), para sa pagkakasunud-sunod (mga numerong seryal), at para sa mga kodigo (mga ISBN). Sa matematika, napalawak ang kahulugan ng bilang sa paglipas ng taon upang isama ang mga bilang tulad ng sero, negatibong bilang, mga makakatuwirang bilang (mga rational number), hindi makatuwirang bilang (mga irrational number), at mga masasalimuot na mga bilang (mga complex number).

Tinatawag na operasyon sa bilang ang ilang mga kaparaanan na pinapasok ang isa o higit pa na mga bilang at nilalabas ang isang bilang. Pinapasok at nilalabas ang unaryang operasyon sa nag-iisang bilang. Halimbawa, dinadagdag ng kahaliling operasyon sa isang buumbilang (integer): ang susunod sa 4 ay 5. Mas karaniwan ang mga operasyong binaryo na pinapasok ang dalawang bilang at ilalabas ang nag-iisang bilang. Kabilang sa halimbawa ng mga binaryong operasyon ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, at potensyasyon (exponentiation). Tinatawag na aritmetika ang pag-aaral sa mga operasyon sa bilang.

Tinatawag na masalimuot na alhebra (abstract mathematics) ang sangay ng matematika na pinag-aaralan ang mga istruktura sa mga sistema ng bilang tulad ng mga paksang tungkol sa mga pangkat (group), mga singsing (rings) at mga kuwerpo (fields).

Ang Mag-aanak na bilang

Masalimuot na bilang

Hindi totoong bilang

Totoong bilang

Hindi makatuwirang bilang

Mga uri ng bilang

Maraming mga uri ng bilang. Kabilang sa mga ito ang mga bilang na pambilang o mga likas na bilang, mga buumbilang o pambuong numero (mga integer, positibo at negatibong mga bilang)^[2], makakatuwirang mga bilang, hindi-makakatuwirang mga bilang, totoong mga bilang, hindi totoong mga bilang, at masasalimuot na mga bilang. Mahalaga ang lahat ng mga ito para sa mga matematiko at iba pang mga taong gumagamit ng bilang sa kanilang mga gawain at hanap-buhay.^[3]

Likas na bilang

Likas na bilang, bilang na pamilang, o bilang na pambilang (mga counting number o mga natural number) ang tawag sa mga bilang na ginagamit sa pagbibilang ng mga bagay (katulad nito: $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ at iba pa).^[3]

Buumbilang

Buumbilang, pambuong bilang, o pambuong numero (mga integer) ang tawag sa mga bilang na nasa kaliwa at kanan (maaari ring nasa ibaba at itaas ang mga bilang) ng isang talasukatan o iskala (guhit ng bilang o number line) na ang pinakagitna ay ang bilang na sero ( $0$ ), katulad ng: $-5,-4,-3,-2,-1,$ $0,$ $+1,+2,+3,+4,+5$ . May dalawang uri ng mga buumbilang: ang mga pasulong o positibo at ang mga pasalungat o negatibo. Hindi positibo o negatibo ang sero, ngunit ang lahat ng mga bilang na positibo at negatibo, pati na ang sero, ay mga buumbilang na lahat. Nilalagyan ng pananda o bantas na " $+$ " ang pasulong na mga bilang ngunit karaniwang tinatanggal upang katawanin ang mga pasulong na bilang (katulad ng $+1,+2,+3,$ at iba pa), samantalang binibigyan naman ng sagisag na " $-$ " ang mga pasalungat na bilang (katulad ng $-3,-2,-1,$ at iba pa).^[3]

Makatuwirang bilang

Ang isang makatuwirang bilang o numerong rasyonal ay isang bilang na maipamamalas o maihahayag bilang isang hatimbilang o bahaging-bilang praksiyon o fraction na may panakda o numerador (numerator) ng buumbilang at isang numerong-pamahagi o denominador (denominator) ng hindi-serong likas na bilang.

Ang bahaging-bilang na m/n o:

m \over n\,

ay kumakatawan sa m magkakapantay na mga bahagi, kung saan ang n magkakapantay na mga bahagi ng sukat na ito ang bumubuo sa isang kabuoan. Ang dalawang magkaibang mga bahaging-bilang ay maaaring umayon sa katulad na makatuwirang bilang; halimbawa na ang $1/2$ at $2/4$ ay magkatumbas, kaya't kung gayon ay:

{1 \over 2}={2 \over 4}\,

Kung ang ganap na halaga o lubos na halaga (absolutong halaga o absolute value) ng m ay mas mahigit kaysa n, kung gayon ang ganap na halaga ng bahaging-bilang ay mas malaki kaysa 1. Maaaring mas mataas (mas mahigit), mas mababa, o katumbas ng $1$ ang mga hatimbilang at maaari ring maging pasulong (positibo), pasalungat (negatibo), o sero (wala). Kabilang sa pangkat o set ng lahat ng makakatuwirang mga bilang ang mga buumbilang, dahil bawat buumbilang o integer ay maaaring maisulat bilang isang hatimbilang na may numerong-pamahagi o denominador. Bilang halimbawa, maisusulat ang −7 sa anyong – $7/1$ . " $Q$ " (para sa kinahatian, kusyente, o quotient) ang sagisag para sa makakatuwirang mga bilang, na maisusulat din sa ganitong paraan: $\mathbb {Q}$ . Maikakatawan din ang makakatuwirang mga bilang sa hanay ng isang guhit o linya ng bilang.^[3]

