Modelong matematikal

Ang isang modelong matematikal ay isang abstraktong paglalarawan ng isang kongkretong sistema sa pamamagitan ng matematikal na mga konseptong at wikang pangmatematika. Ang proseso ng kaunlaran ng isang modelong matematikal ay tinatawag na pagmomodelong matematikal. Ginagamit ang mga modelong matematikal sa matematikang nalalapat at sa mga agham pangkalikasan (tulad ng pisika, biyolohiya, agham pandaigdig, at kimika) at mga disiplina ng inhenyeriya (tulad ng agham pangkompyuter at inhenyeriyang elektrikal) at saka sa mga sistemang di-pisikal tulad ng mga agham panlipunan (tulad ng ekonomika, sikolohiya, sosyolohiya, at agham pampolitika). Natuturan rin bilang paksa sa sarili nitong karapatan.

Ang paggamit ng mga modelong matematikal para lumutas ng mga problema sa mga operasyong pangnegosyo at pangmilitar ay malaking bahagi ng sangay ng pananaliksik ng operasyon.

Ginagamit din ang mga modelong matematikal sa musika, lingguwistika, at pilosopiya (halimbawa, masinsinan na sa pilosopiyang analitiko).

Ang isang modelo ay nakakatulong sa pagpapaliwanag ng isang sistema, sa pag-aaral ng mga epekto ng mga magkaibang komponente, at sa mga prediksiyon tungkol sa ugali.

Mga elemento ng isang modelong matematikal

Ang mga modelong matematikal ay maaaring may mararaming itsura, kabilang sa mga sistemang dinamikal, modelong pang-estadistika, ekwasyong diperensiyal, o modelo para sa teorya ng laro. Puwedeng magkasanib ang mga itong at ibang uri ng modelo, at ang ilang modelo ay maaaring may isang barayti ng mga abstraktong istruktura. Sa pangkalahatan, ang mga modelong matematikal ay maaaring sumasaklaw ng mga modelong lohikal. Sa mararaming kaso, ang kalidad ng isang sangay ng agham ay umaasa sa kasunduan ng mga modelong matematikal na nabubuo sa panig na teoretikal, at mga resulta ng mga eksperimentong nauulit. Ang kakulangan ng kasunduan sa pagitan ng mga modelong matematikal teoretikal at mga sukat sa mga eksperimento ay madalas na nagdudulot ng mga mahahalagang abante habang nabubuo ang mas mabubuting teorya.

Sa mga agham na pisikal, ang isang modelong matematikal tradisyunal ay sumasaklaw ng karamihan ng mga ang mga sumusunod na mga elemento:

Mga ekwasyong pinamamahalaan
Mga pandagdag na sub-modelo
1. Mga ekwasyong ipinapaliwanag
2. Mga ekwasyong nabubuo
Mga palagay at kahigpitan
1. Mga inisyal at hangganang kondisyon
2. Mga klasikong kahigpitan at ekwasyong pangkinematika

Mga klasipikasyon

May magkakaibang mga uri ng mga modelong matematikal:

Linyar vs. di-linyar: Kung ang lahat ng operador sa isang modelong matematikal ay nagtatanghal ng linyaridad, ang modelong matematikal na nagreresulta ay ipinapaliwanag bilang linyar, at kundi, di-linyar. Ang katuturan ng linyaridad at di-linyaridad ay umaasa sa konteksto, at mga modelong linyar ay maaaring may mga ekspresyong di-linyar sa kanila. Halimbawa, sa isang modelong linyar estadistikal, ipinalalagay na ang isang kaugnayan ay linyar sa mga parametro, pero puwedeng di-linyar sa mga baryableng hinuhulaan. Gayon din, ang isang ekwasyong diperensiyal ay ikinokonsidera bilang linyar kung naisusulat sa pamamagitan ng mga linyar na diperensiyal na operador, pero maaaring sumaklaw rin ng mga ekspresyong di-linyar. Sa isang modelo ng matematikal na pagpopograma, kung ang mga obhetibong punsiyon ay buong-buong kinakatawan ng mga linyar na ekwasyon, ang modelo ay ikinokonsidera bilang isang linyar na modelo. Kung ang isa o mas sa mga obhetibong punsiyon o kahigpitan ay kinakatawan ng isang di-linyar na ekwasyon, ang modelo ay ikinokonsidera bilang isang di-linyar na modelo.
- Ang terminong linyar na istruktura ay nagpapahiwatig na ang isang problema ay nasisira sa mga mas simpleng bahagi na maaaring independiyenteng atupagin at/o suriin sa isang magkaibang iskala at may bisa pa ang mga resulta para sa inisyal na problema sa inisyal na iskala.
- Ang di-linyaridad, kahit sa mga medyong simpleng sistema, ay madalas na nakikipig-ugnayan sa mga penomeno tulad ng kaguluhan at mga hindi maibabalik na proseso (sa termodinamika, halimbawa entropiya). Maski may mga kataliwasan, ang pag-aaral ng mga di-linyar na sistema ay madalas na mas mahirap kaysa sa mga linyar na sistema. Ang isang karaniwang paglapit sa mga di-linyar na problema ay pagpapalinya (Ingles: linearization), pero ito ay puwedeng problematiko para sa pag-aaral ng mga hindi maibabalik na proseso, yamang malakas na tinatali sa di-linyaridad.
Estatiko vs. dinamiko: Ang isang dinamikong modelo ay isinasaalang-alang ng mga pagbabagong umaasa sa panahon sa estado ng sistema, yamang ang isang estatikong modelo ay kumakalkula ng sistema sa ekilibriyo, at kaya hindi umaasa sa panahon. Ang mga dinamikong modelo ay karaniwang kinakatawan ng mga ekwasyong diperensiyal.
Eksplisito vs. implisito: Kung alam ang lahat ng mga parametrong input ng pangkalahatang modelo, at ang mga parametrong output ay naikakalkula ng isang pinitong serye ng mga komputasyon, ang modelo ay ikinokonsidera bilang eksplisito. Pero paminsan-minsan alam ang mga parametrong output, at ang mga kaukulang input ay dapat ikalkula ng ilang iteratibong proseso, tulad ng paraang Newton o paraang Broyden. Sa ganiyang kaso ang modelo ay ikinokonsidera bilang implisito. Halimbawa, ang mga pisikal na propyedad ng motor ng isang jet airliner tulad ng turbina at tobera ay eksplisitong naikakalkula para sa ilang preidinisenyong siklong termodinamiko (ang mga antas ng agos ng hangin at gatong, presyon, at temperatura) sa ilang espesipikong kondisyon ng paglipad at ayos ng lakas, pero ang mga siklong tumatakbo ng motor sa ibang mga kondisyon ng paglipad at ayos ng lakas ay hindi naikakalkula mula sa konstanteng pisikal na propyedad.
Diskreto vs. patuloy: Tinatrato ng isang diskretong modelo ang mga bagay bilang diskreto, tulad ng mga partikula sa isang modelong molekular o mga estado sa isang modelong estadistikal, yamang kinakatawan ng isang patuloy na modelo ang mga bagay sa patuloy na paraan, tulad ng kampong belosidad ng pluwido ng agos sa isang tubo, mga temperatura at stress sa isang solido, at isang kampong elektrikal na ginagamitan sa loob ng buong modelo dahil sa isang kargang punto.
Deterministiko vs. probabilistiko (estokastiko): Sa isang sistemang deterministiko, ang lahat ng pangkat ng mga estadong baryable ay bugtong na itinatakda ng mga parametro sa modelo at ng mga dating estado ng itong mga baryable. Kaya laging tumatakbo ang isang modelong deterministiko sa parehong paraan para sa ilang pangkat ng mga inisyal na kondisyon. Sa kabaligtaran naman, sa isang modelong estokastiko — na kalimitang tinatawag isang "modelong estadistikal" — may pagkaalisaga, at ang mga estadong baryable ay hindi inilalarawan ng mga bugtong halaga, kundi ng mga [[distribusyong probabilidad]
Deduktibo, induktibo, o nakalulutang: Ang isang modelong deduktibo ay isang istrukturang lohikal na batay sa isang teorya. Lumilitaw ang isang modelong induktibo mula sa mga empirikal na pagtuklas at paglalahat mula sa mga ito. Ang isang modelong nakalulutang ay hindi umaasa sa teorya o obserbasyon, kundi ay pag-uukol ng istrukturang inaasahan. Ang pag-uukol ng matematika sa agham ay binatikos dahil sa mga modelong mali. Ang pag-uukol ng teorya ng katastrope sa agham ay binatikos bilang isang modelong nakalulutang.
Estratehiko vs. di-estratehiko: Magkaiba ang mga modelong ginagamit sa teorya ng laro sa kahulugan na iminomodelo nito ang mga ahente na may inkompatibleng insentibo, tulad ng mga espesyeng naglalaban o mga tumatawad sa isang subasta. Ipinalalagay ng mga modelong estratehiko na ang mga manlalaro ay autonomong maygawa ng desisyon kung sinu-sino pumupili ng mga gawa na sinusulit ang kanilang obhetibong punsiyon. Ang isang klabeng hamon ng paggamit ng mga modelong estratehiko ay katuturan at komputasyon ng mga konseptong kalutasan tulad ng ekilibriyo ni Nash. Ang isang kawili-wiling propyedad ng mga modelong estratehiko ay kanilang paghihiwalay ng pangangatuwiran tungkol sa mga patakaran ng laro mula sa pangangatuwiran tungkol sa ugali ng mga manlalaro.

