Trahektorya

Para sa landas sa lupa, tingnan ang Daanan.

Ang isang trahektorya o landas ng paglipad ay landas na sinusundan ng isang bagay na may masa sa mosyon sa espasyo bilang isang punsiyon ng panahon. Sa klasikong mekanika, ang isang trahektorya ay ipinapaliwanag ng mekanika ni Hamilton via mga kanonikong koordinado: kaya, ang isang kumpletong trahektorya ay ipinapaliwanag ng posisyon at momentum, nang sabay.

Isang larawan ng direksyonal na trahektorya ng isang balang nagpaputok sa isang paakyat na punterya.

Ang masa ay puwedeng isang panudla o isang buntabay. Halimbawa, puwedeng isang ligiran — ang landas ng isang planeta, asteroyd o kometa habang naglalakbay sa paligid ng isang sentral na masa.

Sa teorya ng kontrol, ang isang trahektorya ay isang pangkat, na inaayos sa panahon, ng mga estado ng isang sistemang dinamiko (tingnan ang e.g. mapa ni Poincaré). Sa diskretong matematika, ang isang trahektorya ay isang sekwensiyang $(f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }$ ng mga halagang kinakalkula ng iteradong aplikasyon ng isang pagmamapang $f$ sa isang elementong $x$ ng niyang pinagmulan.

Pisika na mga trahektorya

Ang isang alam na halimbawa ng trahektorya ay landas ng isang panudla, tulad ng isang bola o batong inihahagis. Sa isang modelong makatuturang sinisimplehan, gumagalaw ang bagay lang sa ilalim ng impluwensiya ng unipormeng grabitasyonal na larangan ng puwersa (Ingles: force field). Ito ay puwedeng isang mabuting aproksimasyon para sa isang batong inihahagis sa loob ng maikiksing distansiya, halimbawa sa ibabaw ng Buwan. Sa itong simpleng aproksimasyon, ang trahektorya ay kumukuha ng hugis ng isang parabola. Kalimitan, kapag itinakda ang mga trahektorya, kailangan ang konsidera ng di-unipormeng grabitasyonal na mga puwersa at paglaban ng hangin (pagkalagkad at aerodinamika). Ito ay pokus ng disiplina ng balistika.

Ang isa sa mga makakatuturang katuparan ng mekanika ni Newton ay deribasyon ng mga batas mosyon ng mga planeta ni Kepler. Sa grabitasyonal na larangan ng isang masang punto o isang masang naituturing bilang isang perpektong espera (halimbawa Araw) ang trahektorya ng isang bagay na gumagalaw ay isang seksiyong koniko, kalimitang isang elipso o hiperbola. Ito ay sumasang ayon sa mga ligirang pinagmamasdan para sa mga planeta, kometa, at artipisyal na sasakyang pangkalawakan sa isang medyo mabuting aproximasyon, ngunit kung lumalapit ang isang kometa sa Araw, iimpluwensyahan din ng ibang mga puwersa tulad ng solar na hangin at presyon ng radiyasyon, na babaguhin ang lipiran at magiging sanhi ng paglabas ng materyal mula sa kometa sa kalawakan.

Mamayang tumubo ang teorya ni Newton sa sangay ng pisikang teoretikal na kilala bilang klasikong mekanika. Ginagamit ang matematika ng kalkulus na diperensiyal (na sinimulan rin ni Newton sa kaniyang kabataan). Sa paglipas ng mga siglo, ang yuta-yutang mga siyentipiko ay nag-ambag sa pag-unlad ng itong dalawang sangay. Ang klasikong mekanika ay naging isang napakaprominenteng demonstrasyon ng lakas ng makatuwirang kaisipan, i.e. katwiran, sa parehong agham at teknolohiya. Nakakatulong ito sa pag-unawa at paghula ng napakalaking isang hanay ng mga penomeno. Isang halimbawa nito ay ang trahektorya.

Isipin ang isang partikula na may masang $m$, na gumagalaw sa isang potensiyal na larangang $V$. Sa mga tuntunin ng pisika, kinakatawan ng masa ang tigal, at kinakatawan ng larangang $V$ ang mga panlabas na puwersa ng isang partikular na uri na kilala bilang "konserbatibo". Para sa isang $V$ sa kada makabuluhang posisyon, may paraan para hinuhain ang kaukulang puwersa (halimbawa, balani) na kikilos sa posisyong iyon. Ang hindi lahat ng mga puwersa ay naipapahayag nang ganito, gayunman.

