Alhebra

Ang alhebra (mula sa Kastila: álgebra, at ito mula sa Arabe: الجبر‎, romanisado: al-jabr, lit. 'reunyon, pagsasauli') ay isang sangay ng matematika na pag-aaral ng mga batas ng mga operasyong matematika, ugnayan (relation), at paglikha ng mga konsepto na nagmumula sa mga ito gaya ng mga termino (term), polinomial, ekwasyon, at strakturang alhebraiko. Ang alhebra ay gumagamit ng mga baryable na kadalasan kinakatawan ng sulat Latin.

Inaatupag ng elementaryong alhebra ang pagpapatakbo ng itong mga baryable parang mga bilang at kaya binubuhay ang lahat ng matematika. Ang alhebrang basal ay pangalan na binibigyan, kadalasan sa edukasyon, sa pag-aaral ng mga istrukturang alhebraiko, halimbawa ang mga grupo, singsing, at kampo. Ang alhebrang linyar, na inaatupag ang mga linyar na ekwasyon at linyar na mapa, ay ginagamit para sa mga modernong tanghal ng heometriya, at may maraming magagagawang aplikasyon (halimbawa sa pagtataya ng panahon). Ang maraming sangay ng matematika ay kinibibilangan ng alhebra. Sa ilang mga kaniyang pangalan may "alhebra" (halimbawa komutatibong alhebra), at sa ilang mga wala (halimbawa teorya ni Galois).

Ginagamit ang salitang alhebra, hindi lang para sa pangalan ng isang sangay ng matematika at ilang mga subsangay, kundi pati para sa ilang mga uri ng istrukturang alhebraiko, halimbawa isang alhebra sa tapat ng isang kampo (Ingles: algebra over a field), kadalasang tinatawag na isang alhebra. Minsan na ginagamit ang parehong prase para sa isang subsangay at kaniyang mga pangunahing istrukturang alhebraiko, halimbawa alhebrang Boolean at isang alhebrang Boolean. Ang matematiko na dalubhasa sa alhebra ay tinatawag na alhebraista.

Etimolohiya

Ang salitang alhebra ay nagmumula sa pamagat ng isang aklat ni Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.^[1]

Nagmumula ang salitang alhebra sa Arabe: الجبر‎, romanisado: al-jabr, lit. 'reunyon, pagsasauli', at ito sa isang aklat (Arabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة‎, romanisado: al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah) ni al-Khwarizmi, Persang astronomo at matematiko na ang pangalan ay nabubuhay ngayong araw sa salitang algoritmo. Sa kaniyang gawa, ang terminong al-jabr ay tinukoy sa operasyon ng paglipat ng isang termino mula sa isang tabi ng isang ekwasyon hanggang sa iba. Kaya tinukoy ang "balanse" (Arabe: المقابلة‎, romanisado: al-muqābala) sa pagdaragdag ng katumbas na mga termino sa bawa't isang tabi. Ang itong prase ay pinaikli sa algeber o algebra sa Latin, at sa wakas ang salitang algebra ay pumasok sa wikang Ingles habang ika-15 na siglo, mula sa Kastila, Italyano, o Medyebal na Latin. Noong una tinukoy ang alhebra sa pagkukumpuni ng bali ang buto. Ang matematikong kahulugan ay inirecord muna sa Ingles noong ika-16 na siglo.

Alhebra bilang sangay ng matematika

Nagsimula ang alhebra sa mga komputasyon katulad sa mga iyon ng aritmetika, na may mga titik imbes na mga bilang. Ito ay inatim ang pagpapatunay ng mga propyedad na tunay kahit ano pa man ang mga bilang na kinabibilangan. Halimbawa, sa kwadratikong ekwasyon

ax^{2}+bx+c=0,

puwedeng $a,b,c$ anumang mga tunay na bilang (kundi na $a$ hindi puwedeng $0$ , kasi ito ay nauuwi sa linyar na ekwasyon) at nagagamit ang kwadratikong pormula para mabilis at madali na mahanap ng mga halaga ng hindi alam na dami ng $x$ na tumutupad ng ekwasyon (kumbaga, mahanap ang lahat ng mga solusyon ng ekwasyon).