Konstruksiyon

Sa negosyo at inhenyeriya, maaaring gamitin ang mga modelong matematikal para sulitin ang ilang output. Ang sistemang ikinokonsidera ay kakailanganin ang ilang mga input. Ang sistemang nag-uugnay ng mga input sa mga output ay umaasa din sa ilang mga baryable: mga baryableng desisyon, baryableng estado, baryableng eksoheno, at baryableng alisaga.

Paminsan-minsang tinatawag ang mga baryableng desisyon na mga independiyenteng baryable. Paminsan-minsang tinatawag ang mga baryableng eksoheno na mga parametro o konstante. Ang mga baryable ay hindi malaya sa isa't isa, yamang ang mga baryableng estado ay umaasa sa mga baryableng desisyon, input, alisaga, at eksoheno. Saka, ang mga baryableng output ay umaasa sa estado ng sistema (na kinakatawan ng mga baryableng estado).

Ang mga obhetibo at kahigpitan ng sistema at niyang mga tagagamit ay maaaring katawanin ng mga punsiyon ng mga baryableng output o estado. Ang obhetibong punsiyon ay aasa sa perspektibo ng tagagamit ng modelo. Depende sa konteksto, ang isang obhetibong punsiyon ay kilala din bilang isang indeks ng pagganap, kasi ito ay may interes sa tagagamit. Maski walang (teoretikal na) takda sa dami ng mga obhetibong punsiyon at kahigpitan na puwedeng magkaroon ang isang modelo, ang paggamit o optimisasyon ng modelo ay nagiging mas komputasyonal na mahal habang lumalaki ang itong dami.

Halimbawa, madalas na nagagamit ng mga ekonomista ang alhebrang linyar sa mga modelong input-output. Ang mga komplikadong matematikal na modelo na may mararaming baryable ay naikokonsolida sa isang espasyong bektor kung saan kinakatawan ng nag-iisang sagisag ang mararaming baryable.

Impormasyong a priori

Para suriin ang anuman na may isang tipikal na "pagdulog ng itim na kahon", lamang ang ugali ng stimulus/tugon ay iisipin, para hinuhain ng kahong di-alam. Ang karaniwang representasyon ng itong sistemang itim na kahon ay isang diyagrama ng agos ng datos na isinisentro sa kahon.