Ang mosyon ng partikula ay inilalarawan ng itong ekwasyong diperensiyal ng ikalawang order:

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ na may }}{\vec {x}}=(x,y,z).$

Sa kanang tabi, ang puwersa ay ibinibigay sa mga tuntunin ng $\nabla V$, ang gradient ng potensiyal, na kinukuha sa mga posisyon sa kahabaan ng trahektorya. Ito ay matematikal na porma ng Ikalawang Batas ni Newton: ang puwersa ay katumbas ng masa pinarami nang arangkadang beses, para sa tulad ng mga sitwasyon.

Mga halimbawa

Unipormeng balani, na walang ni pagkalagkad ni hangin

Mga trahektorya ng isang masang inihahagis sa isang anggulo ng 70°,
     na walang pagkalagkad
     na may pagkalagkad ni Stokes
     na may pagkalagkad ni Newton

Ang ideal na kaso ng mosyon ng isang panudla, sa isang unipormeng grabitasyonal na larangan, na walang ibang mga puwersa (tulad ng pagkalagkad ng hangin) ay unang siniyasat ni Galileo Galilei. Ang pagpapabaya ng aksiyon ng atmospera, sa paghubog ng isang trahektorya, ay ipinalagay ng praktikal na mga imbestigador sa buong Gitnang Kapanahunan sa Europa. Gayunman, dahil sa naagapan ang pagiging ng basyo, na mamayang ipinakita sa Daigdig ng niyang katrabahong Evangelista Torricelli, naumpisahan ni Galileo ang agham sa hinaharap ng mekanika. Sa isang malapit nang basyo, halimbawa sa Buwan, sa esensya tama ang kaniyang parabolikong trahektoryang sinimplehan.

Sa pagsusuring sumusunod, pinopormulahan natin ang ekwasyon ng mosyon ng isang panudla bilang sinusukat mula sa isang inersyal na balangkas (Ingles: inertial frame) sa pahinga na may paggalang sa lupa. Kasama sa balangkas ang isang sistema ng koordinado ng kanang kamay, na may kaniyang orihen sa punto ng bunsod ng panudla. Ang x-aksis ay tangent sa lupa, at ang y-aksis ay perpendikular sa ito (paralelo sa mga guhit ng grabitasyonal na larangan). Hayaan g ang arangkada ng balani. Pagdating sa patag na lupain, hayaan inisyal na palahang na belosidad ang $v_{h}=v\cos(\theta )$, at hayaan inisyal na patayong belosidad ang $v_{v}=v\sin(\theta )$. Ipapakita din na ang saklaw ay $2v_{h}v_{v}/g$, at ang maximum na altitud ay $v_{v}^{2}/2g$. Ang maximum na saklaw para sa ilang inisyal na belosidad na v ay kinukuha kapag $v_{h}=v_{v}$, i.e. ang inisyal na anggulo ay 45°. Ang itong saklaw ay $v^{2}/g$, at ang maximum na altitud sa maximum na saklaw ay $v^{2}/(4g)$.

Deribasyon ng ekwasyon ng mosyon

Ipalagay na ang mosyon ng panudla ay sinusukat mula sa isang balangkas ng libreng pagkahulog nasa (x,y) = (0,0) kapag t = 0. Ang ekwasyon ng mosyon ng panudla sa itong balangkas (sa prinsipyo ng ekwibalensiya) ay $y=x\tan(\theta )$. Ang mga koordinado ng itong balangkas ng libreng pagkahulog, na may paggalang sa ating inersyal na balangkas, ay $y=-gt^{2}/2$. Kumbaga, $y=-g(x/v_{h})^{2}/2$.

Ngayon, kapag isinalin sa inersyal na balangkas, ang mga koordinado ng panudla ay nagiging $y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2$. Kumbaga:

$y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,$

(kung saan ang v₀ ay inisyal na belosidad, ang $\theta$ ay anggulo ng kataasan, at ang g ay arangkada dahil sa balani).

Hanay at taas

Mga trahektorya ng mga panudlang inihahagis sa magkaibang mga anggulo ng kataasan pero parehong belosidad ng 10 m/s sa isang basyo at na may unipormeng pababang grabitasyonal na larangan ng 10 m/s². Ang mga punto ay nasa mga interbalo ng 0.05 s at kahabaan ng nilang mga buntot ay linyar na proporsiyonal sa kanilang belosidad. t = time (panahon) mula sa bunsod, T = time (panahon) ng lipad, R = range (saklaw), at H = highest (pinakamataas) na punto ng trahektorya (na ipinapakita ng mga pana).