Sa parehong makasaysayan at kasulukuyang edukasyon, ang pag-aaral ng alhebra ay nag-uumpisa sa paglutas ng mga ekwasyon, halimbawa kwadratikong ekwasyon sa itaas. Susunod na iniisip ang mas heneral na mga tanong, halimbawa "mayroon ba ang ekwasyon ng isang solusyon?", "ilang solusyon ay mayroon ang ekwasyon?", at "ano ang nakakapagsabi tungkol sa kilos ng mga solusyon?". Ng itong mga tanong ay napalawak ang alhebra sa bagay na di-numeriko, bilang mga permutasyon, bektor, baskagan, at polinomial.

Bago ang ika-16 na siglo, hinati lang ang matematika sa dalawang subsangay: aritmetika at heometriya. Bagaman ilang mga paraan, na mas maagang nabuo, ngayon iniisip na alhebra, ang paglitaw ng alhebra, at agad ang kalkulus, bilang mga subsangay ng matematika ay nangyari lang noong ika-16 o ika-17 na siglo. Mula sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo, lumitaw ang maraming bagong mga sangay ng matematika. Ang karamihan ay gumamit ng parehong aritmetika at heometriya, at halos na lahat ay gumamit ng alhebra.

Kasaysayan

Ang paggamit ng salitang "alhebra" para mangahulugan ng sangay ng matematika ay malamang nangyayari muna noong ika-16 na siglo. Ang salita ay hango sa Arabeng salitang al-jabr na lumilitaw sa pamagat ng sanaysay ng Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Ang Mabigat na Aklat Tungkol sa Kalkulasyon sa Pamamagitan ng Pagtapos at Balanse) na sinulat circa 820 ni al-Khwarizmi.

Ang al-jabr ay tinukoy ang paraan para baguhin ang mga ekwasyon sa pagbabawas ng mga katumbas na termino (Ingles: like terms) mula sa parehong tabi, o sa paglipat ng isang termino mula sa isang tabi hanggang sa iba, pagkatapos palitan ang senyas.

Kaya ang alhebra ay tinukoy muna ang pagpapatakbo ng mga ekwasyon at, sa pamamagitan ng pagpapatuloy, ang teorya ng mga ekwasyon.

Sa matematika, nag-evolve ang kahulugan ng alhebra pagkatapos ng introduksyon ni François Viète ng mga simbolo (mga baryable) para mangahulugan ng mga bilang na di-alam o di-kumpleto na tinukoy, at kasunod na paggamit ng notasyong matematikal para sa mga ekwasyon at pormula. Kaya ang alhebra ay esensiyal na naging pag-aaral ng aksiyon ng mga operasyon sa mga ekspresiyon na kinabibilangan ang mga baryable. Ito ay sinasaklaw, pero hindi nalilimitan, ang teorya ng mga ekwasyon.

Noong simula ng ika-20 na siglo, nag-evolve pa ang alhebra kapag pinag-isipan ang mga operasyon na gumagawa, hindi lang sa mga bilang, kundi pati sa mga elemento ng mga istrukturang matematikal tulad ng mga grupo, kampo, at espasyong bektor. Itong bagong alhebra ay tinawag na modernong alhebra ni van der Waerden sa kaniyang eponimong sanaysay, ngunit pinalitan ang pangalan sa Alhebra (Aleman: (Moderne) Algebra) sa susunod na mga limbag.

Maagang kasaysayan

Isang pahina mula sa sikat na aklat ni al-Khwarizmi.