Madalas na inuuri ang mga problema ng pagmomodelong matematikal sa mga modelong itim na kahon at puting kahon ayon sa kung magkano nagagamit ang impormasyong a priori. Ang isang modelong itim na kahon ay isang sistema kung saan hindi nagagamit ang anumang impormasyong a priori. Ang isang modelong puting kahon (kilala rin bilang kahon ng salamin o malinaw na kahon) ay isang sistema kung saan nagagamit ang lahat ng kailangang impormasyon. Ang halos lahat ng mga sistema ay nasa pagitan ng mga modelong itim na kahon at puting kahon, kaya kapaki-pakinabang ang itong konsepto lamang bilang isang intuitibong giya para sa pagpili ng isang pagdulog.

Karaniwang mas kanais-nais ang paggamit ng maraming impormasyong a priori hangga't maaari, para mapabuti ang katumpakan ng modelo. Kaya karaniwang ipinalalagay mas mabubuti ang modelong puting kahon, kasi ang tamang paggamit ng impormasyon ay nagdudulot ng tamang ugali ng modelo. Madalas na dumadating ang impormasyon a priori sa porma ng mga punsiyong nakikipag-ugnayan sa mga baryable. Halimbawa, kung gumagawa tayo ng isang modelo ng paggana ng isang gamot sa isang sistemang pantao (i.e. katawan ng tao), inaalam natin na karaniwang ang dami ng gamot sa dugo ay isang punsiyon na may eksponensiyal na pagkabulok. Pero may pa mararaming parametrong di-alam: Gaano kabilis mabulok ang dami ng gamot? Ano ang inisyal na dami ng gamot sa dugo? Ang itong halimbawa ay kaya hindi isang modelong puspusan puting kahon. Ang mga itong parametro ay dapat tayahin bago paggamit ng modelo.

Sa mga modelong itim na kahon, kailangan ang isang wari ng parehong punsiyonal na porma ng mga kaugnayan sa pagitan ng mga baryable at mga numerikong parametro sa mga punsiyong iyon. Sa pamamagitan ng mga impormasyong a priori tayong maaaring magtapos sa, halimbawa, isang pangkat ng mga punsiyon na malamang nailalarawan ang sistema nang karapatan. Kung walang impormasyong a priori gumagamit tayo ng mga punsiyong pangkalahatan hangga't maaari para sumaklaw ng lahat ng mga magkaibang modelo. Ang isang pagdulog na madalas ng ginagamit para sa mga modelong itim na kahon ay mga neural network na karaniwang hindi gumagawa ng mga palagay tungkol sa papasok na datos. Bilang kahalili, ang mga algoritmong NARMAX (Ingles: Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous inputs), na nabuo bilang bahagi ng pagkilala ng sistemang di-linyar, ay maaaring gamitin para sa pagpili ng mga termino at istruktura ng modelo, at saka wari ng mga parametrong di-alam sa presensya ng ingay na iniaayon at di-linyar. Ang bentahe ng mga modelong NARMAX kumpara kay mga neural network ay na gumagawa ang NARMAX ng mga modelong naisusulat at naiaayon sa pinagbabatayan ng proseso, yamang gumagawa ang mga neural work ng isang aproksimasyon na na hindi napaglalagusan ng liwanag.

Impormasyong subhetibo

Minsan kapaki-pakinabang ang pagsasama ng impormasyong subhetibo sa isang modelong matematikal. Nagagawa ito batay sa intuisyon, karanasan, o opinyon ng eksperto, o batay sa kaluwagan ng pormang matematikal. Ibinibigay ng estadistikang Bayesian ang isang teoretikal na balangkas para sa pagsasama ng ganiyang subhetibidad sa isang rigorosong pagsusuri: itinatakda natin ang isang dating distribusyong probabilidad (na puwedeng subhetibo) at tapos iniuupdate ang itong distribusyon batay sa empirikal na datos.