Hindi makatuwirang bilang

Ang hindi makatuwirang mga bilang o mga numerong irasyonal ay ang mga bilang na hindi maipahayag bilang mga pamahaging bilang o kusyente.^[3] Ito rin ang anumang mga bilang na hindi makatuwirang bilang, o mga bilang na hindi maipamamalas bilang mga hatimbilang na m/n, kung saan ang m at n ay mga buumbilang, at hindi sero ang n. Sa hindi pormal na paglalarawan, nangangahulugang mga bilang ito hindi maipapahayag bilang payak na mga hatimbilang. Maiaakmang hindi rin sila maipapahayag bilang mga nagtatapos (nagwawakas) o umuulit na mga desimal, subalit mas marubdob o ganap ang diwa kaysa riyan. Bilang kinalabasan ng katibayan ni Georg Cantor na hindi mabibilang ang tunay na mga bilang (at mabibilang ang mga makakatuwirang bilang) sinusundan nito na halos lahat ng tunay na mga bilang ay makakatuwirang mga bilang.^[4] Marahil, ang pinakakilalang makakatuwirang mga bilang ay ang π, e, at √2.^[5]^[6]^[7] Katulad ng makakatuwirang mga bilang, maikakatawan din ang hindi makakatuwirang mga bilang sa hanay ng isang linya ng bilang o talasukatan.^[3]

Totoong bilang

Ang totoong bilang o tunay na numero (real number) ay ang anumang bilang na maitutugma sa isang puwesto, posisyon, o punto sa ibabaw ng isang guhit ng bilang. Kabilang sa mga ito ang mga bilang na makatuwiran at hindi makakatuwirang mga bilang.^[3]

Hindi totoong bilang

Ang hindi totoong bilang o numerong imahinaryo (imaginary number) ay ang parisukat na ugat (square root) ng isang pasalungat o negatibong bilang.^[3]

Masalimuot na bilang

Ang masasalimuot na mga bilang (mga complex number) ay mga bilang na may dalawang bahagi: ang totoo o tunay na bahagi at ang hindi totoo, hindi tunay, o imahinaryong bahagi. Isa ring masalimuot na bilang ang bawat uri ng bilang na nakasulat sa itaas. Mas isang panglahat o heneral na anyo ng mga bilang ang masasalimuot na mga bilang. Maaaring lutasin ang bawat ekwasyon sa pamamagitan ng pagagamit lamang ng masasalimuot na mga bilang. Maaaring iguhit o ilarawan sa ibabaw ng isang talangguhit o diagram ang ganitong mga bilang (katulad ng nasa lapya o plane na nakalarawan sa ibaba),^[3] na binubuo ng isang totoong guhit o linya ng bilang at ng isang hindi totoong guhit ng bilang.

           3i|_
             |
             |
           2i|_          . 2+2i
             |
             |
            i|_
             |
             |
 |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|
-2    -1     0     1     2     3     4     5     6
             |
           -i|_                .3-i
             |
             |
 .-2-2i   -2i|_
             |
             |
          -3i|_
             |

Bawat posisyon, puwesto, o puntong nasa talangguhit sa itaas ay kumakatawan sa kabuoan ng isang tunay na bilang at isang hindi tunay na bilang. Ginagamit ang mga bilang na ito sa paglutas ng masaligutgot o kumplikadong mga suliranin o problema hinggil sa elektrisidad o paglipad sa kalawakan.^[3]

Magagawa ang lahat ng karaniwan o normal na matematika na may mga bilang na masasalimuot:

Upang mapagsama o sumahin (adisyon) ang dalawang masasalimuot na mga bilang, magkahiwalay na pinagsasama-sama ang tunay at hindi tunay na mga bahagi. Halimbawa na ang $(2+3i)+(3+2i)=(2+3)+(3+2)i=5+5i$ .
Upang maibawas (subtraksiyon) ang isang isang masalimuot na bilang mula sa isa pang masalimuot na bilang, magkahiwalay na ibinabawas ang mga tunay at hindi tunay na mga bahagi. Halimbawa na ang $(7+5i)-(3+3i)=(7-3)+(5-3)i=4+2i$ .
Mahirap paramihin (multiplikasyon) ang dalawang masasalimuot na mga bilang. Mas madaling ilarawan ito sa pamamagitan ng panglahatang gawi na ginagamit ang dalawang masasalimuot na mga bilang na $a+b$ $i$ at $c+d$ $i$ .