Ang mga ugat ng alhebra ay nababakas sa mga sinaunang Babilonyo, na nabuo ang abanteng sistema ng aritmetika (sa pamamagitan ng nilang sistema seksahesimal) na inatim ang mga kalkulasyon sa isang algoritmikong paraan. Nabuo ni mga Babilonyo ang mga pormula para kalkulahin ang mga solusyon para sa mga problema na ngayong tipikal na nilulutas sa pamamagitan ng mga linyar na ekwasyon, kwadratikong ekwasyon, at di-tiyak na linyar na ekwasyon (Ingles: indeterminate linear equations). Sa kaibahan, ang karamihan ng mga Ehipto, at saka mga Griyego at Tsino noong unang milenyo BK, kalamitang lumutas ng ganyang mga ekwasyon sa pamamagitan ng mga heometrikong paraan, tulad ng mga paraan na inilarawan sa Papiro na Matematikal ni Rhind, Mga Elemento ni Euclides, at Siyam na Kabanata Tungkol sa Matematikal na Sining (Tsinong pinapayak: 九章算术; Tsinong tradisyonal: 九章算術). Ang heometrikong trabaho ng mga Griyego, halimbawa sa mga Elemento, ay naglaan ng balangkas para lumawak ng paggamit ng mga pormula sa higit ng paglutas ng partikular na mga problema, sa mas heneral na mga sistema ng pagsasabi at paglutas ng mga ekwasyon, ngunit hindi namulaklak ang ganyang pag-iisip (i.e. mula sa heneral na balangkas hanggang sa buong sistema) hanggang sa kaunlarad ng matematika sa medyebal na Islam.

Noong panahon ni Platon, sumailalim ang Griyegong matematika sa isang marahas na pagbabago. Lumikha ang mga Griyego ng heometrikang alhebra kung saan ang mga termino ay kinatawan ng mga tabi ng mga heometrikong bagay, kalimitang mga linya, na may kasama na mga titik. Si Diyopanto (Griyego: Διόφαντος, ika-3 na siglo AD) ay Griyegong matematiko ng Alehandriya at awtor ng isang serye ng aklat na tinatawag Arithmetica (Griyego: Ἀριθμητικά). Inaatupag ng itong mga teksto ang paglutas ng mga alhebraikong ekwasyon, at nagdulot, sa teorya ng bilang, sa modernong konsepto ng ekwasyong Diyopantino.

Ang itong mga maagang tradisyon, na napag-usapan sa itaas, deretso na naimpluwensiya si al-Khwarizmi. Nagtatag ang kaniyang aklat ng alhebra bilang matematikal na disiplina, malaya sa heometriya at aritmetika.

Ang mga Helenistikong matematikong Heron ng Alehandriya at Diyopanto, at saka ang mga matematiko ng Indiya tulad ni Brahmagupta, itinuloy ang tradisyon ng Ehipto at Babilonya, ngunit ang Arithmetica ni Diyopanto at ang Brāhmasphuṭasiddhānta ni Brahmagupta ay nasa mas mataas na antas. Halimbawa, ang unang buong aritmetikong solusyon, na sinulat sa mga salita imbes na mga simbolo, at na isinama sero at mga negatibong solusyon, para sa mga kwadratikong ekwasyon, ay inilarawan ni Brahmagupta sa kaniyang aklat ng Brahmasphutasiddhanta, na nilikha noong 628 AD. Pagkatapos, ang Persang at Arabeng mga matematiko ay bumuti ng mga alhebraikong paraan sa mas mataas na grado ng sopistikasyon. Karamihang gumamit man si Diyopanto at mga Babilonyo ng mga paraan na ad hoc para lutasin ang mga ekwasyon, pundamental ang kontribusyon ni al-Khwarizmi. Nilutas niya ang mga linyar at kwadratikong ekwasyon na hindi kinabibilangan ng alhebraikong simbolismo, mga negatibong bilang, o sero, kaya kailangang itangi ang maraming uri ng ekwasyon.

Modernong kasaysayan

Ni Girolamo Cardano, Italyanong matematiko, inilathala ang mga kalutasan para sa mga kubiko at kwartikong ekwasyon noong 1545 sa kaniyang aklat ng Ars magna.