Kailan puwedeng kailangan ang ganiyang pagdulog? Ipagpalagay na ang isang eksperimentador ay bahagyang yumuko ng isang barya at inihahagis ito nang isang beses. Ipagpalagay na siya ay nagtatala kung ang resulta ay "ulo" o "buntot", pagkatapos dapat matukoy niya ang probabilidad ng "ulo" sa susunod na paghagis. Pagkatapos ng baluktot ng barya, ang tunay na posibilidad ng "ulo" sa susunod na paghagis ay hindi alam, kaya ang ating eksperimentador ay dapat pumili ng dating distribusyon. (Halimbawa, nagagawa batay sa hugis ng barya. Ang barya ay mas malamang na mahulog patungo sa baluktot na bahagi, dahil ang liko ay lumilipat ng sentro ng balani patungo sa panig na iyon.) Ang pagsasama ng ganiyang subhetibong impormasyon ay puwedeng mahalaga para sa isang tumpak na pagtatantya ng probabilidad.

Komplehidad

Sa pangkalahatan, ang komplehidad ng ilang modelo ay kinabibilangan ng isang trade-off sa pagitan ng pagiging simple at katumpakan ng modelo. Ang labaha ni Occam ay isang prinsipyong lalo na makabuluhan sa pagmomodelo. Ang pangunahing ideya ng prinsipyo ay na sa mga modelo na may medyo katumbas na lakas ng prediksyon, pinakanais-nais ang pinakamasimple. Maski ang mas komplehidad ay kalimitang nagpapabuti ng katumpakan ng modelo, maaaring din hirapan ang pagkakaintindi at pagsusuri ng modelo, at saka maaaring lalangin ang mga komputasyonal na problema, kabilang sa numerikal na inestabilidad. Nagpapahayag si Thomas Kuhn na habang umaabante ang agham, paliwanag ay may posibilidad na maging mas kumplikado, bago ibinibigay ng isang pagbabago ng paradigma ang isang pagpapasimpleng radikal.

Pagsasanay, pagtotono, at pagbabagay

Ang anumang modelong hindi puspusan puting kahon ay sumasaklaw ng mga ilang parametro na nagagamit para sa pagbabagay ng modelo sa sistema na inilalarawan. Kung ang pagmomodelo ay ginagawa ng isang artipisyal na neural network o ibang pagkatuto ng makina, ang optimisasyon ng mga parametro ay tinatawag na pagsasanay, habang ang optimisasyon ng mga hiperparametro ng modelo ay tinatawag na pagtotono at madalas na gumagamit ng pantawid-balidasyon (Ingles: cross-validation). Sa mas kumbensiyonal na pagmomodelo sa pamamagitan ng mga matematikal na punsiyong eksplisitong ibinibigay, madalas na itinatakda ang mga parametro sa pamamagitan ng pagbabagay ng kurba.

Pagsusuri at pagtatasa

Ang isang napahahalagang bahagi ng proseso ng pagmomodelo ay pagsusuri ng kung o hindi tamang inilalarawan ng isang modelong matematikal ang isang sistema. Puwedeng mahirap ang pagsagot ng itong tanong kasi kinabibilangan ng mararaming uri ng pagsusuri.

Paghula ng empirikal na datos

Kalimitan, ang pinakamadaling bahagi ng pagsusuri ng modelo ay pagsisiyasat kung hinuhulaan ng isang modelo ang eksperimental na sukat o ibang empirikal na datos na hindi ginagamit sa pag-unlad ng modelo. Sa mga modelo na may mga parametro, ang isang karaniwang pagdulog ay paghihiwalay ng datos sa dalawang dishuntong subpangkat: datos ng pagsasanay at datos ng pagpapatibay. Ginagamit ang datos ng pagsasanay para sa wari ng mga parametrong ng modelo. Ang isang tumpak na modelo ay katumbas sa datos ng pagpapatibay maski datos na iyon ay hindi ginamit para itakda ang mga parametro ng modelo. Ang itong praktika ay tinutukoy bilang pantawid-balidasyon sa estadistika.