(a+b\mathrm {i} )\times (c+d\mathrm {i} )=a\times c+a\times d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \times c+b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i}

Halimbawa na ang: (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Lumalampas na mga bilang

Ang lumalampas na mga bilang o mga numerong transendental ay ang mga bilang na hindi kayang tuusin sa pamamagitan lamang ng nabilang na ulit ng operasyon o kumbinasyon ng mga ekwasyong nagtataglay ng makakatuwirang mga mahahalagang koepisyente (rational integral coefficient). O, iyong mga bilang na hindi masasabing katumbas ng isang buumbilang o kusyente ng mga buumbilang (ayon sa paglalarawan ng mga bilang na kinabibilangan ng mga bilang na kilala sa tawag na hindi-umuulit na walang hangganang desimal o non-repeating infinite decimal).^[2] Samakatuwid, tinatawag na lumalampas na bilang ang isang totoo o masalimuot na bilang kung hindi ito makuha bilang isang kinalabasan o resulta ng isang alhebraikong ekwasyong may mga koepisyenteng buumbilang.

$a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

Maaaring maging napakahirap patunayang lumalampas o transendental ang isang partikular na bilang. Bawat isang lumalampas na bilang ay isa ring hindi makatuwirang bilang. Unang natuklasan nina Gottfried Wilhelm Leibniz at Leonhard Euler ang pagkakaroon ng ganitong mga uri ng bilang. Subalit si Joseph Liouville ang unang taong nakapagpatotoong may umiiral na lumalampas na mga bilang. Nagawa niya ito noong 1844.

Naririto ang pinakakilalang lumalampas na mga bilang:

e
π
e^a para sa alhebraikong a ≠ 0
$2^{\sqrt {2}}$

Sanggunian

Talababa

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 English, Leo James (1977). "Bilang, numero; pamilang, pambilang". Tagalog-English Dictionary (sa wikang Ingles). Congregation of the Most Holy Redeemer. ISBN 9710810731.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link), pahina 198-199, 936, at 980.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Gaboy, Luciano L. Integer, buumbilang, pambuong numero, positibo, negatibo; transcendental, transendental, atbp. - Gabby's Dictionary: Praktikal na Talahuluganang Ingles-Filipino ni Gabby/Gabby's Practical English-Filipino Dictionary, GabbyDictionary.com.
↑ ^3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 "Numbers and Number Systems". The New Book of Knowledge (Ang Bagong Aklat ng Kaalaman), Grolier Incorporated. 1977.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link), pahina 384-388.
↑ Cantor, Georg (1955, 1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1.
↑ The 15 Most Famous Transcendental Numbers ni Clifford A. Pickover. URL nakuha noong 24 Oktubre 2007.
↑ MathIsFun.com, URL nakuha noong 24 Oktubre 2007.
↑ Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld (sa wikang Ingles). URL nakuha noong 26 Oktubre 2007.

Talaaklatan

Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan company, 1930.

Erich Friedman, What's special about this number? Naka-arkibo 2018-02-23 sa Wayback Machine.
Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 Enero 1989, ISBN 0-15-543468-3.
Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Palimbagan ng Pamantasan ng Oxford, 1972.
Alfred North Whitehead at Bertrand Russell, Principia Mathematica, Palimbagan ng Pamantasan ng Cambridge, 1910.
George I. Sanchez, Arithmetic in Maya, Austin-Texas, 1961.
What's a Number? mula sa Cut-the-Knot.org
(sa Pranses) Jean-Paul G. Potet, Numeral expressions in Tagalog. Sa Archipel, 44 (1), 1992.
(sa Kastila) T.H. Pardo de Tavera. Consideraciones sobre el origen del nombre de los números en Tagalog Naka-arkibo 2020-08-14 sa Wayback Machine. (T. I Camacho, P. Somoza & PG Distributed Proofreaders, Eds.). Project Gutenberg. (Ang original na gawa ay inilathala noong 1889), 2005. Cantada, R.P. (Tagasalin) Salin sa Tagalog^{[patay na link]}.

[JETE-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 English, Leo James (1977). "Bilang, numero; pamilang, pambilang". Tagalog-English Dictionary (sa wikang Ingles). Congregation of the Most Holy Redeemer. ISBN 9710810731.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link), pahina 198-199, 936, at 980.

[Gaboy-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Gaboy, Luciano L. Integer, buumbilang, pambuong numero, positibo, negatibo; transcendental, transendental, atbp. - Gabby's Dictionary: Praktikal na Talahuluganang Ingles-Filipino ni Gabby/Gabby's Practical English-Filipino Dictionary, GabbyDictionary.com.

[NBK-3] 3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 "Numbers and Number Systems". The New Book of Knowledge (Ang Bagong Aklat ng Kaalaman), Grolier Incorporated. 1977.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link), pahina 384-388.

[4] Cantor, Georg (1955, 1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1.

[5] The 15 Most Famous Transcendental Numbers ni Clifford A. Pickover. URL nakuha noong 24 Oktubre 2007.

[6] MathIsFun.com, URL nakuha noong 24 Oktubre 2007.

[7] Weisstein, Eric W. "Irrational Number". MathWorld (sa wikang Ingles). URL nakuha noong 26 Oktubre 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]