Ang trabaho ni François Viète para sa bagong alhebra, noong pagtatapos ng ika-16 na siglo, ay mahalagang yugto patungong modernong alhebra. Noong 1637, inilathala ang La Géométrie ni René Descartes, na inimbento ang analitikong heometriya at nagpasok ng modernong alhebraikong notasyon. Ang ibang mahalagang pangyayari, para sa karagdagang kaunlaran ng alhebra, ay heneral na alhebraikong kalutasan ng mga kubikong at kwartikong ekwasyon, na napaunlad noong gitnang ika-16 na siglo. Napaunlad ng ideya ng isang determinante ni Seki Takakazu (matematikong Hapones, kilala rin bilang Seki Kōwa) noong ika-17 na siglo, at independiyente na ni Gottfried Leibniz nang makalipas ang sampung taon, para sa paglutas ng mga sistema ng magkasasabay linyar na ekwasyon sa pamamagitan ng mga baskagan. Trinabaho din ni Gabriel Cramer ang mga baskagan at determinante noong ika-18 na siglo. Sinuri ni Joseph Louis Lagrange ang mga permutasyon noong 1770 sa kaniyang papel "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (Tagalog: Mga repleksiyon tungkol sa alhebraikong paglutas ng mga ekwasyon) na napag-usapan ang mga solusyon ng mga alhebraikong ekwasyon at nagpasok ng mga resolbente ni Lagrange (Ingles: Lagrange resolvents). Si Paolo Ruffini ay unang tao na bumuti ng teorya ng mga grupo pampermutasyon, at bilang kaniyang mga nauna sa kanila, gumawa ito sa konteksto ng paglutas ng mga alhebraikong ekwasyon.

Noong ika-19 na siglo nabuo ang alhebrang basal, na batay sa interes sa paglutas ng mga ekwasyon. Pinagtuunan muna ang ngayong tinatawag teorya ni Galois, at ang mga isyu ng mga nakakabuong bilang (Ingles: constructible number). Si George Peacock ay tagapagtatag ng pag-iisip sa pamamagitan ng mga aksioma sa aritmetika at alhebra. Nadiskubre ni Augustus De Morgan ang alhebrang relasyon sa kaniyang Syllabus of a Proposed System of Logic (Tagalog: Temaryo ng Isang Sistema na Ipinapanukala ng Lohika). Nabuo ni Josiah Willard Gibbs ang isang alhebra ng mga bektor sa espasyo na may tatlong dimensiyon, at nabuo ni Arthur Cayley ang isang alhebra ng mga baskahan (ito ay alhebrang di-komutatibo, Ingles: noncommutative algebra).

Mga sangay ng matematika na may salitang alhebra sa pangalan

Elementaryong alhebra

Notasyong alehebraikong ekspresiyon:
1 – lakas (eksponente)
2 – koepisyente
3 – termino
4 – operando
5 – konstanteng termino
x y c – mga baryable/konstante

Ang elementaryong alhebra ay pinakabasal na porma na alhebra. Itinuturo sa mga mag-aaral na walang kaalaman ng matematika, higit pang mga batayan na simulain ng aritmetika. Sa aritmetika, nangyayari lamang ang mga bilang at mga kanilang aritmetikal na operasyon (tulad ng +, −, ×, ÷). Sa alhebra, ang mga bilang ay madalas na kinakatawan ng mga simbolo na tinatawag na mga baryable (tulad ng a, n, x, y o z). Kapaki-pakinabang ito dahil:

Inaatim ang heneral na pormulasyon ng mga aritmetikal na batas (tulad ng a + b = b + a para sa lahat ng a at b) at kaya nagiging unang yugto patungo sa sistematiko na eksplorasyon ng mga propyedad ng sistemang mga tunay na bilang.
Inaatim ang pagtukoy sa mga "hindi alam" na bilang, pormulasyon ng mga ekwasyon at pag-aaral ng mga paraan para lutasin ang mga ito. (Halimbawa, "Hanapin ang bilang x upang 3x + 1 = 10" o mas heneral na "Hanapin ang isang bilang x upang ax + b = c". Ang itong yugto ay nagdudulot sa hinuha na nalulutas ito, hindi dahil sa mga bilang mismo, kundi dahil sa mga operasyon na kinabibilangan.)
Inaatim ang pormulasyon ng punsiyonal na mga kaugnayan. (Halimbawa, "Kung ibinebenta mo ang x na tiket, tubo mo ay 3x - 500 na piso, o f(x) = 3x - 500, kung saan f ay punsiyon, at x ay bilang na nagagamit ng punsiyon".)