Ang katuturan ng isang metriko para sa sukat ng mga distansiya sa pagitan ng mga datos na pinagmamasdan at hinuhulaan ay isang kapaki-pakinabang na gamit para pagtataya ng pagbabagay ng modelo. Sa estadistika, teorya ng desisyon, at ilang mga modelong pang-ekonomika, ang isang punsiyon ng pagkawala (Ingles: loss function) ay gumaganap ng isang katulad na papel.

Maski medyo madali ang pagsubok ng mga pagkabagay ng mga parametro, puwedeng mas mahirap ang pagsubok ng katotohanan ng kalahatang matematikal na itsura ng isang modelo. Sa pangkalahatan, nabubuo ang mas matematikal na gamit para pagsubok ng pagbabagay ng mga modelong pang-estadistika kaysa sa mga modelong kinabibilangan ng mga ekwasyong diperensiyal. Ang mga gamit mula sa estadistikang di-parametriko ay minang nagagamit para sa pagbabagay ng datos o para sa paglalang ng isang kalahatang modelo na nagpapalagay ng kaunti tungkol sa matematikal na itsura ng modelo.

Saklaw ng modelo

Ang pagsisiyasat ng saklaw ng modelo, kumbaga, mga sitwasyon kung saan nagagamit ang modelo, puwedeng menos madali. Kung niyari ang modelo batay sa isang pangkat ng datos, kailangan ang pagsisiyat ng mga sitwasyon kung saan "tipikal" ang pangkat ng datos.

Ang tanong ng kung mabuting inilalarawan ng modelo ang mga propyedad ng sistema sa pagitan ng mga punto ng datos ay tinatawag na interpolasyon, at parehong tanong para sa mga punto ng datos na nakalabas ng datos na pinagmamasdan ay tinatawag na ekstrapolasyon.

Bilang isang halimbawa ng tipikal na takda ng saklaw ng isang modelo, sa pagtataya ng klasikong mekanika ni Newton, naitatala natin na gumawa si Newton ng niyang mga sukat nang walang abanteng kagamitan, kaya hindi nasukat ang mga propyedad ng mga partikulang nagbiyahe sa mga bilis na malapit sa bilis ng liwanag. Gayon din, hindi sumukat siya ng mga galaw ng mga molekula at ibang mga maliliit partikula, kundi lamang mga makropartikula. Pagkatapos hindi na nakakagulat na hindi ibinibigay ng niyang modelo ang isang tamang-tamang ekstrapolasyon sa itong mga sakop, maski tamang-tama ang kaniyang modelo para sa ordinaryong pisika ng buhay.

Pilosopikal na mga konsiderasyon

Ang mararaming uri ng modelo ay implisitong kinabibilangan ng mga pahayag tungkol sa kausalidad. Kalimitan (pero hindi lagi) totoo para sa mga modelong kinabibilangan ng mga ekwasyong diperensiyal. Dahil ang layunin ng pagmomodelo ay pagkakaintinding nadagdagan ng mundo, ang katotohanan ng isang modelo ay umaasa hindi lang sa kaniyang korelasyon sa mga empirikal na obserbasyon, kundi sa aplikasyon sa ibang mga modelong hindi orihinal na inilarawan. Isipin ito bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga kwalitatibong at kwantitatibong hula. Ang ibang posibleng pahayag ay na walang-saysay ang isang modelo kundi ibinibigay ang paninging dinadaig ang alam na mula sa tuwid na pagsisiyasat ng penomenong sinusuri.

Ang isang halimbawa ng ganiyang pintas ay pahayag na mga modelong matematikal ng teorya ng pinakamainam na kumuha ng pagkain (Ingles: optimal foraging theory) ay hindi ibinibigay ng paninging dinadaig ang konklusyon ng karaniwang kahulugan ng ebolusyon at ibang mga pangunahing alituntunin ng ekolohiya.