Ang saklaw, R, ay pinakamalayong distansiya na nagbibiyahe ang bagay sa kahabaan ng x-aksis sa sektor na I. Ang inisyal na belosidad, v_i, ay belosidad ng bagay sa bunsod mula sa punto ng orihen. Ang inisyal na anggulo, θ_i, ay anggulo ng pagpapalaya ng bagay. Ang g ay grabitasyonal na hila sa bagay sa loob ng isang basyong midyum.

$R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}$

Ang kataasan, h, ay maximum na parabolikong kataasan na umaabot ang bagay sa loob ng trahektorya.

$h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}$

Anggulo ng kataasan

Isang halimbawang ipinapakita ang kalkulasyon ng trahektorya ng isang bala.

Sa mga tuntunin ng anggulo ng kataasang $\theta$ at inisyal na belosidad na $v$:

$v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;$

kaya ang saklaw ay:

$R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.$

Muling naaayos ang itong ekwasyon para mahanap ang anggulo para sa isang kinakailangang saklaw:

$\theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)$ (Ekwasyong II: anggulo ng bunsod ng panudla)

Itala na ang tungkuling sine ay may dalawang kalutasan para sa $\theta$ para sa ilang saklaw na $d_{h}$. Ang anggulong $\theta$ na ibinibigay ang maximum na saklaw ay nahahanap sa pamamagitan ng deribatibo ng $R$ na may paggalang sa $\theta$ at tamang pagsasaayos ng ekwasyon.

${\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0$

May di-tribiyal na kalutasan sa $2\theta =\pi /2=90^{\circ }$, o $\theta =45^{\circ }$. Ang maximum na saklaw ay $R_{\max }=v^{2}/g\,$. Sa itong anggulo $\sin(\pi /2)=1$, kaya maximum na kataasang kinukuha ay ${v^{2} \over 4g}$.

Para mahanap ang anggulo na ibinibigay ang maximum na kataasan para sa ilang belosidad, kalkulahin ang deribatibo ng maximum na kataasan $H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)$ na may paggalang sa $\theta$, kumbaga ${\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)$. Ito ay sero kapag $\theta =\pi /2=90^{\circ }$. Kaya ang maximum na kataasan $H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}$ ay kinukuha kapag ang panudla ay pinagbabaril diretso na sa taas.

Mga bagay sa ligiran

Kung, imbes na isang unipormeng pababang grabitasyonal na puwersa, iniisip natin ang dalawang bagay sa ligiran na may mutwal na grabitasyon sa isa't isa, kinukuha ang mga batas mosyon ng mga planeta ni Kepler. Ang deribasyon ng mga ito ay isa sa pangunahing gawa ni Isaac Newton at nagbigay ng karamihan ng motibasyon para sa pag-unlad ng kalkulus na diperensiyal.

Salo ng bola

Kung nagbibiyahe ang isang panudla, tulad ng isang beysbol o bola ng kriket, sa parabolikong landas, na may bahagyang paglaban sa hangin, at kung ang isang manlalaro ay may posisyon kung saan nahuhuli ito sa kaniyang pagbaba, sa kaniyang tingin ang anggulo ng kataasan ay patuloy na dumadami sa buong lipad. Ang tangent ng anggulo ng kataasan ay proporsiyonal sa panahon mula sa bunsod ng bola sa hangin, madalas sa pamamagitan ng gulpi ng pamalo. Kahit kung ang bola ay talagang bumababa, malapit sa dulo ng niyang lipad, patuloy na dumadami ang kaniyang anggulo ng kataasan ayon sa tingin ng manlalaro. Kaya nanonood ang manlalaro ng bola na parang umaakyat sa konstanteng belosidad. Ang hanap ng lugar kung saan nangyayari ito ay tumutulong sa manlalaro na iposisyon ang kanyang sarili nang tama para sa salo ng bola. Kung siya ay masyadong malapit sa batsman kung sino humampas ng bola, parang aakyat ang bola sa isang antas na tumutulin. At kung masyadong malayo sa batsman, parang mabilis na babagal, tapos bababa.

Para sa isang pruweba ng pahayag sa itaas, tingnan ang Trahektorya ng isang panudla § Salo ng bola.