Mga polinomial

Ang grap ng isang polinomial na may grado 3 (i.e. isang kubiko na punsiyon).

Ang polinomial ay isang ekspresyion na ay suma ng isang dami, na may hangganan, ng mga termino. Ang bawa't isang termino ay kinabibilangan ng bunga ng isang konstante at isang dami, na may hangganan, ng mga baryable na inaangat sa mga lakas na buumbilang. Halimbawa, x² + 2x − 3 ay polinomial na may nag-iisang baryable x. Ang isang polinomial na ekspresiyon ay ekspresiyon na naisusulat ulit bilang polinomial, sa pamamagitan ng komutatibidad, asosyatibidad, at distributibidad ng pagdaragdag at pagpaparami. Halimbawa, (x − 1)(x + 3) ay polinomial na ekspresiyon na teknikal na hindi ay isang polinomial. (Pero ang bunga ng dalawang tabi ay nauuwi sa wastong polinomial nga.) Ang polinomial na punsiyon ay punsiyon na ipinapaliwanag ng isang polinomial, o katumbas na, ng isang polinomial na ekspresiyon. Ipinapaliwanag ng dalawang halimbawa sa itaas ang mismong polinomial na punsiyon.

Edukasyon

Iminumungkahi na dapat ituro ang elementaryong alhebra sa mga mag-aaral na 11 anyos pa^[2], ngunit noong mga nakaraang taon mas karaniwan ang mga aralin (sa mga Amerikanong pampublikong paaralan) noong ikawalong baitang (≈ 13 taon ±).^[3] Sa mga paaralan laganap na nagsisimula ang pagtuturo ng alhebra sa mga mataas na paaralan, sa ikasiyam na baitang. Gayunman, para sa ilang mga paaralang panggitna na ginagamit ang programang Pre-IB, ang alhebra ay minsan na itinuturo sa loob ng dalawang taon (mga ikapitong at ikawalong baitang).^[4]

Alhebrang basal

Mga grupo

Mga singsing at kampo

Mga sanggunian

↑ Esposito, John L. (2000). The Oxford History of Islam. Oxford University Press. p. 188. ISBN 978-0-19-988041-6.
↑ "Hull's Algebra" (PDF). The New York Times (sa wikang Ingles). Hulyo 16, 1904. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 2021-02-21. Nakuha noong 2012-09-21.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Quaid, Libby (2008-09-22). "Kids misplaced in algebra". Associated Press. Inarkibo mula sa orihinal (Report) noong 2011-10-27. Nakuha noong 2012-09-23. {{cite web}}: Invalid |url-status=live lang=en (tulong); Missing pipe in: |url-status= (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ "Millennium Middle School Curriculum Guide" (PDF) (sa wikang Ingles). Millennium Middle School, Seminole County, Florida. 2021–2022. p. 12 (13 sa file). Inarkibo mula sa orihinal (PDF) noong 2023-05-25. Nakuha noong 2023-05-25.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Tingnan din

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[1] Esposito, John L. (2000). The Oxford History of Islam. Oxford University Press. p. 188. ISBN 978-0-19-988041-6.

[2] "Hull's Algebra" (PDF). The New York Times (sa wikang Ingles). Hulyo 16, 1904. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 2021-02-21. Nakuha noong 2012-09-21.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[3] Quaid, Libby (2008-09-22). "Kids misplaced in algebra". Associated Press. Inarkibo mula sa orihinal (Report) noong 2011-10-27. Nakuha noong 2012-09-23. {{cite web}}: Invalid |url-status=live lang=en (tulong); Missing pipe in: |url-status= (tulong)CS1 maint: date auto-translated (link)

[4] "Millennium Middle School Curriculum Guide" (PDF) (sa wikang Ingles). Millennium Middle School, Seminole County, Florida. 2021–2022. p. 12 (13 sa file). Inarkibo mula sa orihinal (PDF) noong 2023-05-25. Nakuha noong 2023-05-25.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[1]

[2]

[3]

[4]