Dapat itala din na maski gumagamit ang pagmomodelong matematikal ng mga matematikal na mga konsepto at wika, hindi ay isang sangay ng matematika per se at hindi ito kinakailangang umaayon sa lohikang matematikal (ang huli ay nga isang sangay ng matematika, at saka ng lohika) kundi ito ay tipikal na isang sangay ng agham o ibang teknikal na paksa, na may mga kaukulang konsepto at pamantayan ng pangangatwiran.

Kahulugan sa mga agham pangkalikasan

Napakaimportante ang mga modelong matematikal sa mga agham pangkalikasan, lalo na sa pisika. Ang mga pisikal na teorya ay halos laging ipinapahayag ng mga modelong matematikal.

Sa buong kasaysayan, nabuo ang lalong tumpak na mga modelong matematikal. Inilalarawan ng mga batas ng mosyon ni Newton ang mararaming araw-araw ng penomeno, pero sa ilang mga hangganan dapat gamitin ang teorya ng relatibidad at mekanikang quantum.

Sa pisika, karaniwang ginagamit ang modelong ginagawang perpekto para simplehan ang talakayan. Ang mga lubig na walang masa (tingnan din: katenarya, punsiyong hiperboliko), partikulang punto, ideal na gas, at partikula sa kahon ay kabilang sa mararaming modelong sinisimplehan na ginagamit sa pisika. Ang mga batas ng pisika ay kinakatawan ng mga simpleng ekwasyon tulad ng mga batas ni Newton, mga ekwasyon ni Maxwell, at ekwasyong Schrödinger. Ang mga itong batas ay batayan para sa mga modelong matematikal na mga totoong sitwasyon. Napakasasalimuot ang maraming totoong sitwasyon at kaya angkop na minomodelo ng isang kompyuter. Ipinalalagay nito ang isang modelo na maaaring komputahin sa makatwirang panahon, at na niyayari mula sa mga basikong batas. Halimbawa, ang mga molekula ay maaaring modelohin ng mga modelo ng mga molekular na orbital, na humigit-kumulang mga kalutasan para sa ekwasyong Schrödinger. Sa inhenyeriya, ang mga pisikal na modelo ay madalas na ginagawa ng mga paraang matematikal tulad ng paraan ng pinitong elemento.

Gumagamit ang mga magkaibang modelong matematikal ng mga magkaibang heometriya na hindi naman kailangan tumpak na paglalarawan ng heometriya ng uniberso. Lalo na ginagamit ang heometriyang Euclidean sa klasikong pisika, habang ang teoriya ng natatanging relatibidad at teorya ng pangkalahatang relatibidad ay mga halimbawa ng mga teorya na gumagamit ng mga heometriyang di-Euclideano (tingnan din ang heometriyang Riemanniano).

Ilang mga aplikasyon

Madalas na ginagamit ng mga inhenyero ang isang modelong matematikal para sa pagsusuri ng isang sistemang. Sa pagsusuri, naitatayo ng mga inhenyero ang isang modelo ng sistema bilang isang ipotesis ng paggana ng sistema, o isang palagay ng kung paano tumatalab ang ilang pangyayaring hindi inaasahan ng sistema. Gayon din, inaatim ng kontrol ng isang sistema ang simulasyon ng iba't ibang paraan ng kontrol.

Kalimitan inilalarawn ng isang modelong matematikal ang isang sistema sa pamamagitan ng isang pangkat ng mga baryable at isang pangkat ng mga ekwasyon na itinatakda ang mga kaugnayan sa pagitan ng mga baryable. May iba't ibang uri ng mga baryable: mga tunay na bilang, buumbilang, halagang boolean, string, at iba pa. Kinakatawan ng mga baryable ang mga ilang propyedad ng sistema, halimbawa, ang mga output na sinusukat ng sistema, madalas na sa porma ng mga signal, datos ng tiyempo, tagapagbilang, o pangyayari. Ang mismong modelo ay pangkat ng mga punsiyon na inilalarawan ang mga kaugnayan sa pagitan ng mga magkaibang baryable.